楊咸啟，錢勝，褚園，劉勝榮

(黃山學院機電工程學院，安徽黃山245041）

HERTZ型與非HERTZ型接觸理論計算方法

楊咸啟，錢勝，褚園，劉勝榮

(黃山學院機電工程學院，安徽黃山245041）

Hertz型接觸和非Hertz型接觸理論涉及的計算過程比較繁雜，因此，針對一般的Hertz接觸問題，通過理論分析，給出了接觸曲率比函數與接觸橢圓偏心率以及橢圓積分之間的關系。利用接觸曲率比函數直接計算出接觸參數率，使得接觸計算變得相對簡化。同時，建立了非Hertz接觸參數的近似模型。

Hertz型接觸；非Hertz型接觸；曲率比函數；橢圓偏心率；計算方法

1 概述

工程中經常會遇到兩個構件相互接觸，并且承受比較大的載荷。例如，火車輪軌接觸、齒輪嚙合接觸、軸承零件內部接觸，等等。因此，需要計算接觸部位的應力。這些接觸問題多數是屬于彈性Hertz接觸問題，也即是在微小接觸區(qū)域上的微小彈性變形接觸問題。計算接觸應力時需要采用Hertz接觸理論。首先要利用接觸表面的曲率系數，再計算橢圓積分函數，這個過程往往比較復雜。

從初始接觸狀態(tài)的不同，接觸類型通常分為點接觸和線接觸。如果兩個物體開始接觸時只有一點的情況稱為點接觸，如果兩個物體開始接觸時是一條線的情況稱為線接觸。這些接觸通常都作為Hertz型接觸問題，Hertz問題的求解的前提假設為：

1.接觸體的材料處于彈性狀態(tài)；

2.接觸區(qū)域表面是理想光滑的二次曲面，不考慮摩擦；

3.接觸面尺寸與彈性體表面的曲率半徑尺寸相比是很小的量；

4.接觸壓力分布模式與接觸區(qū)域形狀與接觸表面相適應。

在這些假設條件下，可以求解出接觸問題的理論解。下面分別介紹點接觸和線接觸的計算方法[1-7]。

2 Hertz型點接觸參數

2.1 球面體點接觸

當兩個光滑的球面體在外力Q作用下相互接觸，如圖1所示。

圖1 球體點接觸模型

這是一種典型的點接觸情況，由于球體的對稱性，明顯的，接觸區(qū)域為半徑為a的圓（如圖1（b）為接觸區(qū)域放大圖）。圓的方程可以寫為r2=x2+y2=a2。接觸區(qū)上的接觸壓力分布與接觸區(qū)域點的位置有關，在接觸區(qū)域中心點接觸壓力最大，在邊緣點上接觸壓力為零。因此，為了與接觸表面相適應，Hertz解假定接觸壓力分布為半橢球面分布

式中，qmax為最大接觸力，a為接觸區(qū)半徑，r為極徑坐標。求解接觸問題關鍵就是確定接觸區(qū)半徑a和最大接觸壓qmax。

由外力與接觸力的平衡條件，并且利用半橢球體的體積積分得到

所以，最大接觸壓力為

由于接觸發(fā)生在很小的區(qū)域，外力分布在接觸區(qū)上，可以將這樣的問題當作為半無限大體上作用一個很小的分布力問題的Boussinesq解來處理。因此，經過推導得到接觸區(qū)的參數為

式中，R1、R2為球面半徑，δ為接觸原點上兩個球體的變形之和（也稱為兩球體的彈性變形趨近量δ）。稱為當量彈性模量。

2.2 二次曲面體點接觸

對于任意光滑曲面體，在外力Q作用下相互對中接觸在一起，如圖2（a）所示。在滿足Hertz假設條件情況下，這個問題可以得到完整的理論解。實際上，在微小的接觸面上，任意曲面總可以近似表達為二次曲面而具有足夠的精確性。下面來求解一般的曲面體的Hertz型接觸問題。

同前面一樣，建立接觸區(qū)域坐標系，選擇初始接觸點為坐標系原點。以接觸點的切平面為xy平面，z軸指向體內部。

圖2 兩個任意曲面體接觸模型

Hertz解認為接觸區(qū)域應該是橢圓形區(qū)域(圖2（b）為接觸區(qū)域放大圖)。橢圓的方程可以寫為（x/a）2+（y/b）2=1，a、b為橢圓半軸長。橢圓形區(qū)域為

接觸區(qū)上的接觸壓力分布與接觸區(qū)域點的位置有關，在接觸區(qū)域中心點壓力最大，在邊緣點上壓力為零。因此，為了與接觸表面相適應，Hertz解假定接觸壓力分布是一種半橢球的形狀(圖2（c）)，即

其中，qmax為最大接觸壓力。這是一種半橢球方程。求解接觸問題就是確定接觸區(qū)半徑a、b和最大接觸壓qmax。

由接觸壓力與外力的平衡關系，并且利用半橢球體的體積積分得到

所以，最大接觸壓應力為

利用半無限大體上作用一個很小的分布力問題的Boussinesq解，經過積分簡化計算后得到接觸區(qū)域參數為

到此，一般的Hertz型接觸問題的理論解就確定出來了。但是具體的計算還需要求橢圓積分，其過程還是比較復雜的。

接觸區(qū)域各量的計算過程是已知接觸表面的主曲率后，首先計算出接觸表面曲率比函數

再定出接觸橢圓偏心率e

進一步，計算出第一、二類完全橢圓積分Γ（e）、Π（e）以及計算a*、b*、δ*。但這個過程比較復雜。實際中是先給定參數e計算出Γ（e）、Π（e），再計算F（p），將計算結果制成圖表。在工程問題計算時，反過來利用已經計算好的參數表，利用直接查和插補計算方法來快速近似計算[7-9]。

上面給出的接觸參數計算公式比較復雜，實際應用中不太方便。下面介紹新的近似計算方法，根據接觸表面曲率函數F（p）與來確定橢圓參數e和橢圓積分。

在式（15）中，關系比較復雜，對參數e趨近于零時是一種不定式。為了避免這種不定式計算，本文利用接觸體的表面曲率比函數F（p）來近似計算接觸參數的方法如下。

3 二維彈性體線接觸參數

當兩個光滑的圓柱體長度相同為l，或為無限長，軸線平行，在外力Q作用下對中接觸，如圖3（a）所示。這是一種理想的線接觸情況，這時接觸區(qū)域為矩形（如圖3(b)所示接觸區(qū)域放大圖）。沿軸線的接觸壓力分布為均勻分布。這樣，它可以轉化為平面接觸問題。對無限長線接觸對應于平面應變問題，對相同長度的線接觸對應于平面應力問題。

在Hertz假設條件下也可以獲得二維彈性體接觸壓力分布等結果。

圖3 兩個長度相同圓柱體線接觸模型

設接觸圓柱體的半徑為R1、R2，材料彈性模量和泊松比分別為E1、ν1；E2、ν2。類似于點接觸的分析方法，為了與接觸表面相適應，Hertz解假定接觸壓力分布為半橢圓柱體（圖3(b)所示接觸壓力示意圖，接觸區(qū)域為矩形，2bXl）

由外力與接觸力的平衡條件，并且利用半橢圓柱體的體積積分得到

因此，得到接觸表面的最大壓力為

但是，線接觸不能嚴格導出彈性體的趨近量。而K.L.Johson利用平面應力與應變狀態(tài)積分，得出兩個圓柱體接觸區(qū)中心彈性趨近量近似公式為[1]

式中，Q為作用外力，l為接觸圓柱體長度，R1、R2分別為接觸圓柱體的半徑，b為接觸區(qū)域半寬度，E1、ν1；E2、ν2分別為材料彈性模量和泊松比。

而A.Palmgren通過試驗給出帶凸度的圓柱體接觸中心彈性趨近量的近似公式為[3]

文獻[11,12]中提出一種近似的線接觸變形趨近量計算公式為

4 非Hertz型接觸參數計算

如果在接觸分析中放棄Hertz假設，則稱為非Hertz接觸問題。通常分為兩類情況，一類是接觸表面為非光滑曲面，另外一類為大接觸表面。由于非Hertz接觸問題要復雜很多，很多問題還沒有理論解。下面介紹幾個典型的非Hertz接觸問題模型[10-13]。

4.1 有限長線接觸

當兩個圓柱體長度不相同，而軸線平行地相接觸，或一個有限長的圓柱與無限大平面接觸，這樣就稱為有限長線接觸。如圖4所示。他們在工程問題中經常會遇到。

圖4 有限長線接觸模型

有限長線接觸沒有理論解，在圓柱體端部邊界會出現應力集中現象。求解有限長線接觸問題通常采用數值方法[10]。在接觸區(qū)域，劃分微小單元，利用數值積分求出下面的接觸變形

再利用接觸變形協(xié)調條件和平衡方程

可以建立一組方程。求解方程組（26）-（28）得到接觸區(qū)域上的壓力分布。在求解過程中，首先假定接觸區(qū)域的大小，同時，必須保證接觸壓力為非負值（qm≥0）。

圖5（a）為有限長線接觸示意圖。圖5（b）、（c）為有限長線接觸的變形和接觸應力分布情況，在圓柱的端部出現了明顯的應力集中[3]。

圖5 有限長圓柱線接觸

4.2 曲面非對中接觸與非主曲率平面接觸

對于光滑曲面體非對中接觸問題，如圖6(a)所示?；蚍侵髑势矫娴慕佑|問題，如圖6（b）所示。他們在工程問題中有時也會遇到。

圖6 接觸模型

在彈性狀態(tài)下，本文假設這種接觸問題產生的接觸區(qū)域為

根據接觸壓力分布必須與接觸區(qū)域相適應的原則，假設接觸區(qū)域上的壓力分布為

其中，q0為接觸壓力特征值，通過選擇不同的指數α來反映曲面的特點。

接觸力的平衡條件為

而接觸變形的協(xié)調條件可以寫成

上式中，δ(O)代表接觸原點上兩個球體的變形之和（也稱為兩體的彈性變形趨近量δ），w1，w2為兩個接觸表面的變形，且

在小變形的情況下，接觸變形的協(xié)調條件也可以寫成

同樣也可以利用半無限大平面上受分布力作用的變形計算方法（Boussinesq解），

上面的積分需要在已知壓力分布函數的情況下才可以進行。多數情況下需要利用數值積分方法求解，如同有限長線接觸的計算過程。

4.3 非光滑曲面接觸

兩個非光滑表面受壓力作用而接觸形式如圖7所示。假設接觸區(qū)域邊界方程為

圖7 非光滑表面接觸模型

本文假設接觸區(qū)域上的壓力分布為

其中，q0為特征接觸壓力，β為指數，C為常數，Z1、Z2為接觸體非光滑表面坐標。

對于非光滑表面，K1（H1，H2）、K2（H1，H2）為與接觸體材料硬度H1，H2有關的接觸變形分配系數，

材料硬度越大，接觸變形越小，因此，假設變形分配系數與硬度之間存在反比的關系

由接觸壓力與外載荷的平衡關系

考慮到非光滑表面的材料特性，上面的積分中

如果接觸表面的變化是平緩的，則有

以上的公式是非光滑表面的接觸壓力的簡化計算方法。

而非光滑表面的接觸變形大多數會出現塑性變形，計算這種塑性變形非常復雜，需要建立更復雜的模型。這方面已經有不少的研究者給出了有意義的結果。

5 總結

本文介紹了Hertz型點接觸理論的分析結果，將接觸參數的計算過程進行了簡化，滿足工程設計中應用要求。同時，對非Hertz型接觸的典型問題進行了理論分析。得到的主要結果為

1.擬合出點接觸曲率比函數與接觸橢圓率e、橢圓積分的關系函數，省去了復雜的計算過程，使得接觸計算變得相對簡化。

2.建立了非Hertz型接觸模型參數的近似計算方法。

[1]K.L.Johnson Contac Mechanics[M].Cambridge University Press,1985:5-150.

[2]L.C.Wrobei,C.C.A.Brebbia,AxisymmetricPotential Problems,New Development in Boundary Element Method[M].Cml Publications Limited 125 High Street Southampton SO10AA,1980:201-230.

[3]T.A.Harris Rolling Bearing Analysis（3rd）[M].John Wiley&Sons Inc.,1991:30-98.

[4]錢偉長,葉開沅.彈性力學[M].北京：科學出版社,1956:297-326.

[5]加林.彈性理論的接觸問題[M].北京：科學出版社,1958:262-265.

[6]皮薩連科,亞科符列夫,馬特維也夫.材料力學手冊[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社,1981:630-650.

[7]（德）瓦倫丁L.波波夫.接觸力學與摩擦學的原理及其應用[M].北京：清華大學出版社，2011:1-30.

[8]楊咸啟，劉勝榮，褚園.軸承接觸應力計算與塑性屈服安定[J].軸承，2015,(3):7-10.

[9]楊咸啟，劉勝榮，曹建華.HERTZ接觸應力強度問題研究[J].機械強度，2016,38(3):580-584.

[10]馬家駒，三維有限長彈性接觸問題的數值解[C].洛陽：洛陽軸承研究所，1984:1-9.

[11]丁長安,等.線接觸彈性接觸變形的解析算法[J].摩擦學學報，2001,21（2）:135-138.

[12]丁長安,等，滾子軸承受載變形計算的修正[J].軸承，2007(8):1-4.

[13]劉法炎，接觸應力計算的改進方法[J].河南城專學報，1992（1）：28-42.

The Calculation Method of Hertzian and Non-Hertzian Contact Theory

Yang Xianqi,Qian Sheng,Chu Yuan,Liu Shengrong
(School of Mechanical and Electrical Engineering,Huangshan University,Huangshan 245041,China)

The calculation process involved in Hertzian contact and non-Hertzian contact theory is very com plicated.In this paper,for the general Hertzian contact problem,the relation between the contact curvature ratio function and the contact ellipse eccentricity as well as the elliptic integral is given by theoretical analysis.The contact parameters are calculated directly by the contact curvature ratio function,which relatively simplifies con tact calculation.And an approximate model for non-Hertzian contact parameters is also established.

Hertzian contact;non-Hertzian contact;curvature ratio function;elliptic eccentricity;calcula ion method

TH114

A

1672-447X(2017)05-0013-006

2017-08-29

安徽省教育廳質量工程項目（2014zdjy122）

楊咸啟（1957-），安徽樅陽人，黃山學院教授，研究方向為機械工程設計、軸承理論、摩擦學。

責任編輯：胡德明