朱 旦 生

(甘肅省蘭州市灌溉試驗示范中心， 甘肅 蘭州 730030)

布金漢方程的代數解在流變參數測定中的應用

朱 旦 生

(甘肅省蘭州市灌溉試驗示范中心， 甘肅 蘭州 730030)

工農業(yè)生產實踐中存在大量的以賓漢流體為主的非牛頓流體流動現象，由于用來量化描述賓漢體流變學特征的賓漢方程是一個比較復雜的微分方程，工業(yè)設計中流變參數極限切應力τβ、和剛度系數η的確定，大多數都通過毛細管黏度計用圖解法獲得。本文介紹了一種賓漢方程的代數解法，可準確給出賓漢極限切應力與毛細管中切變速率的數學表達式，以該數學表達式為依據，導出了極限切應力為零時經典的牛頓體泊謖葉方程。該代數解法所得到的數學表達式，可大幅度的減少傳統(tǒng)的毛細管黏度計圖解法試驗測試工作量，對賓漢體流變參數的測定具有重要意義。

賓漢流體；流變參數

非牛頓流體力學是由流變學發(fā)展起來的研究非牛頓流體應力和應變的關系和非牛頓流體流動問題的分支學科。非牛頓流體是剪應力和剪切變形速率之間不滿足線性關系的流體。自然界中存在著大量非牛頓流體，例如油脂、油漆、牛奶、牙膏、動物血液、泥漿等。非牛頓流體力學在化學纖維工業(yè)、塑料工業(yè)、石油工業(yè)、輕工業(yè)、食品工業(yè)等許多部門有廣泛的應用。賓漢流體是非牛頓流體的一種，牛頓流體(如水、空氣)屬于低分子量的流體，而賓漢流體則具有高分子量，其切應力不符合牛頓內摩擦定律。當切應力達到某個確定值以后，流體才開始流動，并與牛頓流體一樣，其切應力和剪切變形速率呈線性關系。水利行業(yè)科研工作者對賓漢體的研究始于高含沙水流流動現象的研究，20世紀黃河上、中游高含沙洪水經常遇到的“漿河”及“揭河底”現象，以及引渾淤灌生產實踐中所觀測到的經典水力學所無法解釋的高含沙水流流動現象，揭示了水利工程生產實踐中同樣存在賓漢體這一有別于傳統(tǒng)水力學范疇的非牛頓流體現象。由于賓漢體含沙水流形成的條件不但與渾水的平均含沙量有關，更多的是與極細粘性泥沙顆粒的含量高度相關，相同濃度下黏性細顆粒構成的渾水更容易由牛頓體變?yōu)橘e漢體，因此在灌溉渠系的末端或者一些節(jié)水器具的特殊部位也會出現賓漢體流動現象，這對微型節(jié)水器具的研發(fā)無凝會提出更高的挑戰(zhàn)。因此，從灌溉水力學的工程生產實踐需求看，賓漢體渾水的研究也具有重要意義。由于賓漢流體流變參數的確定是各種賓漢體工業(yè)設計問題的基礎，因此本文從賓漢體流變方程的求解出發(fā)，對相關技術問題的解決進行一些有益的探索。

1 賓漢體流變學的基本問題

賓漢體流變特性可用方程

(1)

對于管流對上式分離變量積分，得到著名的布金漢方程。

(2)

τβ=0時，由該公式即可得出適合牛頓體的泊謖葉方程

(3)

(4)

1952年赫德斯托姆用無量綱得出[3]

(5)

上式中NHe=赫德斯托姆，Re=雷諾數，f=范寧摩擦系數，赫德斯托姆用量剛分析法一定程度上解釋了布金漢方程。但實用性還是有諸多不便。隨著現代數值計算技術的飛速發(fā)展，尋求一種可通過數值計算確定流變參數的方法很有必要。

2 布金漢方程的代數解法

我們仔細研究了方程(2)的結構，把方程改變?yōu)槿缦滦问?/p>

(6)

進一步變形為

(7)

(8)

根據一元三次方程卡當公式[4]，一元三次方程

(9)

可代為

(10)

u3=-0.3333-1.003i

v3=-1.3636

u3=x+yi=γ(cosθ+isinθ)

v3=γ(cosθ-isinθ)

三個實根

x1=u1+v1=1.8360

x2=ωu1+ω2v1=-1.6455

x3=ω2u1+ωv1=-0.2175

因此，布金漢方程寫成如下形式

(11)

令τβ=0，則得到著名的牛頓體泊謖葉方程

(12)

式(12)這時與式(3)相比系數比32略大，這可能是取有效數字數四位計算引起的誤差，公式結構形式的完全相同基本上可以證明式(11)的正確合理性。根據式(11)可多種方法求τβ、η。該式列成實驗數據表格，可確定流變參數，該方法理論嚴密，可運用在實際工作中。

3 結 語

本文通過對管流中賓漢體流變方程的轉換代數最終得到了式(11)所示的賓漢體流變方程的代數解，該式列成實驗數據表格，借助數值分析方法和少量的毛細管流變試驗即可確定流變參數，可大幅度減少常規(guī)毛細管黏度計測定賓漢體流變參數的工作量，具有很強的使用價值。作為一種科學探索，本文所提方法需要從事賓漢流體工程問題研究的科技工作者在科研實踐中檢驗應用，具體的使用方法有待實踐中總結。

[1] Wasp E J.固體物料的漿體管道輸送[M].黃河水利委員會科研所《固體物料的漿體管道輸送》翻譯組譯.北京：水利出版社，1980.

[2] 遲耀瑜，王在陽，楊延瑜.高含沙水流遠距離輸送[M].北京：水利水電出版社，1990.

[3] 武漢水利水電學院．河流工程學：上冊[M].北京：水利水電出版社，1980.

[4] 余元希，田萬海，毛宏德.初等代數研究：下冊[M].北京：高等教育出版社，1992.

TheApplicationofAlgebraicSolutionBinghamEquationanditsApplicationinmeasurementofRheologicalParameter

ZHU Dansheng

(LanzhouIrrigationExperimentDemonstrationCentre,Lanzhou,Gansu730030,China)

A large number of non-newtonian fluid flow mainly based on Bingham fluid theory which exist in the practice of industrial and agricultural production. Most rheological parameter in industrial design was derived from capillary viscometer by graphical method because Bingham Equation is a complex differential equation which can quantify the rheological feature of Bingham body. This paper introduces an algebraic solution of Bingham equation which can give mathematical expression of shear rate in capillary and bingham yield stress. The classical Newton body Poiseuille equation is derived by this expression when the yield stress is zero. This solution can greatly reduce the computation time of traditional graphical method and thus have great significance to the measurement of Bingham body rheological parameter.

Binghamfluidtheory;RheologicalParameter

10.3969/j.issn.1672-1144.2017.05.040

2017-05-16

2017-06-10

朱旦生(1965—)，男，浙江義烏人，工程師，主要從事節(jié)水新技術方面的研究工作。E-mail: 3236665744@qq.com

TV131

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1672—1144(2017)05—0216—02