汪琳娜，劉 玲，楊 新

(1.四川工商學院 電子信息工程學院，四川 成都 611745； 2.四川工商學院 云計算與智能信息處理重點實驗室，四川 成都 611745)

改進變步長LMS自適應預失真算法研究*

汪琳娜1，劉 玲1，楊 新2

(1.四川工商學院 電子信息工程學院，四川 成都 611745； 2.四川工商學院 云計算與智能信息處理重點實驗室，四川 成都 611745)

在數(shù)字預失真過程中，針對傳統(tǒng)的最小均方差(LMS)自適應算法收斂速度較慢和穩(wěn)態(tài)誤差較大的缺點，通過分析各種改進的變步長LMS算法的優(yōu)勢和劣勢，提出了一種組合曲線的歸一化變步長LMS數(shù)字預失真算法。仿真結果表明，新算法在保證預失真效果的前提下，算法性能得到極大提升。

預失真；最小均方差；變步長；歸一化

0 引言

面對移動用戶數(shù)量和帶寬需求的快速增長，當采用如最小頻移鍵控(Minimum Shift Keying，MSK)、正交振幅調(diào)制(Quadrature Amplitude Modulation,QAM)、正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)等非恒定包絡的幅度調(diào)制方式提高頻譜利用率時，功率放大器(Power Amplifiers, PAs)成為無線通信系統(tǒng)中不可或缺的關鍵部件，但是其飽和工作帶來的非線性(Nonlinearities)失真和記憶效應(Memory effects)使功率放大器的行為建模變得異常困難。數(shù)字預失真技術(Digital Pre-Distortion, DPD)是構造一個與功率放大器行為模型相反的預失真器，通過預失真器對輸入信號進行預失真，使得系統(tǒng)在不失真的情況下實現(xiàn)線性放大。如何針對記憶非線性對功率放大器進行精確建模以及數(shù)字預失真線性化成為當前移動通信研究領域的熱點方向之一?；谝獯罄麛?shù)學家VOLTERRA V于1887年提出的Volterra 級數(shù)，先后出現(xiàn)了一系列記憶功率放大器模型，如Wiener模型[1]、Hammerstein模型[2]、并行Wiener模型[3]、并行Hammerstein模型[4]、Wiener-Hammerstein模型[5]、MP(Memory Polynomial)模型[6]、GMP(Generalized Memory Polynomial )[7]模型、DDR- Volterra (Dynamic Deviation Reduction-based Volterra)[8]模型等，但這些模型在參數(shù)辨識方面存在諸多困難。

在基于Voltera級數(shù)的數(shù)字預失真行為模型中，目前常用的參數(shù)辨識方法有自適應算法包括最小均方(Least Mean Square，LMS)算法、遞歸最小二乘算法(Recursive Least Square Method，RLS)、離散牛頓法(Discrete Newton Method)等。為了更有效地描述帶有記憶的非線性系統(tǒng)特性，必須保留較多的模型參數(shù)，造成參數(shù)實時辨識的難度。因此為降低參數(shù)實時辨識的難度，一方面可以通過簡化模型減少辨識參數(shù)數(shù)量，另一方面可以對自適應參數(shù)辨識算法進行改進。基于維納濾波理論的LMS算法雖然其結構簡單，計算復雜度低，但是其收斂速度較慢，嚴重影響了參數(shù)辨識的效率。目前國內(nèi)外已經(jīng)提出了很多基于改進LMS的自適應算法，如改變LMS步長算法、改變LMS階數(shù)、稀疏LMS算法、帶泄露因子的LMS算法、變換域LMS算法、放射投影LMS算法等[6-7,9-11]。本文主要基于變步長的思想提出了一種新的LMS自適應參數(shù)辨識算法，仿真結果表明，在保證預失真精度的情況下，基于MP模型采用改進的LMS算法使收斂速度得到明顯提升。

1 基于Volterra級數(shù)的MP模型

Volterra級數(shù)模型是一種重要的有記憶非線性系統(tǒng)模型，其離散P階截短Volterra級數(shù)模型為[12]：

(1)

其中x(n)和y(n)表示系統(tǒng)輸入和輸出信號的復包絡，P為非線性階數(shù),M為記憶深度,hp(k1,…,kp)為P階Volterra核函數(shù)。把Volterra級數(shù)中模型參數(shù)看作是由P維空間的延遲k1,k2，…，kp形成的P維超幾何體上的點，當延時k1=k2=…=kp時，hn(k1,…，kn)≠0，即去掉Volterra級數(shù)中不同延時的交叉項，只保留對角核，而且由于偶階項產(chǎn)生的直流分量和諧波分量都落在通帶以外，因此只保留奇階項，Volterra級數(shù)模型簡化為MP模型[6]，其表示為：

(2)

其中K和M分別為MP模型的階數(shù)和記憶深度，akm為MP模型的復系數(shù)，|x(n-m)|表示輸入復信號x(n-m)的模。

2 自適應預失真結構

設計自適應數(shù)字預失真系統(tǒng)包括直接學習結構和間接學習結構。由于直接學習結構需要提前獲得功率放大器的模型參數(shù)，實現(xiàn)復雜且計算量大，很多優(yōu)化辨識參數(shù)的算法難以直接應用，因此本文主要采用間接學習結構,如圖1所示。

圖1 數(shù)字預失真系統(tǒng)間接學習結構

在MPM模型中，前置數(shù)字預失真器的輸入x(n)與輸出z(n)的行為模型可以表示為：

(3)

其中ωkm是前置預失真器的待辨識參數(shù)。

(4)

為簡化表達，式(4)可以表示為矩陣形式：

(5)

其中后置預失真器辨識參數(shù)矩陣可表示為：

Ω(n)=[ω10,ω30,…,ωK0,…,ω1M,ω3M,…ωKM]T

(6)

后置預失真器輸入矩陣可表示為：

(7)

3 參數(shù)辨識-改進LMS算法

自1959年WIDROW B等人提出LMS算法[13]以來，因為其具有計算復雜度低、性能穩(wěn)定、硬件易實現(xiàn)等優(yōu)點，被廣泛應用于各種自適應算法中。LMS算法主要是基于隨機梯度下降來實現(xiàn)代價函數(shù)最小化，傳統(tǒng)的LMS算法主要包括三個步驟：

(1)濾波輸出對輸入的響應：

y(n)=ωT(n)x(n)

(8)

(2)比較輸出和期望產(chǎn)生誤差信號：

e(n)=d(n)-y(n)

(9)

(3)根據(jù)優(yōu)化算法迭代產(chǎn)生辨識參數(shù)：

ω(n+1)=ω(n)-μ(n)e(n)x(n)

(10)

其中μ(n)表示迭代步長，參數(shù)μ(n)的選擇關系到算法的收斂性，當μ(n)較大時會加快收斂速度，但穩(wěn)態(tài)誤差大；當μ(n)較小時穩(wěn)態(tài)誤差小，但是收斂速度慢。收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差在LMS算法中是一對矛盾體，因此μ(n)收斂步長的合理選擇成為關鍵問題。目前人們提出了很多基于變化步長的改進LMS算法[14-16]，一種是建立誤差信號與步長之間的非線性函數(shù)關系，另一種是利用自適應過程中的梯度信號，以此來同時獲得較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差，其主要思想是根據(jù)不同時間對收斂速度的需求來動態(tài)調(diào)整步長大小，即在算法收斂階段采用較大的步長提高收斂速度，而在算法收斂后采用較小的步長來減小穩(wěn)態(tài)誤差。

在MP模型中，誤差函數(shù)可以表示為：

(11)

根據(jù)經(jīng)典的LMS算法，損失函數(shù)可以表示為：

(12)

又因為損失函數(shù)的梯度可以表示為：

(13)

則預失真器待辨識參數(shù)的迭代公式可以表示為：

(14)

即

(15)

因為當輸入大能量信號時，失真也會增大，因此可以通過歸一化LMS來解決梯度噪聲放大問題，提高收斂速度。歸一化LMS算法可以表示為：

(16)

覃景繁等人[17]提出了一種基于Sigmoid函數(shù)變步長最小均方算法(Sigmoid Variable Step Least Mean Square, SVSLMS)，其變步長因子函數(shù)為:

(17)

式中:c值控制步長曲線的上升速度，而β值控制補償曲線的最大高度。在誤差e(n)較大的初始階段該步長因子較大，收斂速度較快；當進入誤差e(n)較小的穩(wěn)態(tài)階段后，步長值變小，而穩(wěn)態(tài)誤差也較小。但是當算法進入收斂階段后，步長變化越來越劇烈，對算法性能產(chǎn)生振蕩影響。

在文獻[9]中提出了一種新的變步長因子:

μ(n)=υ·erf(1-e-α|e(n)|)

(18)

該變步長因子運用高斯誤差函數(shù)建立基于輸入函數(shù)和瞬時誤差的變步長函數(shù)，相對傳統(tǒng)的LMS、NLMS(Normalized LMS)和GNGD(Generalized Normalized Gradient Descent)算法[18]，基于高斯誤差函數(shù)的MLMS算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差均得到提升，且在算法收斂后步長變化較為平穩(wěn)。 但該算法過度依賴瞬時誤差，對算法整體誤差變化考慮不夠，而且在算法收斂初始階段，步長并不能達到最大控制因子υ的值，因此算法有待進一步改進。

以上兩種基于歸一化LMS算法的變步長因子各有優(yōu)勢，且均與反饋誤差有關，當誤差較大時，采用較大的步長來加快收斂速度，當誤差較小時采用較小的步長來降低穩(wěn)態(tài)誤差，提升算法性能。

假設SVSLMS算法中參數(shù)β=2,c=1，MLMS算法中υ=1,α=1，得到兩種算法步長變化對比曲線如圖2所示。

圖2 SVSLMS算法與MLMS算法步長曲線對比

由圖2可以看出，兩條曲線均滿足變步長LMS算法的要求，但各有優(yōu)勢，在誤差較大時，SVSLMS算法具有更大變化的步長，在誤差變小算法進入收斂后，MLMS算法步長減小更加平穩(wěn)，因此綜合考慮兩種變步長算法的特點，在前面建立的功率放大器預失真模型的基礎上提出一種改進的變步長LMS預失真自適應算法，在誤差較大時，選擇SVSLMS算法得到較快的收斂速度，而在算法收斂趨于穩(wěn)定后，選用下降較為平穩(wěn)的MLMS算法。改進的SVS-MLMS算法步長因子為：

(19)

其中β,c,υ,α為步長控制因子，分別控制曲線的最大步長和變化率，e0為步長函數(shù)轉換因子，可以選取兩條曲線的交點對應的誤差值為參考值進行調(diào)整。

改進的SVS-MLMS算法是一個由四個參數(shù)控制的非線性函數(shù)，其曲線如圖3所示，在圖3中通過改變四個參數(shù)的取值可以得到不同性能的變步長LMS自適應算法。綜上所述，本文提出了一種改進的變步長LMS自適應功率放大器預失真算法，具體如下：

(20)

式中：β,c,υ,α為步長函數(shù)μ(x)的控制調(diào)整參數(shù)。

圖3 控制參數(shù)變化下的改進SVS-MLMS算法步長曲線

4 仿真驗證及分析

在間接學習結構下，采用前文基于Volterra級數(shù)簡化的MP模型為功放預失真模型，采用歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)來驗證模型準確度，NMSE表達式如下：

(21)

為了驗證改進的SVS-MLMS算法在自適應預失真器中收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的優(yōu)勢，下面采用APSK調(diào)制，發(fā)送濾波器和匹配濾波器的過采樣因子為6，滾降系數(shù)為0.5，預失真階數(shù)為4，記憶深度8，采樣點數(shù)為1 000，通過獨立統(tǒng)計蒙特卡羅平均得到歸一化均方誤差NMSE曲線。SVS-MLMS算法中參數(shù)取值分別為：β=1,c=1,υ=1,α=1。比較改進的SVS-MLMS算法與傳統(tǒng)LMS、SVSLM算法和MLMS算法在歸一化均方誤差NMSE方面的差異，如圖4所示，可以看出，經(jīng)過3 000次迭代后LMS算法收斂到-26 dB，SVSLMS算法收斂到-37 dB，而MLMS算法和改進的SVS-MLMS算法要更加優(yōu)于前面兩個算法，分別收斂到-50 dB和-53 dB。因此對比結果表明，改進的SVS-MLMS算法具有更快的收斂速度和更小的歸一化均方誤差。

圖4 改進算法與其他算法間NMSE對比

5 結論

在功率放大器數(shù)字預失真中，分析現(xiàn)有的各種變步長LMS算法的優(yōu)勢和劣勢，提出了一種改進的SVS-MLMS預失真自適應算法。該算法通過組合SVSLMS算法和MLMS算法得到一種改進的變步長非線性函數(shù)。通過仿真發(fā)現(xiàn)，無論從收斂速度和歸一化均方誤差，改進的SVS-MLMS算法都要優(yōu)于LMS算法、SVSLMS算法和MLMS算法，在收斂初期采用SVSLMS算法得到變化更大的步長，可以加快收斂速度，在算法收斂后采用MLMS算法得到更加平穩(wěn)的步長變化函數(shù)，使得穩(wěn)態(tài)誤差較小，從而在數(shù)字預失真過程兼顧自適應算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，具有良好的算法性能。

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Research on LMS adaptive algorithm for digital pre-distortion based on improving variable step size

Wang Linna1, Liu Ling1, Yang Xin2

(1. School of Electronical and Information Engineering, Sichuan Technology and Business University, Chengdu 611745, China;2. The Key Lab of Cloud Computing and Intelligent Information Processing, Sichuan Technology and Business University, Chengdu 611745, China)

In the process of digital pre-distortion, to deal with the shortcoming of the slower convergence speed and larger steady-state error in typical LMS adaptive algorithm，by analyzing the strengths and weaknesses of various improved Least Mean Square (LMS) algorithms, a normalized variable step-size LMS digital pre-distortion algorithm with combination of curve is proposed. The simulation results show that the proposed algorithm can improve performance extremely and ensure the accuracy of pre-distortion.

pre-distortion; Least Mean Square (LMS); variable step-size; normalization

TN722.7

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.20.023

汪琳娜，劉玲，楊新.改進變步長LMS自適應預失真算法研究[J].微型機與應用，2017,36(20)：80-83,91.

四川省教育廳科研項目(15ZB0458)； 四川工商學院科研項目(2016ZYB17X)

2017-03-30)

汪琳娜(1986-)，女，碩士研究生，講師，主要研究方向：非線性信號處理和三支決策等。

劉玲(1978-)，女，碩士研究生，講師，主要研究方向：電力電子與電力傳動等。

楊新(1981-)，通信作者，男，碩士研究生，副教授，主要研究方向：數(shù)據(jù)挖掘，粗糙集及三支決策。E-mail:yangxin2041@163.com。