王艷，于海生

（青島大學自動化與電氣工程學院，山東 青島 266071）

永磁同步電機反步法與最大輸出功率協(xié)調控制

王艷，于海生

（青島大學自動化與電氣工程學院，山東 青島 266071）

針對單獨使用一種方法難以實現(xiàn)對永磁同步電機速度伺服系統(tǒng)快速、高效的控制問題，設計了基于反步法和最大輸出功率原理的端口受控哈密頓協(xié)調控制方案。利用反步法解決系統(tǒng)的快速響應問題，應用最大輸出功率原理使電機輸出最大功率，采用指數(shù)函數(shù)作為協(xié)調函數(shù)來實現(xiàn)協(xié)調控制策略，從而適應永磁同步電機的負載擾動。仿真實驗表明，該永磁同步電機速度控制系統(tǒng)的協(xié)調控制方案有效地結合了反步法和最大輸出功率原理的端口受控哈密頓協(xié)調控制的優(yōu)點，使系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能優(yōu)良，且能夠在負載擾動時快速消除誤差。

永磁同步電機；反步法；最大輸出功率；端口受控哈密頓；協(xié)調控制

由于永磁同步電機（PMSM）具有能耗低、效率高和運行可靠性強等優(yōu)點，使其在工業(yè)、農業(yè)、軍事等自動化領域發(fā)揮了重要作用［1］。在對具有非線性的PMSM速度系統(tǒng)進行控制時，傳統(tǒng)的矢量控制與直接轉矩控制等對電機速度信號的處理過于簡單，不能及時檢測PMSM速度控制系統(tǒng)的瞬態(tài)變化并做出及時的響應［2］。模糊控制雖不需建立系統(tǒng)精確的數(shù)學模型，但因其控制精度不高，系統(tǒng)仍會存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，其穩(wěn)定性問題還有待解決［3］。神經(jīng)網(wǎng)絡控制算法較復雜，給控制器的求取和實現(xiàn)增加了難度［4］?；？刂茖崟r性好，但卻使系統(tǒng)存在抖振現(xiàn)象［5］。自適應控制響應迅速，但參數(shù)設置難度較大［6］。反饋線性化控制能夠實現(xiàn)對電機的解耦控制，但在電機轉速發(fā)生跳變時響應超調較大［7］。反步法控制是通過設計子系統(tǒng)的虛擬控制律來一步步反向推導到整個系統(tǒng)的控制，能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性［8-9］。端口受控哈密頓（port-controlled Hamiltonian，PCH）控制設計較為簡單，該方法也簡化了系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析過程［10］?，F(xiàn)有的永磁同步電機控制方法繁多，但可根據(jù)其控制目標分為2類：一類是將電機看作把輸入信號變成輸出信號的信號變換裝置，控制目標是使系統(tǒng)能夠快速跟蹤給定信號；另一類是將電機看作把輸入能量變成輸出能量的能量變換裝置，控制目標是優(yōu)化控制整個系統(tǒng)的輸入能量、輸出能量和損耗能量，使系統(tǒng)的總損耗能量最?。?1］。

本文選取隱極式永磁同步電機為研究對象，設計了反步法與最大輸出功率協(xié)調控制的PMSM速度控制方案。反步法作為信號控制方法，提高系統(tǒng)的跟蹤性能，使系統(tǒng)快速進入穩(wěn)態(tài)；最大輸出功率原理的PCH控制作為能量控制方法，保證系統(tǒng)輸出最大功率，并優(yōu)化系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能。為了減少復雜的自適應反推，設計負載觀測器估計未知的負載轉矩，使電機能夠快速跟蹤速度信號。針對電機的瞬態(tài)變化，設計了協(xié)調控制策略。協(xié)調控制策略調節(jié)兩種方法的控制力度，使系統(tǒng)的瞬態(tài)變化得到快速的檢測和響應。在系統(tǒng)的速度誤差超過協(xié)調控制策略判斷條件中的速度誤差設定值時，重新投入動態(tài)性能良好的反步法控制，使系統(tǒng)盡快進入穩(wěn)態(tài)運行后，最大輸出功率原理的PCH控制起主要控制作用，使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性在良好保持的同時能夠輸出最大功率。根據(jù)本文的設計思路，文獻［5，8］等提出的兩種方法共同控制的方案屬于典型的信號控制，每種控制方法在各個時間段的作用力度是相同的，不能高效地利用每種控制方法的優(yōu)點，而本文加入了能量方面的考慮，協(xié)調控制策略的設計使具有良好快速性的反步法控制在系統(tǒng)速度誤差較大時起主要控制作用，穩(wěn)定性良好的最大輸出功率PCH控制則在穩(wěn)態(tài)時起主要控制作用，當系統(tǒng)出現(xiàn)參數(shù)變化引起電機速度的大幅度改變時，便會投入信號控制使其迅速達到穩(wěn)態(tài)，進入穩(wěn)態(tài)后，能量控制方法起到主導控制作用。每種控制方法的優(yōu)點都能在相應的時間點得到最高效的利用，具有較好的應用價值。

1 永磁同步電機數(shù)學模型

在d-q同步旋轉坐標系下，PMSM的速度系統(tǒng)模型可表示為［12］

式中：ud，uq分別為 d，q軸定子電壓；id，iq分別為d，q軸定子電流；Ld，Lq分別為d，q軸定子電感；Rs為定子電阻；Ψ為永磁體產生的磁鏈；Jm為轉動慣量；np為極對數(shù)；ω為轉子機械角速度；T為電磁轉矩；TL為負載轉矩。

2 永磁同步電機速度的協(xié)調控制原理

基于反步法與最大輸出功率協(xié)調控制的永磁同步電機速度控制系統(tǒng)框圖如圖1所示，該系統(tǒng)采用基于=0的控制。

圖1 基于反步法與最大輸出功率協(xié)調控制的PMSM速度系統(tǒng)框圖Fig.1 The block diagram of PMSM speed system based on backstepping and maximum output power coordination control

2.1 反步法控制器設計

反步法可以通過給分系統(tǒng)設計Lyapunov函數(shù)，逐步反向代入其中推導，直至找到系統(tǒng)的控制輸入，而在反步法中引進的虛擬控制律，也由后面的分系統(tǒng)反向推導，使前面的子系統(tǒng)穩(wěn)定，從而推導至整個系統(tǒng)穩(wěn)定。

設該PMSM系統(tǒng)速度的給定值為ωr，速度跟蹤誤差為eω=ωr-ω，求其導數(shù)，聯(lián)立式（2），得：

其中 k1＞0

由于Ld=Lq=L，參考電流

把iqr代替iq帶入式（3），可得：

其中 k2＞0

把式（7）代入式（6），可得：

其中 k3＞0

把式（10）代入（9），有

綜上所述可知，系統(tǒng)的反步法控制器為

2.2 最大輸出功率控制器設計

根據(jù)最大輸出功率控制原理可知，輸入功率隨著定子電流的增大而增大，當其達到最大值時，相應的輸出功率也處于最大值［13］。當PMSM運行于某特定轉速ω時，如果滿足

則系統(tǒng)的輸入功率最大，P1為輸入功率，當輸入功率最大時，定子電流的變化率為零，系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)，電機交直軸電流變化率為零，由式（1）可得輸入功率表達式為

由電壓方程

可得：

式中：ulim為d-q坐標軸下PMSM最大基波相電壓有效值。

將式（15）、式（16）代入式（14）并忽略定子電阻，可求得：

其中

式中：ρ為電機的凸極率，ρ=Lq/Ld。

當電機穩(wěn)定運行時，若定子電流滿足式（17）、式（18），那么此時PMSM的輸入功率最大，對應的輸出功率也最大。

定義該永磁同步電機速度控制系統(tǒng)的狀態(tài)向量、輸入向量分別為

式中：ued，ueq為圖1與式（1）中 ud，uq對應的PCH控制器的d，q軸定子電壓。

取PMSM系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為

則式（1）系統(tǒng)的PCH模型為

式中：R(x)為半正定對稱矩陣，R(x)=RT(x)≥0；J(x)為反對稱矩陣，J(x)=-JT(x)。

由式（1）可得PMSM的PCH模型為

對于給定的速度信號ωr，當負載轉矩恒定已

知時，聯(lián)立式（1）、式（17）可得系統(tǒng)的平衡點為［14］

選取

由式（20）～式（24）可得控制器為［15］

當負載轉矩未知時，設計負載轉矩觀測器為

當負載已知時，有

式（28）的特征方程為s2+c1s-c2/Jm=0。設系統(tǒng)式（27）的極點 sp(sp＜0)，則有在負載轉矩未知時，用代替式（23）中的TL0，只有 iq0與 TL0有關，故用代替 iq0，則此時系統(tǒng)的反步法控制器與最大輸出功率控制器分別為

3 反步法與最大輸出功率協(xié)調控制策略的設計

從信號與能量的角度看，反步法和最大輸出功率控制具有互補性。本文設計的協(xié)調控制策略使系統(tǒng)在動態(tài)時以作為信號控制方法的反步法為主，穩(wěn)態(tài)時以作為能量控制方法的最大輸出功率控制為主，從而具有快速的動靜態(tài)響應和最大的輸出功率，達到期望的控制效果。

3.1 協(xié)調控制策略設計

定義csd,ced,csq,ceq分別是系統(tǒng)反步法控制器和最大輸出功率的PCH控制器d，q軸的協(xié)調函數(shù)，設|ω-ωr|＞β（β 為常數(shù)，且 β＞0，rad/s）的開始時刻為t1。因此協(xié)調函數(shù)可設計為

式中：Tc為協(xié)調時間常數(shù)。

很顯然

從而協(xié)調控制策略為

3.2 基于反步法與最大輸出功率協(xié)調控制的PMSM速度系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

3.2.1 反步法控制子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

對于利用反步法設計的誤差變量 eω,eωq,eωd作為狀態(tài)變量所組成的系統(tǒng)，定義Lyapunov函數(shù)：

對Vs求導，由式（9）、式（13）、式（16）可知：

3.2.2 PCH控制子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

對于PCH子系統(tǒng)，定義Lyapunov函數(shù)：

很明顯，Ve＞0。由于Jd(x)為反對稱矩陣，有

很顯然，Vs正定，V?s負半定。由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，反步法控制子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

由于 Rd是正半定的，根據(jù)拉薩爾不變集定理有，如果該閉環(huán)系統(tǒng)包括在集合{x∈ Rn|[?Hd(x)/?x]TRd(x)[?Hd(x)/?x]=0}內的最大不變集為{x0}，則哈密頓子系統(tǒng)在平衡點x0處是漸近穩(wěn)定的。

3.2.3 整個系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

當時間t=0時，協(xié)調函數(shù) csd(t)=csq(t)=1,ced(t)=ceq(t)=0，相當于只有反步法控制器作用于整個系統(tǒng)，整個系統(tǒng)穩(wěn)定。

當時間t→∞時，協(xié)調函數(shù)csd(t)=csq(t)=0，ced(t)=ceq(t)=1,相當于只有最大輸出功率的PCH控制器作用于整個系統(tǒng) V=Ve＞0 ，V?=V?e＜0 ，整個系統(tǒng)穩(wěn)定。

由以上分析可知，整個系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

4 仿真實驗及分析

針對反步法與最大輸出功率協(xié)調控制的PMSM速度控制系統(tǒng)，采用Matlab/Simulink對反步法與最大輸出功率協(xié)調控制的PMSM速度控制系統(tǒng)進行仿真，以驗證該方法對PMSM速度系統(tǒng)的控制性能。仿真所用電機參數(shù)如下：Rs=2.875 Ω,Ld=Lq=8.5 mH, Ψ=0.175 Wb,Jm=0.02 kg?m2,np=4,k0=1,r=10,Tc=0.1 s,sp=-500,k1=5 000,k2=k3=10 000,β=2。

基于dSPACE系統(tǒng)，搭建PMSM速度控制平臺，直接采用Matlab/Simulink環(huán)境的控制器及模型進行實驗，并對PMSM的速度特性進行實時監(jiān)控。實驗分別針對協(xié)調控制策略的可行性（見圖2）、反步法單獨控制（見圖3）、最大輸出功率的PCH單獨控制（見圖4）、兩種方法協(xié)調控制（見圖5）的情況進行驗證，并對協(xié)調控制的跟蹤特性（見圖6）進行實驗驗證。鏈接平臺設備，通過ControlDesk實時觀測轉子轉速變化（見圖7）。

對于圖2～圖5，在0～0.3s時，給定的速度信號ωr=100 rad/s；在0.3～1 s時，ωr=150rad/s。在0～0.6s時，給定負載轉矩 TL=2 N?m ；在0.6～1 s時，為5 N?m。圖2為協(xié)調時間常數(shù)不同時系統(tǒng)的速度響應曲線。圖2中，由圖中曲線可知，當Tc1

=0.2時，控制效果比較理想。由圖3可以看出，反步法控制的響應速度快，但其穩(wěn)態(tài)性能較差。圖4中，與反步法控制相比較，最大輸出功率控制的響應速度有待提高，尤其在0.6 s由于負載變化使速度產生較大誤差時，響應速度要比反步法慢很多，跟蹤性能較差。圖5為Tc1=0.2時的協(xié)調控制曲線，在0.3 s和0.6 s時，系統(tǒng)轉速和負載轉矩突變，使得β=2，與圖3～圖4對比可知，該協(xié)調控制系統(tǒng)的響應速度與反步法基本一致，比最大輸出功率原理單獨作用時的響應速度有明顯的提升，故協(xié)調控制策略在符合判斷條件時能及時地投入反步法控制，保證系統(tǒng)動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。圖6為協(xié)調控制系統(tǒng)的跟蹤速度曲線，給定速度信號為正弦曲線，其幅值為150 rad/s，在0.6 s時，負載轉矩TL由2 N?m跳變?yōu)? N?m，從圖中曲線中可以看出系統(tǒng)跟蹤性能良好。圖7為實驗所測轉子速度波形，在12 s時，TL為由2 N?m變?yōu)? N?m，16 s時，負載恢復2 N?m。經(jīng)比較，協(xié)調控制方法有效地結合了反步法與最大輸出功率PCH控制的優(yōu)點，系統(tǒng)既能快速跟蹤信號，又有很好的穩(wěn)態(tài)性能和比較強的穩(wěn)定性，同時能很好地適應負載變化。

圖2 協(xié)調時間常數(shù)不同時的速度曲線Fig.2 The speed curves of different coordinate time constant

圖3 反步法單獨作用時的速度曲線Fig.3 The speed curve of backstepping control alone

圖4 最大輸出功率控制單獨作用時的速度曲線Fig.4 The speed curve of maxmum output power control alone

圖5 協(xié)調控制的速度曲線Fig.5 The speed curve of coordination control

圖6 協(xié)調控制的轉速跟蹤曲線Fig.6 The speed tracking curve of coordination control

圖7 協(xié)調控制系統(tǒng)速度實驗波形Fig.7 The speed waveform of coordination control

5 結論

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Permanent Magnet Synchronous Motor Control System Based on Backstepping and the Maximum Output Power Coordination Control

WANG Yan，YU Haisheng
（College of Automation and Electrical Engineering，Qingdao University，Qingdao 266071，Shandong，China）

In view of the problem that the fast and high-efficiency control of permanent magnet synchronous motor（PMSM）speed servo system with one control method is difficult to realize，a hybrid coordination control scheme based on backstepping and the port-controlled Hamiltonian（PCH）control on maximum output power principle was designed.The backstepping technique was used to optimize the dynamic response of the system，and the PCH control method was applied to ensure that the system reached its maximum output power.Furthermore，exponential function was utilized as the coordination function to fulfill the coordination control strategy.The coordination control system was well adapted to the load disturbance of PMSM.The simulation results show that the coordination control scheme which is applied to PMSM speed servo system combines the advantages of backstepping control and PCH control.The system has good dynamic and steady-state performance，and it can eliminate the error quickly under the external disturbances.

permanent magnet synchronous motor（PMSM）；backstepping；the maximum output power；portcontrolled Hamiltonian；coordination control

TP273

A

10.19457/j.1001-2095.20171003

國家自然科學基金項目，永磁同步電動機驅動系統(tǒng)的信號與能量協(xié)調控制（61573203）

王艷（1990-），女，碩士研究生，Email：569317915@qq.com

2016-11-17

修改稿日期：2017-03-07