王西麗, 周宗福

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

帶有R-S積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階朗之萬方程的解的存在性

王西麗, 周宗福

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

研究一類帶有 R-S積分邊值條件的非線性分?jǐn)?shù)階朗之萬方程邊值問題.利用Leray-Schauder非線性抉擇和Leray-Schauder度理論,得到幾個(gè)新的存在性結(jié)果.最后給出一個(gè)例子來證明主要結(jié)論的應(yīng)用性.

分?jǐn)?shù)階朗之萬方程;積分邊值條件;Leray-Schauder度理論;Leray-Schauder非線性抉擇

1 引言

朗之萬方程是由朗之萬在1908年描述布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)提出的[1].在他的著作中牛頓第二定律應(yīng)用于布朗粒子時(shí)的隨機(jī)物理運(yùn)動(dòng)稱之為朗之萬方程.朗之萬方程已經(jīng)被廣泛的用來描述波動(dòng)環(huán)境下的物理現(xiàn)象的演化[2].分?jǐn)?shù)階朗之萬方程可以看作是整數(shù)階朗之萬方程的拓展,現(xiàn)在已經(jīng)成為微分方程的研究熱點(diǎn)[3-5].近來,分?jǐn)?shù)階微分方程的問題引起了許多專家的興趣[6-7].

2012年,文獻(xiàn)[8]研究了三點(diǎn)邊值問題的朗之萬方程的解的存在性:其中0＜α≤1,1＜β≤2,和是開普特分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),λ是實(shí)數(shù).利用壓縮映射原理和Guo-Krasnoselskii錐不動(dòng)點(diǎn)定理,得到幾個(gè)解的存在性證明.

2016年,文獻(xiàn)[9]研究了下列的分?jǐn)?shù)階朗之萬方程的無窮多點(diǎn)邊值問題:

利用Leray-Schauder非線性抉擇和Leray-Schauder度理論可以得到一個(gè)獨(dú)特的滿足上述開普特分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性.

是連續(xù)不減的.

本文利用Leray–Schauder非線性抉擇和Leray–Schauder度理論研究以下的帶有R-S積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階朗之萬方程邊值問題,得到此邊值問題(1)和邊值問題(2)的解存在性的若干結(jié)果[11-12].

2 預(yù)備知識

定理 2.1Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子的階q＞0,函數(shù)x(t)存在以下定義:

定理 2.2秩為q的分?jǐn)?shù)階開普特微分方程,有連續(xù)可微的函數(shù)x:[0,+∞]→R,存在如下定義:

其中

并且[q]表示q的整數(shù)部分.

引理 2.1令,則u(t)是如下分?jǐn)?shù)階朗之萬微分方程線性邊值問題:

的解的充分必要條件是

證明由于1＜γ≤2,故由以及(3)引理(2.1)可知,

其中 c0,c1∈R.

因此,

同理,由于0＜α＜1可得

其中c2∈R.

由邊值條件u(0)=0,所以可以得到c2=0.因此,方程存在通解(3)滿足:

由邊值條件

可得

并且

因此可知

從而推導(dǎo)出

所以,u(t)滿足:

相反的,如果u(t)滿足(5),則

其中

可得

可見u(t)滿足(5).

進(jìn)一步,有故u(t)滿足(4)所以u(t)是問題(3)-(4)的解.證畢.

引理 2 .2設(shè)E是一個(gè)Banach空間,假設(shè)C?E是一個(gè)凸閉集.若U是一個(gè)相對于C的開子集,其中0∈U并且T:→E是一個(gè)全連續(xù)映射,T()有界.假設(shè)?λ∈(0,1),u∈?U,有 u /=θTU,則 T 在上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

3 主要結(jié)論

設(shè)E=C[0,1]是一個(gè)Banach空間,其中范數(shù)定義為:

定義映射T:E→E,

由引理2.2可得,當(dāng)且僅當(dāng)T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)時(shí),u是邊值問題(1)-問題(2)的解.記

現(xiàn)在我們利用Leray-Schauder非線性抉擇來研究邊值問題(1)-問題(2)的解的存在性.

定理3.1假設(shè)滿足以下條件:

(H1)存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)ω∈E使得在[0,1]的子集上滿足ω＞0并且有一個(gè)不減的函數(shù) φ:[0,∞)→[0,∞)使得 |f(t,u)|≤ω(t)φ(|u|),其中 (t,u)∈[0,1]×R;

(H2)存在M ＞0,使得

則邊值問題(1)-問題(2)至少有一個(gè)解.

證明易得T是連續(xù)的.下面來證明T是將E上的有界集映射為有界集.對于任意數(shù)r＞0,Br={u∈E:‖u‖≤r}是E 上的有界集.則對于u∈Br,t∈[0,1],可得

因此

可見TBr有界.

接下來,證明T是將E上的有界集映射為等度連續(xù)的集合.對任意t2∈[0,1],其中,t1＜t2,

即知,當(dāng) t1→t2時(shí),有

由Arzela-Ascoli定理,可以推導(dǎo)出T:E→E是全連續(xù)映射.設(shè)θ∈(0,1),u∈E可知u=θTu.由上述類似分析可知,

從而

故有

由(H2)以及上式可知,‖u‖/=M,令

則 ? u∈ ? UM,有 ‖ u‖=M,從而 ? u∈ ? UM,?θ∈ ( 0,1),u/= θ Tu,可知 T :UM→E是全連續(xù)映射.因此,引理2.1能確保T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u∈UM.所以邊值問題(1)-問題(2)至少有一個(gè)解.證畢.

定理 3.2假設(shè)滿足以下條件:

使得

都成立,則邊值問題(1)-問題(2)至少有一個(gè)解.

證明考慮算子方程u=Tu.證明T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u∈E.作

使得

通過定理3.1的證明可知T是全連續(xù)的.令

由拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃钥芍?

其中I定義為單位算子.

利用Leray-Schauder度的非零性,

在Br上至少存在一個(gè)解.

假設(shè) u=θTu其中 u∈E,θ∈[0,1].則 ?t∈[0,1],有

得到

因此

令

則對任一u∈?Br0有u/=θTu并且θ∈(0,1).因此方程

在Br0上至少有一個(gè)解.即T在Br上至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),從而邊值問題(1)-問題(2)至少有一個(gè)解.證畢.

4 實(shí)例應(yīng)用

4.1 考慮下列的邊值問題

其中

則有

選取

則

且對 (t,u)∈[0,1]×R有

從而定理3.2的條件都滿足,故由定理3.2可知，邊值問題(6)-問題(7)在[0,1]上至少有一個(gè)解.

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Existence of solutions for fractional-order Langevin equations with R-S Integral boundary conditions

Wang Xili,Zhou Zongfu
(School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei230601,China)

In this paper,we investigate a class of boundary value problems of fractional-order Lengevinl equations with R-S Integral boundary conditions.By Leray-Schauder′s nonlinear alternative and Leray-Schauder degree theory,several new existence results of solutions are obtained.An example is given to show the applicability of our main results.

fractional-order Lengevinl equation,integral boundary value conditions,Leray-Schauder′s nonlinear alternative,Leray-Schauder degree theory

O175.8

A

1008-5513(2017)05-0486-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.006

2017-10-12.

國家自然科學(xué)基金(11371027);安徽省自然科學(xué)基金(1608085MA12).

王西麗(1991-),碩士,研究方向：常微分方程邊值問題.

周宗福(1964-),碩士,教授,研究方向：常微分方程邊值問題.

2010 MSC:34B37,34B15