吳 博 羅雄麟 韋明輝 許 鋒

(中國石油大學(北京)地球物理與信息工程學院)

預測控制工程應用中預測時域的選取分析①

吳 博 羅雄麟 韋明輝 許 鋒

(中國石油大學(北京)地球物理與信息工程學院)

對現(xiàn)有的預測時域選取方法進行了總結，并且結合工程實際和理論分析，給出了預測控制算法中預測時域可取的范圍。在這一范圍內，可以快速簡捷地選取所有可取的預測時域。最后，通過兩個仿真實例分析了在預測時域可取范圍內，不同條件下選取的預測時域對于控制性能的影響。

預測控制 預測時域 選取范圍

PID由于算法簡單、魯棒性強和可靠性高被廣泛應用于實際工業(yè)過程控制。但PID算法對于存在非線性、時變不確定性和數(shù)學模型不確定的系統(tǒng)往往達不到理想的控制效果。為了克服這些問題，出現(xiàn)了各種先進控制算法。預測控制算法由于對模型的寬容性(參數(shù)與非參數(shù)、線性或非線性)、有限時域滾動優(yōu)化的有效性和在設計中可以方便地處理各種軟硬約束而成為過程工業(yè)中應用最廣泛的先進控制方法[1,2]。

20世紀80年代到90年代，隨著預測控制方法在工業(yè)界越來越多的應用，各種預測控制算法也被總結提出，如模型算法控制(MAC)、動態(tài)矩陣控制(DMC)和廣義預測控制(GPC)[3～5]。為了使預測控制算法體現(xiàn)其優(yōu)良特性，各種預測控制的參數(shù)選取方法也被學者們所研究。學者們結合工程實際，根據(jù)動態(tài)響應情況和跟蹤誤差的分析給出了很多參數(shù)選取方法[6～8]。另外一些學者依據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性分析，給出了相應的預測控制器參數(shù)[9,10]。

在所有預測控制參數(shù)中，預測時域的選取對預測控制性能的影響最大。預測時域的選取是建立在采樣時間的基礎上的，若選取過小，雖然響應較快，但未必滿足穩(wěn)定性和約束條件[11]；若選取過大，動態(tài)過程雖然平穩(wěn)卻很緩慢，較大的預測時域會影響動態(tài)特性[12,13]。有些學者為了說明其優(yōu)化方法的優(yōu)越性，往往將預測時域選得極大，這顯然是不合理的。筆者對前人的研究做了總結，結合工程實際和理論分析，給出了采樣時間和預測時域可取的范圍，并據(jù)此提出了一套簡捷的預測時域選取方法。最后通過一個模型預測控制(MPC)和一個MPC-PID串級控制證明了筆者所提選取方法的有效性。

1 預測控制算法簡介

DMC因基于階躍或者傳遞函數(shù)模型而易于實現(xiàn)，是化工過程控制中最常采用的預測控制方法。因此筆者以DMC為例來說明預測控制參數(shù)的確定準則。

對于在單位階躍作用下在N步后達到穩(wěn)態(tài)的時不變SISO系統(tǒng)，階躍響應{s1,s2,…,sN}構成系統(tǒng)的完整模型，預測輸出為：

Y(k|k)=Y0(k|k)+AΔU(k|k)

(1)

則一般DMC算法性能指標為：

(2)

其中E(k|k)=Ys(k|k)-Y(k|k)為跟蹤誤差，Ys(k|k)為未來輸出的參考值。

在無約束條件下，最小化式(1)的結果為：

ΔU(k)=(ATWA+R)-1ATWE0(k)

(3)

但控制問題都是有約束存在的，一般的約束有控制作用速率約束、控制作用物理約束和輸出約束，其形式為：

ΔUmin≤ΔU≤ΔUmax

Umin≤U≤Umax

(4)

Ymin≤Y≤Ymax

結合性能指標式(1)和約束式(4)可以構成預測控制的最優(yōu)化問題，通過二次規(guī)劃可以求解上述最優(yōu)化問題，求得ΔU(k)，但是每次當前k時刻，只執(zhí)行最優(yōu)控制序列ΔU(k)的第1項，下一時刻重新滾動計算優(yōu)化問題。

2 預測時域的選取方法

預測控制方法出現(xiàn)了近40年時間，學者們?yōu)榱颂岣呖刂菩阅?，給出了很多參數(shù)選取方法。對于DMC算法，主要的參數(shù)有采樣周期T、模型長度N、預測時域P及控制時域M等。筆者主要根據(jù)采樣時間和模型長度來研究確定預測時域的可取范圍。

2.1 采樣時間和模型長度的確定

在預測控制算法中，采樣周期T的選取首先必須遵循采樣控制系統(tǒng)對采樣周期的選取原則，即滿足香農采樣定理，并且符合被控對象的動態(tài)特性。對于采樣周期的選取，已有了各種建議，如：對于單容對象，取T≤0.1Tσ，Tσ為對象的慣性時間常數(shù)。但對于預測控制算法，采樣周期的選取還與模型長度N有著直接關系，通常為了使模型參數(shù)si(i=1,…,N)盡量完整地反映過程對象的動態(tài)信息，要求在動態(tài)響應時間tF后階躍響應已近似穩(wěn)態(tài)。

通常情況下，T選取得小可以提高精度并及時抑制干擾，但T選取得過小，會造成N值增高，使模型復雜度增加，并且太小的采樣周期得到的控制作用無法在底層回路得到充分的響應。因此對于過程量的控制，模型長度N一般取在25～50。由于tF為常數(shù)，可確定模型維數(shù)N，也可確定采樣周期T。

2.2 預測時域上限的確定

預測時域P是根據(jù)采樣周期T而選取的。根據(jù)上述方法確定了T的范圍后，Tmin所對應的可選取的最大預測時域是P1max，Tmax所對應的可選取的最大預測時域為P2max，并且有：

(5)

對于可選取采樣周期范圍Tmin≤T≤Tmax內所對應的最大的預測時域曲線Pmax如圖1所示。這樣就確定預測時域P的上限。當P取為它能取值的上限時，已經接近穩(wěn)態(tài)，這樣導出的控制率比較穩(wěn)定，但系統(tǒng)的動態(tài)響應近似于系統(tǒng)的自然響應，影響系統(tǒng)的快速性，無法體現(xiàn)出預測控制的優(yōu)勢。并且在文獻[12,13]中也分析論證了P選取得越大，控制效果未必越好。

圖1 預測時域選取上限曲線

2.3 預測時域下限的確定

首先為了滿足物理意義，預測時域P選取得要比控制時域M大，即P≥M+1。

為了使預測控制穩(wěn)定，P不能選得太小。從20世紀70年代末預測控制方法出現(xiàn)以來，研究者們對于其穩(wěn)定性的研究已經給出了較成熟的理論。對于DMC算法，最常用的穩(wěn)定性理論為在控制增量變化不大的范圍內若在P步內選取的動態(tài)過程方向與最終穩(wěn)態(tài)方向一致，則預測控制系統(tǒng)為穩(wěn)定的，由此控制時域M可確定預測時域選取的下限，定義符合條件的關系曲線為Pmin1(T)。

在工程應用中，一般取P步要覆蓋部分動態(tài)響應過程，即應至少覆蓋反向響應部分和時滯：

(6)

曲線Pmin1(T)和Pmin2(T)有3種情況(圖2，陰影區(qū)域即預測時域可以選取的最大范圍。)：

a. 一般情況，Pmin1(T)在Pmin2(T)右側，如圖2a所示；

b. 有較大時滯時，曲線Pmin1(T)和Pmin2(T)相交，如圖2b所示；

c. 當時滯非常大時，Pmin1(T)在Pmin2(T)左側，如圖2c所示。

圖2 預測時域可選取區(qū)域

根據(jù)上述分析，把Pmin1(T)和Pmin2(T)所確定的預測時域選取下限的曲線定義為Pmin(T)。這樣即可根據(jù)曲線Pmax(T)、Pmin(T)與采樣周期T的取值范圍做出預測時域可以選擇的區(qū)域，如圖2所示。預測時域P可以選取的值為該區(qū)域內任一整數(shù)，與采樣周期相對應。

在實際應用中，一般不會將預測時域取到上限值或者下限值，取上限值的缺點已在2.2節(jié)討論過。當P值取得過小時，對于有約束的預測控制，每步求得的控制率會接近約束的上下限。而預測控制方法應用時往往采用透明控制，即上層為預測控制回路，底層為PID回路。當控制率變化過大時，底層回路無法完全響應，會影響控制效果。

上述討論均是針對單變量系統(tǒng)的，但是該方法很容易推廣到多變量系統(tǒng)。對于多變量系統(tǒng)，在工程中為了應用簡捷，往往會對不同變量選取相同的采樣周期，而且預測時域也會盡量選取的相同。

按上述方法繪制每個變量的預測時域-采樣周期區(qū)域圖。因為對于不同變量要選取相同的采樣周期，而采樣周期的交集為Tmini≤T≤Tmaxj，Tmini為所有變量可取采樣周期下限中的最大值，Tmaxj為所有變量采樣周期可取上限中的最小值，因此取采樣周期的交集為多變量系統(tǒng)所有變量采樣周期可選擇區(qū)域中的公共部分。

為了方便討論，對每個變量預測時域下限的選取按照圖2a的方法選取，此時對于每個變量，曲線Pmax、Pmin都為一簇平行的雙曲線，P取值為雙曲線與采樣周期范圍包圍區(qū)域內的整數(shù)。

對每個變量繪制預測時域-采樣周期區(qū)域圖，在采樣周期的交集范圍Tmini≤T≤Tmaxj內所包含的公共區(qū)域即多變量系統(tǒng)預測時域P可以選取的范圍，如圖3a陰影部分所示。

圖3 多變量系統(tǒng)預測時域可選取區(qū)域

對于某些特殊的情況，例如TITO系統(tǒng)，最大動態(tài)響應時間為50min，最小動態(tài)響應時間為25min。對于此系統(tǒng)按照上述方法選取的預測時域-采樣周期的交集不是一個區(qū)域，而是一條直線，如圖3b所示。若要選取相同的預測時域P，則需從直線范圍中選取。綜上所述，對于預測時域的選取可以歸結為以下幾步：

a. 按照2.1節(jié)中的方法確定模型維數(shù)和采樣周期；

b. 根據(jù)采樣周期的范圍按照2.2節(jié)的方法確定預測時域的上限；

c. 根據(jù)2.3節(jié)的方法確定預測時域選取的下限；

d. 對此變量繪制如圖2所示的區(qū)域圖；

e. 對于多變量系統(tǒng)，對每個變量重復以上步驟，取所有區(qū)域的交集。

如果各變量的預測時域-采樣周期區(qū)域無重合，則表明各變量的動態(tài)響應時間差別過大，存在多個時間尺度，此時的系統(tǒng)為病態(tài)系統(tǒng)，因此無法選擇統(tǒng)一的采樣周期，此時應對整個系統(tǒng)進行分解，分解為不同時間尺度的多個子系統(tǒng)，再分別進行預測控制系統(tǒng)的采樣周期和預測時域設計。

3 實例研究

假設一個TITO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

通過階躍測試，變量y1的動態(tài)響應時間為100min，變量y2的動態(tài)響應時間為80min。將N分為25～50，則采樣周期的取值范圍為2.0～3.2min。由于Pmin1

圖4 TITO系統(tǒng)預測時域可選取區(qū)域

當采樣周期T=2.0min時，按照圖4所示區(qū)域，預測時域最小可選取P=13。在此區(qū)域內分別選取預測時域P為13、18、30和45進行仿真實驗，結果如圖5所示。

圖5 采樣周期為2min時的響應曲線

由圖5可見，選取的預測時域的響應曲線都符合要求。當按照上文方法選取最小可取的P=13時，響應較快，但波動較大。適當增加P，選取P=18，可得較平穩(wěn)的曲線，并且不影響響應速度。當P較大時，選取P=30、P=45，可以看出此時響應曲線已基本一致，而且相比于P=18時的響應曲線，動態(tài)特性并未提升，反而增大了運算負擔。

當采樣周期T=3.0min時，按照圖4所示區(qū)域，預測時域最小可選取P=8。在此區(qū)域內分別選取預測時域P為8、13和30進行仿真實驗，結果如圖6所示?？梢钥闯觯x取的3個預測時域的控制效果都可以接受。同時P=13和P=30的響應曲線已基本重合，結合圖5中P=18、P=30和P=45的情況，分析可知當預測時域能覆蓋一定區(qū)域后繼續(xù)增大預測時域已無意義，只會增加運算負擔，并且對于某些波動，預測時域選取太大會使動態(tài)響應變慢，不利于快速跟蹤目標值。

圖6 采樣周期為3min時的響應曲線

在本例中，采樣周期選取2.0min和3.0min，可以看出二者區(qū)別較小，說明了在合理范圍內采樣周期選取得不同對系統(tǒng)無較大影響。

4 結束語

對預測控制方法中預測時域的選取方法進行了討論，在總結前人研究經驗的基礎上，給出了預測時域可選取的區(qū)域，在此區(qū)域內可以方便快捷地找出可選取的預測時域。該方法對于單變量和多變量系統(tǒng)同樣適用。通過仿真實例驗證了該方法的有效性。

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AnalysisofSelectingPredictiveHorizonsinEngineeringofModelPredictiveControl

WU Bo, LUO Xiong-lin, WEI Ming-hui, XU Feng

(CollegeofGeophysicsandInformationEngineering,ChinaUniversityofPetroleum(Beijing))

The existing selection methods for the prediction horizon were summarized. Through having the engineering practice considered and theoretical analysis implemented, the prediction horizon’s selectable range in the predictive control algorithm was presented and within this range, all selectable prediction horizons can be chosen simply and directly. Through two simulation examples, the influence of prediction horizon selected in desirable ranges and under different conditions on the control performance was analyzed.

predictive control, prediction horizon, selectable range

吳博(1987-)，博士研究生，從事化工系統(tǒng)工程與過程控制的研究。

聯(lián)系人羅雄麟(1963-)，教授，從事控制理論與過程控制、化工系統(tǒng)工程及機器學習等的研究，luoxl@cup.edu.cn。

TP273

A

1000-3932(2017)06-0553-06

2016-10-20，

2017-05-11)