■袁紹建

識別“形異質(zhì)同”，引發(fā)教學(xué)思考

■袁紹建

初中數(shù)學(xué)教師大多熱衷解題研究，特別是對解法技巧、題型歸類的研究熱情很高。如果能更進一步，從形式走向本質(zhì)，識別出更多“形異質(zhì)同”的考題，并將其有效關(guān)聯(lián)，研發(fā)成復(fù)習課例，便可促進解題研究轉(zhuǎn)化為有效的“生產(chǎn)力”，從而服務(wù)解題教學(xué)。

解題研究 形異質(zhì)同 思路突破 教學(xué)思考

解題研究是很多同行的興趣，尤其是研究一題多解，有些解題研究能化繁為簡，揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，對我們深刻理解考題是十分有益的。然而，如果解題研究只是止步于一題多解，或多解歸一，不能從形式走向本質(zhì)，還是沒有讓解題研究轉(zhuǎn)化為“生產(chǎn)力”。本文結(jié)合筆者近期關(guān)注到的兩道同類考題，淺談對同類考題的解題研究與教學(xué)思考。

圖1

圖2

圖3

一、同類考題及思路突破

考題1（2017·陜西第25題節(jié)選）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖1所示。管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后，他想只用噴灌龍頭來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時，既要能確保草坪的每個角落都能澆上水，又要能節(jié)約用水，于是，他讓噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于∠AMB（即每次噴灌時噴灌龍頭由MA轉(zhuǎn)到MB，然后再轉(zhuǎn)回，這樣往復(fù)噴灌），同時，再合理設(shè)計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了。如圖1，已測出AB=24 m，MB=10 m，△

問題解析：這是一道生活情境問題，為了解決王師傅的噴灌龍頭的射程問題，需要將其抽象成幾何圖形中求最值的問題，即在圖1中，點M到圖形中哪一個點的距離最大。目測似乎是AM的長最大，但這種“直覺”往往會誤導(dǎo)我們，我們還需要考慮點在劣弧AB上的情況，并且要經(jīng)過計算再進行比較。

性質(zhì)回顧：我們先回顧“圓”的一個常見性質(zhì)，如圖2，若點M是圓O內(nèi)一點，則過點M的最長弦、最短弦在哪兒？顯然，如圖3，我們可先作直線OM得出直徑AB，再過M作CD⊥AB，交圓O于C、D，則所求的最長弦即直徑AB，最短弦即為CD。AMB的面積為96 m2；過弦AB的中點D作DE⊥AB交︵AB于點E，又測得DE=8m。請你根據(jù)以上提供的信息，幫助王師傅計算噴灌龍頭的射程至少多少米時，才能實現(xiàn)他的想法？為什么？（結(jié)果保留根號或精確到0.01米）

圖4

圖5

圖6

思路突破：如圖4，設(shè)劣弧AB的圓心為O，尋找點M到圓的最遠距離應(yīng)該作射線MO交劣弧AB于F點。接下來要解決兩個難點，一是劣弧AB的半徑以及OM的長。于是構(gòu)造圖5，在圖5中，利用垂徑定理，可得AD=12，在 Rt△AOD中，AO2=122＋（AO-8）2，解得：OA=13。構(gòu)造圖6進一步求出OM的長，過點M作MN⊥AB，垂足為N，過O作OH⊥MN，垂足為H。由S△ABM=96，AB=24，可得MN=8，NB=6，AN=18，相應(yīng)的MH=3，于是在Rt△OMH中，OM=︵==3，結(jié)合上面已求出AB的半徑為13，MF=OM+r=35+13≈19.71(m)。

如果就這樣給出答案還不夠嚴謹，因為缺少對圓心O是否在△AMB內(nèi)部的分析。

如圖7，設(shè)直線EO交AM于C點，

圖7

由CD∥MN，可得△ADC∽△ANM，，顯然OD＜CD，即點O在△AMB內(nèi)部，即上面求得的MF為草坪上的點到M點的最大距離。當然，我們還可在圖7中計算出AM的長為297，將其與最大值MF（35＋13）比較后，也可發(fā)現(xiàn)AM＜MF，從而確認解答。

考題2（2017·江蘇某縣?？季淼?8題）如圖8，平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2＋bx＋c與x軸交于A（－1，0）、B（－3，0）兩點，與y軸的負半軸交于點C，且OA∶OC=1∶3。（1）求a，b，c的值；（2）過點B作線段BC的垂線交拋物線于點D，試判斷以點A為圓心，AD的長為半徑的圓與y軸的位置關(guān)系，并給出證明；（3）設(shè)直線x=3與直線BD相交于點G，與x軸交于點N，問：在⊙A上是否存在一點Q，使△QOG的面積最大？若存在，求出△QOG面積的最大值；若不存在，請說明理由。

圖8

圖9

思路突破：（1）結(jié)合A，B點的坐標，可以設(shè)出交點式y(tǒng)=a(x＋1)(x＋3)，再根據(jù)OA∶OC=1∶3可得點C的坐標（0，－3），于是代入“交點式”，可得a=－1，即a=－1，b=－4，c=－3。

（2）結(jié)合B，C點的坐標可得直線BC的解析式為y=－x－3，而經(jīng)過點B且垂直于BC的直線BD解析式是y=x＋3，將它與拋物線解析式聯(lián)立成方程組，可得D（－2，1）。

而將拋物線解析式配方成頂點式y(tǒng)=－(x+2)2＋1，可確認它的頂點是（－2，1）。即點D就是拋物線的頂點，于是AD=2，也就是圓A的半徑是2，而點A到y(tǒng)軸的距離是1，故圓A與y軸相交。

（3）首先思考圓上一點與O、G圍成的三角形，OG長35，若OG邊上高最大時，△QOG面積就取得最大。如圖9，如果想到過A點作OG的垂線，交圓A于第二象限內(nèi)的點Q，交直線OG于H點，則△QOG面積最大。接下來的關(guān)鍵是求出QH的長，我們將QH分成兩個部分來思考，一是半徑AQ（上一問已求出），二是AH。可以在Rt△AOH中思考，利用△AOH∽△GOM，可以得到，此時△QOG面積的最大值為

“形異質(zhì)同”的反思：上述兩道試題看似“風馬牛不相及”，然而在分析最值時都涉及一種經(jīng)驗，即過圓內(nèi)一點到圓上任意一點的連線段中，以經(jīng)過圓心時為最長。如圖10，點A到圓上任意一點的連線段中，經(jīng)過圓心O的線段AB最長，相應(yīng)地，我們還可得出此時AC是最短的。

圖10

二、解題研究與教學(xué)思考

1.重視同類考題的歸類整理，積累同類題服務(wù)教學(xué)。

不少有經(jīng)驗的教師都有自己的個性化教學(xué)素材，特別是會在電腦中分類整理一些專題素材，比如一些同類考題能及時歸類存檔，挖掘出圖10這樣的深層結(jié)構(gòu)，便于隨時調(diào)用。在組織習題講評、專題復(fù)習、編制相關(guān)學(xué)案時，能很方便地檢索出相關(guān)試題，有時只要簡單改編或鏈接一下，就能使得講評課“增色”不少，很有深度。

2.引導(dǎo)學(xué)生辨析“形異質(zhì)同”題，做一題、會一類、通一片。

教師善于積累同類考題的一個好處就是，當預(yù)設(shè)講評某一類型的較難試題時，在講評之后可以及時鏈接同類考題（這就啟示我們平時應(yīng)注意收集能體現(xiàn)圖10這樣結(jié)構(gòu)的素材），讓學(xué)生在兩道同類試題解答之后辨析“形異質(zhì)同”試題，使得他們識別“形異質(zhì)同”題的“眼力”更強，可以達到做一題、會一類、通一片的解題效果。

3.向?qū)W生傳遞回顧反思意識，學(xué)會整理自己的學(xué)習筆記。

教師在講評較難試題時，如果能及時安排解后回顧反思的教學(xué)環(huán)節(jié)，不但能使學(xué)生獲得更深刻的理解，也能讓理解較慢的學(xué)生獲得更多的時間進行“消化”，同時也是向?qū)W生傳遞解后回顧反思的意識。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，我們發(fā)現(xiàn)不少優(yōu)秀的學(xué)生，總是能將平時練習、教師鏈接講評的一些同類考題及其結(jié)構(gòu)歸類整理成他們個性化的學(xué)習筆記，有些甚至還及時整理成反思類的數(shù)學(xué)寫作，這些都可看成是促進自身深刻理解同類習題的一種有效措施。

此外，根據(jù)個人命題興趣，提出兩點命題建議?？碱}1是生活應(yīng)用問題，敘述冗長，因?qū)W生缺少類似的生活場景、生活常識，可能并不知道考題的設(shè)計意圖、求解方向，理解題意有些困難，這與“好的試題”追求簡潔好懂、指令明確的高要求相比，還有一定的距離，作為時間緊、任務(wù)重的中考試卷，建議慎考這樣的閱讀量過大、理解題意困難的考題；考題2是一道“偽坐標系”考題，特別是最后一問的最值探究與拋物線毫無關(guān)聯(lián)，讓題干過早地“枯萎”、無效，這也是一種值得商榷的命題方式。

（作者為江蘇省如東縣洋口鎮(zhèn)古坳初級中學(xué)教師）

［1］儲秀梅.同類跟進：試卷講評課的一種策略——以一道反比例函數(shù)把關(guān)題講評為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（5初中）：61-62.

［2］沈麗婧.聚焦微專題：中考二輪復(fù)習的實踐與思考——以一組“關(guān)聯(lián)試題”復(fù)習為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（3初中）：36-37.