馬琛翔, 葛 磊, 王亞凱

(中國航天科工集團(tuán)第二研究院706所, 北京 100854)

隨機(jī)游走對單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北影響的分析*

馬琛翔, 葛 磊, 王亞凱

(中國航天科工集團(tuán)第二研究院706所, 北京 100854)

分析了單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北方法的原理,指出陀螺的常值漂移可以被積分平滑掉,不影響尋北精度。但陀螺隨機(jī)游走仍然會(huì)影響尋北精度,并推導(dǎo)出了相應(yīng)誤差公式,得出隨機(jī)游走系數(shù)、尋北時(shí)間和陀螺尋北儀所處方位都會(huì)影響尋北精度的結(jié)論,并求出陀螺尋北儀最佳尋北方位和應(yīng)避免的尋北方位。最后通過三組數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出觀點(diǎn)的正確性。

陀螺;尋北;旋轉(zhuǎn);隨機(jī)游走;精度

0 引言

陀螺尋北儀能夠提供北向基準(zhǔn),既可以作為武器瞄準(zhǔn)的定向設(shè)備,也能為大地測量、石油鉆井等民用領(lǐng)域提供精確的方位,因此在國防和民用領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛[1]。

傳統(tǒng)的陀螺尋北儀采用機(jī)械陀螺,精度較高,但是其體積大,結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜,成本非常昂貴,且不易于保養(yǎng)維護(hù),使用壽命也受到限制,因此,傳統(tǒng)陀螺尋北儀逐漸被具有固態(tài)陀螺的新型陀螺尋北儀替代[2]。目前,新型陀螺尋北儀由一個(gè)陀螺和兩個(gè)加速度計(jì)組成[3-5],也可由3個(gè)陀螺和3個(gè)加速度計(jì)組成[6]。前者能完成載體靜態(tài)下的尋北;后者即為捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng),利用慣性導(dǎo)航初始對準(zhǔn)進(jìn)行尋北。前者結(jié)構(gòu)簡單,并且所用慣性器件較少,成本較低,但只能在載體靜止不動(dòng)條件下完成尋北;后者成本較高,但抗干擾性強(qiáng)。出于對成本和應(yīng)用環(huán)境的考慮,目前兩種尋北儀在不同領(lǐng)域和應(yīng)用環(huán)境中都被廣泛應(yīng)用。

文中主要對單陀螺尋北進(jìn)行研究。目前單陀螺尋北儀的尋北方法有兩位置尋北、四位置尋北、多位置尋北等[3-5,7],這些方法都是基于旋轉(zhuǎn)定點(diǎn)測量的靜態(tài)方案,且陀螺本身的零偏和隨機(jī)漂移對這些方案的影響較大。近年來,有學(xué)者提出基于單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)的尋北方法,該方法與靜態(tài)尋北方法相比,能更加有效的抑制陀螺零偏和隨機(jī)漂移,進(jìn)而提高尋北精度,因此受到眾多學(xué)者的關(guān)注,相關(guān)研究成果也不斷涌現(xiàn)[8-10]。然而有關(guān)陀螺噪聲對尋北精度的影響,目前還未有相關(guān)文獻(xiàn)作理論分析,不利于設(shè)計(jì)陀螺尋北儀時(shí)的精度鏈的分解,難以從理論上選用合適精度的陀螺,影響了該方法的進(jìn)一步研究發(fā)展。

基于以上原因,文中深入研究了單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北方法的原理,推導(dǎo)了相應(yīng)的誤差方程,重點(diǎn)分析了陀螺隨機(jī)游走對尋北精度的影響,并得到相關(guān)理論公式,為單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北儀的工程研制提供理論基礎(chǔ)。

1 單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北原理

通常來說,單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北儀由一個(gè)陀螺和兩個(gè)加速度計(jì)及一個(gè)轉(zhuǎn)位構(gòu)成[8-10],陀螺和加速度計(jì)安裝在一個(gè)平面上,陀螺尋北儀工作時(shí),轉(zhuǎn)位帶動(dòng)陀螺和加速度計(jì)以恒定的角速度連續(xù)旋轉(zhuǎn),加速度計(jì)的作用為調(diào)平,陀螺則用來尋北。

文中為了分析簡便,只考慮水平情況,不水平時(shí),可由兩個(gè)加速度計(jì)調(diào)平,但還會(huì)引入其它誤差,在這里不予考慮。

當(dāng)陀螺安裝在水平面上旋轉(zhuǎn),且不考慮陀螺誤差時(shí),陀螺儀的輸出為:

ωib(t)=ωiecosLcos(ωt+φ)

其中:ωie為地球自轉(zhuǎn)角速度;L為當(dāng)?shù)氐乩砭暥?ω為轉(zhuǎn)位轉(zhuǎn)動(dòng)角速度;φ為尋北儀與北向夾角,是需要求取的量。則陀螺儀在尋北儀上的投影為[10]:

ωis(t)=ωib(t)cos(ωt)=

ωiecosLcos(ωt+φ)cos(ωt)

當(dāng)陀螺尋北儀以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)了n圈時(shí)(n≥1,且為整數(shù)),對ωis(t)積分得:

運(yùn)用三角函數(shù)積化和差公式可知:

并令T=2nπ/ω,則上面的積分有:

由于A可由陀螺儀輸出的各個(gè)時(shí)刻的角速度在尋北儀上的投影累加求和得到,因此有:

(1)

再對式(1)求反余弦函數(shù),即可得到尋北儀的方位角φ。此即單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北的原理。

2 誤差分析

上面的推導(dǎo)都是在忽略陀螺儀誤差的基礎(chǔ)上,現(xiàn)在考慮陀螺儀存在誤差時(shí)的情況。一般來說,影響陀螺性能的主要誤差有陀螺零偏和陀螺隨機(jī)游走(一般用RWC表示),隨機(jī)游走為陀螺輸出白噪聲隨時(shí)間的積分,在陀螺輸出角速率時(shí)以白噪聲的形式體現(xiàn)出來,因此當(dāng)只考慮陀螺零偏和隨機(jī)游走這兩項(xiàng)誤差時(shí),陀螺儀的輸出為:

其中:ε(t)為陀螺零偏,且隨時(shí)間變化而變化,這里為了分析簡便,認(rèn)為ε(t)=ε在整個(gè)尋北過程中保持不變;w(t)為0均值、方差為Q的白噪聲。

這里需對隨機(jī)游走的一些性質(zhì)進(jìn)行簡單介紹。根據(jù)隨機(jī)游走的定義可知[11],隨機(jī)游走為陀螺輸出白噪聲隨時(shí)間的積分,即:

因此,可知隨機(jī)游走仍然是隨機(jī)變量,其方差為:

(2)

從上面的式子可以看到,當(dāng)陀螺旋轉(zhuǎn)n圈時(shí),陀螺零偏被積分平滑掉(前提是認(rèn)為陀螺零偏不隨時(shí)間變化),不影響尋北精度,但是,白噪聲產(chǎn)生的誤差,是不能被平滑掉的,會(huì)對尋北結(jié)果造成影響。

再考慮上面的白噪聲的積分,令:

由于w(t)為白噪聲,則B仍然為一隨機(jī)變量,其均值和方差分別為:

由于B為隨機(jī)變量,則方位角誤差Δφ也是隨機(jī)變量,其均值為0,方差則為:

則方位角誤差Δφ的標(biāo)準(zhǔn)差為:

(3)

此即隨機(jī)游走系數(shù)對單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北影響的誤差公式。

從上面的推導(dǎo)中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)陀螺常值漂移恒定不變時(shí)(或短時(shí)間內(nèi)變化較小),經(jīng)過整圈的積分會(huì)被平滑掉,不影響尋北精度,這一點(diǎn)體現(xiàn)出了連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北的好處。但是陀螺隨機(jī)游走系數(shù)并不能被積分平滑掉,仍然影響著尋北精度。

從方位角誤差公式(3)可以看出,隨機(jī)游走系數(shù)、尋北時(shí)間、尋北儀所處方位都影響著尋北結(jié)果。隨機(jī)游走系數(shù)越小,則尋北的標(biāo)準(zhǔn)差越小,且與隨機(jī)游走系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差成正比;尋北時(shí)間越長,則尋北的標(biāo)準(zhǔn)差越小,且與尋北時(shí)間的1/2次方成反比;同時(shí),尋北儀所處的方位角的正弦的絕對值(|sinφ|)越大,則尋北精度越高,且與|sinφ|成反比,因此,可求出,當(dāng)φ=90°或270°時(shí),尋北精度最高,而當(dāng)φ處于0°或180°附近時(shí),尋北精度最差。并且參照上面的式子:

3 仿真分析

本節(jié)設(shè)計(jì)3個(gè)仿真試驗(yàn),以驗(yàn)證所提觀點(diǎn)的正確性。

第一個(gè)仿真試驗(yàn)是驗(yàn)證單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北精度與陀螺隨機(jī)游走系數(shù)有關(guān),隨機(jī)游走系數(shù)越小,則尋北精度越高,且與誤差公式(3)相吻合;

第二個(gè)仿真試驗(yàn)是驗(yàn)證單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北精度與尋北時(shí)間有關(guān),時(shí)間越長,精度越高,且與誤差公式(3)相吻合;

第三個(gè)仿真試驗(yàn)要驗(yàn)證尋北精度與|sinφ|成反比,具體要驗(yàn)證兩個(gè)內(nèi)容:1)在方位角0°、180°附近時(shí),尋北精度很差,甚至有出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤而失效的可能;2)方位角在90°、270°附近時(shí),尋北效果最好。

其中,第一組仿真試驗(yàn)列出了10次尋北結(jié)果,盡管樣本點(diǎn)較少,但是便于分析觀察數(shù)據(jù)分布情況,同時(shí),為了得到較為準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,又進(jìn)行了100次的大樣本數(shù)據(jù)量仿真試驗(yàn),并列出統(tǒng)計(jì)結(jié)果。而第二組和第三組試驗(yàn),限于篇幅,不進(jìn)行10次尋北仿真試驗(yàn),只進(jìn)行100次仿真試驗(yàn)并列出大樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

表1 不同隨機(jī)游走系數(shù)尋北精度比較 單位：(°)

從表1中可見,第一組的尋北精度明顯優(yōu)于第二組,第一組的誤差標(biāo)準(zhǔn)差約為第二組的1/5,經(jīng)理論計(jì)算,兩組試驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.070 9°和0.354 7°,與仿真結(jié)果吻合較好,但稍有偏差,其原因在于仿真次數(shù)太少,樣本較少,統(tǒng)計(jì)存在偶然性。因此,又做了100次的仿真,其標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示。

表2 不同隨機(jī)游走系數(shù)100次仿真標(biāo)準(zhǔn)差與理論值比較

此時(shí)可見,尋北結(jié)果與理論計(jì)算吻合較好。從而驗(yàn)證了第一個(gè)結(jié)論:單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北精度與陀螺隨機(jī)游走系數(shù)有關(guān),隨機(jī)游走系數(shù)越小,則尋北精度越高,且與誤差公式(3)相吻合。

表3 不同時(shí)間100次仿真標(biāo)準(zhǔn)差與理論值比較

從表3可以看出,8 min尋北結(jié)果優(yōu)于4 min尋北結(jié)果,且4 min、8 min尋北標(biāo)準(zhǔn)差與理論值吻合程度較高,達(dá)到了理論分析的效果。

再設(shè)計(jì)第三個(gè)仿真試驗(yàn),假設(shè)陀螺尋北儀分別處于0°、30°、90°,尋北時(shí)間為4 min,其它參數(shù)與第二個(gè)試驗(yàn)相同,每個(gè)方位進(jìn)行100次仿真。

在仿真中發(fā)現(xiàn),當(dāng)陀螺尋北儀處于0°時(shí),尋北結(jié)果有時(shí)會(huì)出錯(cuò),表4列出了尋北出錯(cuò)次數(shù)。

表4 陀螺尋北儀0°時(shí)尋北錯(cuò)誤次數(shù)

再觀察方位處于30°和90°的尋北情況,其尋北統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表5。從表5可見方位處于90°時(shí)的結(jié)果明顯優(yōu)于30°。按照理論分析,方位處于90°時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為30°的一半,從表5中可以看出方位處于90°時(shí)尋北統(tǒng)計(jì)結(jié)果恰好與理論值吻合較好,且前者是后者的二倍,從而驗(yàn)證了誤差公式的正確性。

表5 不同方位100次仿真標(biāo)準(zhǔn)差與理論值比較

4 結(jié)論

隨機(jī)游走系數(shù)是陀螺的主要誤差源之一,也是影響單陀螺尋北精度的重要因素。文中分析了單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北方法的原理,指出陀螺的常值零偏可以被積分平滑掉,不影響尋北精度,但由于陀螺隨機(jī)游走系數(shù)的存在,導(dǎo)致該方法的尋北精度與隨機(jī)游走系數(shù)、尋北時(shí)間和陀螺尋北儀所處方位都有關(guān)系,并推導(dǎo)出了相應(yīng)誤差公式。根據(jù)公式可知,單陀螺連續(xù)旋轉(zhuǎn)尋北方法的尋北精度與陀螺隨機(jī)游走系數(shù)成正比;與尋北時(shí)間的1/2次方成反比;與尋北儀所處的方位角的正弦的絕對值(|sinφ|)成反比,并根據(jù)誤差公式指出,尋北儀方位越接近90°和270°,尋北精度越高,而尋北儀在0°或180°的方位時(shí),尋北精度最差,且可能會(huì)計(jì)算出錯(cuò),導(dǎo)致尋北失敗,故應(yīng)當(dāng)避免尋北儀處在0°或180°的方位時(shí)進(jìn)行尋北。

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AnalysisontheInfluenceofRandomMigrationonSingleGyroContinuousRotaryNorthSeeking

MA Chenxiang, GE Lei, WANG Yakai

(No.706 Institute of the Second Academy, CASIC， Beijing 100854, China)

The principle of the single gyro continuous rotation north seeking method was analyzed in this article to point out that the constant gyro drift could be smoothed out by integral which did not affect the precision of north seeking. But the random migration of gyro would still affect the accuracy of the north seeking. The corresponding error formula was derived and it came to the conclusion that the random migration coefficient, north seeking time and the precision of gyro north seeker would affect north seeking accuracy. The optimal north seeking position of the gyro north seeker and the north seeking position that should be avoided were calculated Finally, the correctness of the proposed view was verified by three groups of numerical simulation.

gyro; north-seeking; rotation; random migration; precision

TN06

A

2016-08-25

馬琛翔(1991-),男,山西忻州人,碩士研究生,研究方向:捷聯(lián)慣導(dǎo)技術(shù)。