張銀龍

摘 要 對(duì)任意給定的隨機(jī)變量，，具有一階矩，二階矩及，運(yùn)用對(duì)偶的思想，通過(guò)確定控制二次函數(shù)，得到截尾變量方差的上界估計(jì)。這里假定。對(duì)這個(gè)問(wèn)題研究源自于歐式期權(quán)中的購(gòu)買選擇權(quán)。這種方法是建立在控制二次函數(shù)，以及針對(duì)具有單峰分布情形進(jìn)行測(cè)度變換的基礎(chǔ)上的。

關(guān)鍵詞 對(duì)偶 歐式期權(quán) 方差

中圖分類號(hào)：O211.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

隨機(jī)變量的矩界問(wèn)題自然地出現(xiàn)在概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和運(yùn)籌學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域。對(duì)于它的學(xué)習(xí)研究已經(jīng)有很久的歷史，可追溯到切比雪夫不等式的出現(xiàn)，對(duì)這一問(wèn)題的研究才出現(xiàn)了質(zhì)的飛躍。二十世紀(jì)中葉，通過(guò)對(duì)偶理論使得隨機(jī)變量的矩界問(wèn)題得到充分發(fā)展，獲得了很多非常好的結(jié)果。本文針對(duì)有界變量情形，我們將運(yùn)用對(duì)偶的方法，通過(guò)建立控制二次函數(shù)，得到了變量方差的上界估計(jì)。

1主要結(jié)果與證明

定理 設(shè)隨機(jī)變量，，，，，則

且當(dāng)，時(shí)，

結(jié)果的證明將用到如下兩個(gè)引理：

引理1設(shè)隨機(jī)變量X、Y是獨(dú)立且同分布的，則。

引理2 已知X為隨機(jī)變量，K為常數(shù)，則。

證明：根據(jù)引理1，有

（與獨(dú)立同分布）

其中，，，且，。

記

本證明的關(guān)鍵是找到一個(gè)二次函數(shù)，

使其滿足

（2.1）

這里、、均為的二次函數(shù)。

因此， （2.2）

取 （2.3）

為驗(yàn)證二次函數(shù)滿足（2.1），把區(qū)域劃分成四個(gè)部分：⑴，；⑵，；⑶， ；⑷，。前兩種劃分顯然是滿足的，只須對(duì)后兩種劃分進(jìn)行驗(yàn)證。

設(shè)，

對(duì)（3），當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意固定的函數(shù)中的變量y，則是一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)，整理后為

這里，是關(guān)于x的開(kāi)口向上的拋物線，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可以判定的對(duì)稱軸小于，即有。

對(duì)（4），當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意固定的函數(shù)中的變量，則是一個(gè)關(guān)于y的二次函數(shù)，整理有，這里，由此可知G（x，y）是一個(gè)關(guān)于y的凹函數(shù)。因此，對(duì)于，有

綜合以上，即有

將m2、m1、K0代入上式，整理后得

當(dāng)時(shí)，其結(jié)果顯然小于平凡界。

2結(jié)語(yǔ)

本文利用對(duì)偶的思想，對(duì)具有二階矩的二維截尾隨機(jī)變量max（0，X1X2K）的方差上界給出了估計(jì)。應(yīng)用本文的結(jié)果可以評(píng)估股票和期權(quán)交易中的收益及風(fēng)險(xiǎn)，尤其是對(duì)具有相關(guān)性的兩種投資組合的收益及風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行評(píng)估。

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