沈啟鵬, 吳道祥, 胡雪婷, 郭佳誠(chéng), 孟祥龍， 魏東權(quán)

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.安徽省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究總院股份有限公司，安徽 合肥 230088)

基于應(yīng)力應(yīng)變曲線類型的鄧肯張模型修正

沈啟鵬1,2, 吳道祥1, 胡雪婷1,2, 郭佳誠(chéng)1, 孟祥龍1， 魏東權(quán)1

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.安徽省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究總院股份有限公司，安徽 合肥 230088)

鄧肯張模型應(yīng)用于鈣質(zhì)結(jié)核土三軸試驗(yàn)的分析時(shí),發(fā)現(xiàn)部分應(yīng)力應(yīng)變曲線不能有效地被預(yù)測(cè)。文章基于本構(gòu)模型所具有的特性,結(jié)合土的結(jié)構(gòu)性及應(yīng)力應(yīng)變曲線的特性,分析本構(gòu)方程參量的作用并引進(jìn)能有效描述S型應(yīng)力-應(yīng)變曲線的參量(密實(shí)點(diǎn)D為切線彈性模量為最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變點(diǎn))。通過推廣鄧肯張模型、建立和修正反正切模型,結(jié)合鈣質(zhì)結(jié)核土應(yīng)力應(yīng)變曲線類型,探究本構(gòu)模型各自的實(shí)用性與適應(yīng)范圍。結(jié)果表明:應(yīng)用于應(yīng)變硬化的反正切修正模型與鄧肯張修正模型,由于變量的增加,而使得對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的擬合度有所增加;鄧肯張修正模型適應(yīng)于反映應(yīng)變軟化巖土的性質(zhì),但其表現(xiàn)巖土物理性質(zhì)的形式隨著參量增加而更加復(fù)雜;反正切修正模型能較為簡(jiǎn)單地體現(xiàn)S型應(yīng)力應(yīng)變曲線的性質(zhì),表達(dá)密實(shí)點(diǎn)D的位置。

反正切;鄧肯張;修正模型;S型應(yīng)力應(yīng)變曲線;密實(shí)點(diǎn)

在巖土力學(xué)計(jì)算分析中,為描述巖土的任何一個(gè)物理演變過程,除了需要適應(yīng)于任何材料的物理定律(力的平衡方程和位移協(xié)調(diào)方程)外,還要滿足與具體巖土相對(duì)應(yīng)的本構(gòu)模型[1]。本構(gòu)模型作為嫁接應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)的橋梁,泛指各種表明狀態(tài)與變量之間關(guān)系的單值方程,如反映材料力學(xué)性質(zhì)的彈性模型、鄧肯張模型、蠕變模型,反映材料熱學(xué)性質(zhì)的傅里葉熱傳導(dǎo)定律、克拉伯龍理想氣體定律等,因此其是研究巖土物理力學(xué)性質(zhì)的必要工具,也是區(qū)分巖土材料性質(zhì)的依據(jù)[2]。

巖土的力學(xué)性質(zhì)不僅受到自身密度、孔隙度、含水率、顆粒級(jí)配、礦物成分等固有性質(zhì)的影響,而且受到應(yīng)力路徑、應(yīng)力水平、應(yīng)變程度等外界環(huán)境影響,無(wú)法建立一個(gè)能全面考慮各種性質(zhì)和因素的理想模型,即使建立了理想模型,在模型求解過程中需要獲取的巖土體自身參數(shù)和外界環(huán)境參數(shù)的量是非常多的,甚至部分參數(shù)目前還無(wú)法有效地獲取[3]，因此在分析巖土應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)時(shí)應(yīng)抓住其應(yīng)力-應(yīng)變的主要特征,忽略次要影響因素。目前,巖土的本構(gòu)模型主要包括彈性模型、彈塑性模型、黏彈塑性模型3種,在精度方面,黏彈塑性模型能較好地反映土的變形特征和內(nèi)部機(jī)理以及土體的硬化軟化和剪脹性質(zhì),彈塑性模型次之,具有廣闊的發(fā)展前景[4]。但非線性彈性模型略去塑性變形、應(yīng)力路徑和第二主應(yīng)力等因素的影響作用,求解公式簡(jiǎn)單、實(shí)用,適應(yīng)于工程計(jì)算分析[5]?？导{等根據(jù)大量土的三軸壓縮實(shí)驗(yàn)結(jié)果,提出用雙曲線擬合發(fā)生應(yīng)變硬化的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。Duncan等人據(jù)此提出了被廣泛應(yīng)用的增量彈性模型，即鄧肯張模型,因其模型簡(jiǎn)單、概念清楚,8個(gè)參數(shù)均有對(duì)應(yīng)的物理與幾何意義,并可以通過常規(guī)三軸壓縮實(shí)驗(yàn)獲得[6]。然而當(dāng)荷載較高時(shí),計(jì)算沉降值偏差較大;模型對(duì)體變難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè),泊松比值誤差較大等諸如此類模型本身具有的缺陷[7]。

應(yīng)變硬化的應(yīng)力-應(yīng)變曲線用指數(shù)函數(shù)A(1-e-Bx)擬合效果也較好,而與雙曲線擬合效果相比,當(dāng)初始彈性模量與極限偏差應(yīng)力相同時(shí),應(yīng)力應(yīng)變曲線變化趨勢(shì)略有差別。此外含水率較低的鈣質(zhì)結(jié)核土或碎石土?xí)尸F(xiàn)出S型應(yīng)力應(yīng)變曲線與應(yīng)變軟化,關(guān)于此方面的研究不多[8]。鈣質(zhì)結(jié)核土是淮北平原廣泛分布的一種區(qū)域性特殊土，土層中含有大量的大小不一、形狀各異、分布形式多樣的鈣質(zhì)結(jié)核[8]。

1 定義密實(shí)點(diǎn)

對(duì)于含水率為18%的鈣質(zhì)結(jié)核土的常規(guī)三軸壓縮實(shí)驗(yàn),其應(yīng)力應(yīng)變曲線呈現(xiàn)S型。S型應(yīng)力應(yīng)變曲線各階段圖如圖1所示,結(jié)合其變形特征,將其劃分為4個(gè)階段,并引入密實(shí)點(diǎn)D，即擠密階段與彈性階段分界點(diǎn),此時(shí)密實(shí)點(diǎn)的切線模量最大,記為ED。

圖1 S型應(yīng)力應(yīng)變曲線各階段圖

(1) 擠密階段。剪應(yīng)力增幅漸漸增大,變形主要為顆粒角度調(diào)整,顆粒間沒有相對(duì)的滑移。

(2) 彈性變形階段。應(yīng)力-應(yīng)變呈直線關(guān)系,變形主要為顆粒排列方式改變,顆粒未有破壞面。

(3) 硬化階段。剪應(yīng)力增幅漸漸降低,局部剪切破壞面開始形成,顆粒間部分發(fā)生滑移。

(4) 理想塑性階段。剪應(yīng)力增幅很小,表現(xiàn)為曲線趨平。剪切破壞面已經(jīng)完全形成[9]。

2 鄧肯張模型推廣

土具有結(jié)構(gòu)性和散體性等特點(diǎn),應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)之間的關(guān)系是復(fù)雜的、多變的。在描述其之間關(guān)系時(shí),需要人為設(shè)定有物理與幾何意義的參數(shù)(如彈性模量、極限偏差應(yīng)力等),表示應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)在變化過程中某一特定時(shí)刻存在的關(guān)系。本構(gòu)模型與物理參數(shù)之間關(guān)系如圖2所示,可以看出，本構(gòu)模型包含的參量越多,所表達(dá)的應(yīng)力場(chǎng)-應(yīng)變場(chǎng)關(guān)系與實(shí)際巖土所具有的應(yīng)力場(chǎng)-應(yīng)變場(chǎng)關(guān)系相一致的性質(zhì)越多,則其反映應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)之間的關(guān)系越精準(zhǔn)[10]。

2.1 系數(shù)推廣

鄧肯張模型只容納初始彈性模量與極限主應(yīng)力差2個(gè)物理參數(shù),不適應(yīng)于反映應(yīng)變軟化巖土的性質(zhì)。經(jīng)過大量的試驗(yàn)與理論研究,眾多學(xué)者提出在原有鄧肯張模型基礎(chǔ)上添加參量c,修正鄧肯張模型,使其可以體現(xiàn)部分巖土體特有的軟化性質(zhì),即

(1)

其中，a、b、c為與試驗(yàn)有關(guān)的常數(shù)[11]。

將鄧肯張修正模型與鄧肯張模型相比較,發(fā)現(xiàn)修正模型的公式在形式上等同于鄧肯張模型乘上一個(gè)系數(shù)(為雙曲線函數(shù))。當(dāng)a與b值相同時(shí),比較曲線變化趨勢(shì),通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)兩者切線斜率只相差一個(gè)系數(shù),同樣為一雙曲線函數(shù),具體如下：

F(x)=[a+(2c-b)x]/(a+bx)

(2)

c與b大小不同時(shí),系數(shù)與應(yīng)變之間關(guān)系如圖3所示。鄧肯張修正模型中a與b參量值相同、c大小不同時(shí),主應(yīng)力差與應(yīng)變關(guān)系圖如圖4所示。由圖3、圖4結(jié)合(1)式、(2)式可以發(fā)現(xiàn):

(1) 當(dāng)c

(2) 當(dāng)c=b時(shí),系數(shù)恒等于1,修正模型變成鄧肯張模型。

(3) 當(dāng)c>b時(shí),修正模型曲線比鄧肯張模型曲線的切線斜率遞減速度減緩[12]。

圖3 c、b大小不同時(shí)系數(shù)與應(yīng)變關(guān)系

圖4 鄧肯張修正模型中c不同時(shí)主應(yīng)力差與應(yīng)變關(guān)系

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，增加系數(shù)不會(huì)導(dǎo)致模型的初始彈性模量改變,極限主應(yīng)力差一直存在并僅與增加參量b值有關(guān),改變的是曲線的變化趨勢(shì)。本文提出了鄧肯張修正模型的一般公式,即鄧肯張通用模型為：

(3)

在對(duì)其導(dǎo)數(shù)計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)：① 導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式隨著參量的增加越加復(fù)雜,而且對(duì)具有物理意義的參數(shù)也難以表示；② 理論上存在S型曲線,但需要滿足條件較多,而且表示密實(shí)點(diǎn)D的表達(dá)式較為復(fù)雜。

2.2 導(dǎo)數(shù)推廣

對(duì)于鄧肯張模型,切線模量Et為:

(4)

在忽略分母中次要影響因子2abε并積分、調(diào)整之后,得到能較好反映應(yīng)變硬化性質(zhì)的反正切函數(shù),即

σ1-σ3=a×arctan(bε)

(5)

從中不難求解出初始彈性模量為ab、極限應(yīng)力差為πa/2,從而也可得到類似于鄧肯張的其他參數(shù)[13]。反正切函數(shù)是一個(gè)呈S型的奇函數(shù),移動(dòng)坐標(biāo)軸可以使曲線用于反映S型應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征。具體過程[14]為添加一參量c使bε變?yōu)閎ε+c,并減去a×arctanc,稱之為反正切修正模型，即

σ1-σ3=aarctan(bε+c)-aarctanc

(6)

其中，a、b、c為試驗(yàn)所得常數(shù)。

反正切修正模型中,a與b值相同,c不同時(shí),主應(yīng)力差與應(yīng)變關(guān)系如圖5所示。

圖5 反正切修正模型中c不同時(shí)主應(yīng)力差與應(yīng)變關(guān)系

從圖5可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)c>0時(shí),模型為應(yīng)變硬化型,c值使曲線切線斜率遞減速度變得可控；當(dāng)c=0時(shí),還原為反正切模型；當(dāng)c<0時(shí),模型也為應(yīng)變硬化型,但線型略有不同,呈S型,密實(shí)點(diǎn)為-c/b,并且切線模量最大為ab[15]。

3 模型比較

3.1 應(yīng)變硬化曲線

應(yīng)變硬化型的三軸試驗(yàn)曲線及不同本構(gòu)模型擬合曲線如圖6所示。鈣質(zhì)結(jié)核土三軸試驗(yàn)參數(shù)用W18～L2-3～H15～B150表示，含水率為18%,結(jié)核粒徑為2～3 cm,結(jié)核體積分?jǐn)?shù)為15%,結(jié)核圍壓為150 kPa。從圖6可以看出,鄧肯張模型與反正切模型對(duì)于應(yīng)變硬化的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的預(yù)測(cè)效果總體較好,局部略有差別。而修正模型、反正切修正模型則能有效地反映,但反正切修正模型為獲取更高的擬合度而使得參量取值較大，且可浮動(dòng)范圍也較大。

(a) W18～L2-3～H15～B150

(b) W18～L3-5～H06～B200圖6 應(yīng)變硬化曲線與擬合曲線

3.2 S型應(yīng)力應(yīng)變曲線

S型三軸試驗(yàn)曲線及不同本構(gòu)模型擬合曲線如圖7所示。從圖7中可以發(fā)現(xiàn),鄧肯張模型與反正切模型對(duì)于S型應(yīng)力應(yīng)變曲線不能作出有效預(yù)測(cè)。而修正模型盡管從理論上可以擬合S型應(yīng)力-應(yīng)變曲線,但由于其需要滿足條件較為苛刻而一般難以反映S型應(yīng)力-應(yīng)變曲線特點(diǎn)。反正切修正模型則能有效地預(yù)測(cè)S型應(yīng)力應(yīng)變曲線。

圖7 S型應(yīng)力-應(yīng)變曲線與擬合曲線

3.3 應(yīng)變軟化曲線

應(yīng)變軟化曲線及不同本構(gòu)模型擬合曲線如圖8所示,選用的試樣參數(shù)為W18～L3-5～H15～B200。從圖8可以發(fā)現(xiàn),鄧肯張模型、反正切模型及反正切修正模型對(duì)于應(yīng)變軟化曲線不能作出有效預(yù)測(cè)；鄧肯張修正模型可以貼切地反映應(yīng)變軟化的變化過程,并且對(duì)于應(yīng)變軟化所具有的各個(gè)特征能夠簡(jiǎn)單地表達(dá)。

圖8 應(yīng)變軟化曲線與不同本構(gòu)模型擬合曲線圖

不同應(yīng)變軟化曲線及鄧肯張修正模型擬合曲線如圖9所示。

圖9 應(yīng)變軟化曲線與鄧肯張修正模型擬合曲線

圖9中，3組實(shí)驗(yàn)參數(shù)從上向下依次為W18～L1-2～H09～B100、W18～L2-3～H15～B50和W18～L1-2～H03～B50。不難看出,當(dāng)峰值后曲線存在拐點(diǎn)時(shí),鄧肯張修正模型對(duì)此不能有效地反映,依據(jù)上述參量與物理參數(shù)之間關(guān)系可知,這是由于鄧肯張修正模型本身只包含3個(gè)參量,并有各自對(duì)應(yīng)的物理參數(shù)。因此要描述拐點(diǎn)的存在需要增加參量,但鄧肯張通用模型中參量的增加,各物理參數(shù)表達(dá)式復(fù)雜程度也隨之增加。

4 結(jié) 論

本文定義新參數(shù)密實(shí)點(diǎn),將S型應(yīng)力應(yīng)變曲線分為4個(gè)階段；從系數(shù)和導(dǎo)數(shù)2個(gè)方面修正鄧肯張模型,使其可以適應(yīng)于新線型；從應(yīng)變硬化、S型曲線和應(yīng)變軟化,相比較得出鄧肯張模型、反正切模型、修正模型和反正切修正模型分別適應(yīng)的范圍。

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Duncan-Changmodelmodificationbasedonstress-straincurvetype

SHEN Qipeng1，2, WU Daoxiang1, HU Xueting1,2, GUO Jiacheng1, MENG Xianglong1, WEI Dongquan1

(1.School of Resources and Environmental Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.Anhui Transport Consulting and Design Institute Co., Ltd., Hefei 230088, China)

When Duncan-Chang model was applied to the analysis of three axis test of calcareous soil, it was found that some stress-strain curves could not be predicted effectively. On account of the characteristics of constitutive model, and in view of the soil structure and the characteristics of stress-strain curves, the function of the constitutive equation parameters is analyzed and the parameters which can effectively describe the stress-strain curves of S type are introduced(density point D is the corresponding strain when the tangent elastic modulus is the maximum). By generalizing the Duncan-Chang model, establishing and modifying the arctangent model and considering the type of stress-strain curves of calcareous nodules, the practicability and adaptability of the constitutive model are explored. The results show that the arctangent correction model and Duncan-Chang correction model which are applied to strain hardening make the fitting degree of stress-strain curve increased due to the increase of variables; Duncan-Chang correction model is adapted to reflect the properties of strain softening of rock and soil, but the physical properties of rock and soil expressed by it are more complex with the increase of parameters; the arctangent correction model can simply reflect the character of S type stress-strain curve and express the position of density point D.

arctangent; Duncan-Chang; modified model; S type stress-strain curve; density point

2017-01-23；

2017-03-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41002117;40872190);合肥工業(yè)大學(xué)2015年省級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目(2015CXCYS099)和合肥工業(yè)大學(xué)2017年校級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目(2017CXCY351)

沈啟鵬(1992-),男，江蘇徐州人，合肥工業(yè)大學(xué)碩士生；

吳道祥(1975-),男,湖北洪湖人,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.09.022

TU411.7

A

1003-5060(2017)09-1264-05

(責(zé)任編輯 馬國(guó)鋒)