陳小春 陳 輝 喻 勤 龍 林

（①成都理工大學(xué)，四川成都610066；②成都理工大學(xué)數(shù)字地質(zhì)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610066；③中國(guó)石化西南油氣分公司勘探開(kāi)發(fā)研究院，四川成都610041）

反假頻POCS數(shù)據(jù)規(guī)則化及其在偏移成像中的應(yīng)用

陳小春*①陳 輝①②喻 勤③龍 林①

（①成都理工大學(xué)，四川成都610066；②成都理工大學(xué)數(shù)字地質(zhì)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610066；③中國(guó)石化西南油氣分公司勘探開(kāi)發(fā)研究院，四川成都610041）

受地形條件和障礙物等因素的影響，陸上地震數(shù)據(jù)采集容易出現(xiàn)地震道丟失現(xiàn)象，對(duì)地震資料的后續(xù)處理和解釋造成不良影響。文中提出一種反假頻凸集投影（POCS）插值方法，借助f-k域低頻成分預(yù)測(cè)高頻無(wú)假頻成分，剔除混疊假頻，達(dá)到恢復(fù)缺失地震道的目的。Marmousi模型數(shù)據(jù)試驗(yàn)說(shuō)明凸集投影反假頻插值能提高偏移成像品質(zhì)。

反假頻 凸集投影（POCS） 偏移 規(guī)則化

1 引言

在野外地震數(shù)據(jù)采集過(guò)程中，受復(fù)雜環(huán)境和施工條件等影響可能導(dǎo)致地震數(shù)據(jù)道的缺失［1］。不規(guī)則數(shù)據(jù)會(huì)對(duì)疊加、多次波去除產(chǎn)生影響，產(chǎn)生采集腳印和畫(huà)弧等問(wèn)題，降低偏移成像質(zhì)量。因此，在波動(dòng)方程偏移等高精度處理之前，需要對(duì)不規(guī)則地震數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)則化處理，完成缺失數(shù)據(jù)重構(gòu)［2］。

針對(duì)數(shù)據(jù)規(guī)則化問(wèn)題，業(yè)界已提出了多種解決方法。Spitz［3］依據(jù)線(xiàn)性同相軸在f-x域的可預(yù)測(cè)性，提出f-x域預(yù)測(cè)濾波反假頻插值方法，該方法能較好地處理假頻問(wèn)題，但僅限于規(guī)則采樣的地震數(shù)據(jù)；國(guó)九英等［4］在Spitz方法的基礎(chǔ)上對(duì)f-x域地震道插值方法做了改進(jìn)，并提出f-x域等道距道內(nèi)插方法，利用f-x域預(yù)測(cè)算子包含了所有反射波同相軸的傾角信息這一特性實(shí)現(xiàn)道內(nèi)插，具有速度快、精度高、內(nèi)插出的地震道波形自然、不受空間假頻影響等優(yōu)點(diǎn)，但前提是要求道內(nèi)插之前道間距必須相等；為了使f-x域道內(nèi)插技術(shù)更趨于合理與完善，周興元［5］討論了在f-x域具有固定道時(shí)間差信號(hào)的廣義預(yù)測(cè)算子，并給出了道內(nèi)插實(shí)現(xiàn)方法；Gulunay等［6］提出抗假頻f-k域地震道插值方法（UFKI），用f-k域復(fù)數(shù)除法替代線(xiàn)性方程組求解，實(shí)現(xiàn)道加密插值，提高了計(jì)算效率，但只適合奇數(shù)道插值偶數(shù)道，或者偶數(shù)道插值奇數(shù)道，即兩道之間只能插值出1道；國(guó)九英等［7］提出了f-k域等道距道內(nèi)插方法，該方法具有抗空間假頻等優(yōu)點(diǎn)；Gulunay等［8，9］提出了廣義的f-k域地震道插值方法（GFKI），可以在兩道之間插值出多道；李學(xué)聰?shù)龋?0］提出了f-k偏移和反偏移插值法，該方法計(jì)算速度快、沒(méi)有經(jīng)過(guò)近似處理、精度高，但插值道的振幅相比原始道弱；Zwartjes等［11］提出的稀疏傅里葉重建方法具有較高的插值精度，但計(jì)算成本較高；Abma等［12］將反假頻凸集投影（POCS）方法從圖像處理領(lǐng)域引入地震數(shù)據(jù)規(guī)則化，該方法易于實(shí)現(xiàn)且重建效果良好，但是不能抗假頻，對(duì)隔道缺失的不完整地震數(shù)據(jù)插值無(wú)效，Gao等［13］通過(guò)引入傾角掃描策略解決了這一難題。

本文首先闡述了POCS數(shù)據(jù)規(guī)則化方法和反假頻技術(shù)的原理及實(shí)現(xiàn)，在POCS算法基礎(chǔ)上提出一種新的預(yù)測(cè)反假頻數(shù)據(jù)規(guī)則化方法。該方法應(yīng)用f-k域無(wú)假頻低頻數(shù)據(jù)建立無(wú)假頻蒙板，再經(jīng)過(guò)線(xiàn)性放大逐步預(yù)測(cè)高頻數(shù)據(jù)，剔除混疊假頻，達(dá)到恢復(fù)缺失地震道的目的。方法繼承了POCS算法的高效性，同時(shí)具有很強(qiáng)的反假頻能力。數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的數(shù)據(jù)重建能力和在偏移成像中的作用。

2 方法原理

2.1 POCS數(shù)據(jù)規(guī)則化

受地形條件、障礙物、廢道和壞道等因素的影響，實(shí)際采集地震數(shù)據(jù)多為非規(guī)則采樣，而非規(guī)則采樣數(shù)據(jù)通常認(rèn)為是由規(guī)則數(shù)據(jù)采樣不足造成的。實(shí)際采集數(shù)據(jù)可以認(rèn)為是理論觀測(cè)系統(tǒng)的數(shù)據(jù)通過(guò)稀疏采樣得到的，即可以表示為

式中：dobs為含有缺失道的采集數(shù)據(jù)；S為稀疏采樣算子；d為理論數(shù)據(jù)。地震數(shù)據(jù)重建問(wèn)題就是由dobs恢復(fù)d。對(duì)于式（1），通過(guò)最小二乘反演可以重建缺失道，以實(shí)現(xiàn)觀測(cè)系統(tǒng)數(shù)據(jù)的規(guī)則化。根據(jù)L2范數(shù)最小準(zhǔn)則建立目標(biāo)函數(shù)

由于S為稀疏采樣算子，其稀疏性會(huì)導(dǎo)致方程欠定、造成多解性。因此，在目標(biāo)函數(shù)后增加阻尼項(xiàng)、建立罰函數(shù)

式中：C為稀疏變換算子；μ為阻尼項(xiàng)的權(quán)重。最小二乘法計(jì)算復(fù)雜度高、效率相對(duì)低下，對(duì)于阻尼最小二乘法來(lái)說(shuō)，阻尼項(xiàng)在約束多解性的同時(shí)也降低了算法的收斂性能，進(jìn)一步影響了最小二乘法的效率。POCS迭代方法具有更強(qiáng)的穩(wěn)健性和收斂性，計(jì)算效率也遠(yuǎn)高于最小二乘法。在迭代步長(zhǎng)滿(mǎn)足收斂條件，即d i接近d的時(shí)候，式（1）可改寫(xiě)為

式中：i為迭代次數(shù)；d i為第i次迭代后得到的重建結(jié)果；E是單位矩陣；F及F-1分別是正、反傅氏變換算子；τi是第i次迭代時(shí)的閾值算子。

地震數(shù)據(jù)在f-k域（傅氏變換域）內(nèi)的主要能量集中在其主頻附近。缺失的地震道在觀測(cè)系統(tǒng)網(wǎng)格中會(huì)形成空道，這些空道在f-k譜中表現(xiàn)為一些幅值相對(duì)較小的噪聲，缺失地震道重構(gòu)在f-k譜中則等效于去噪和頻譜能量恢復(fù)。將含空道的原始地震數(shù)據(jù)變換到f-k域，若原始數(shù)據(jù)中的空道數(shù)量較少，則f-k譜中有效信號(hào)的能量會(huì)強(qiáng)于噪聲能量，在這種情況下可以通過(guò)設(shè)置一個(gè)適當(dāng)?shù)拈撝祵⒌湍芰康念l譜視為噪聲截去，僅保留強(qiáng)能量部分。然后對(duì)所保留的頻譜進(jìn)行傅里葉反變換，利用頻譜泄露的特性可以在空道上部分恢復(fù)出缺失信號(hào)。由于閾值的辦法并不能準(zhǔn)確區(qū)分有效信號(hào)和噪聲，僅通過(guò)一次重建無(wú)法得到準(zhǔn)確的結(jié)果。因此可降低閾值重復(fù)上述操作，經(jīng)過(guò)數(shù)次迭代后f-k域中的噪聲能量閾值降到遠(yuǎn)低于有效信號(hào)的水平，這時(shí)可認(rèn)為數(shù)據(jù)被理想重建。

圖1a和圖1b是非規(guī)則數(shù)據(jù)和規(guī)則化后的數(shù)據(jù)，圖1c和圖1d是其對(duì)應(yīng)的頻譜。從圖1可以看出，非規(guī)則數(shù)據(jù)在f-k域內(nèi)的噪聲被剔除后，t-x域的空道數(shù)據(jù)得到了很好重建，且與原始數(shù)據(jù)保持同相軸連續(xù)。

在實(shí)際數(shù)據(jù)處理過(guò)程中，閾值的選擇會(huì)影響POCS數(shù)據(jù)規(guī)則化的效果。如果閾值選取過(guò)大，會(huì)導(dǎo)致有效信號(hào)被切除，無(wú)法正確恢復(fù)有效信號(hào)的細(xì)節(jié)。如果閾值選取過(guò)小，則大量噪聲被當(dāng)作有效信號(hào)予以保留，導(dǎo)致重建信號(hào)能量弱。為避免這兩種情況，建議在迭代初期選擇較大的閾值，以凸顯信號(hào)同相軸的輪廓，而在后續(xù)的迭代過(guò)程中按照一定的步長(zhǎng)衰減閾值，逐步恢復(fù)低能量部分的細(xì)節(jié)，直到閾值遠(yuǎn)低于所估計(jì)的信噪比。這樣可在不傷及有效信號(hào)的前提下盡可能完整地恢復(fù)信號(hào)。本文采用線(xiàn)性衰減閾值，在模型中給定最大閾值τmax、最小閾值τmin以及迭代次數(shù)N，則第i次迭代時(shí)的閾值為

2.2 預(yù)測(cè)反假頻技術(shù)

傳統(tǒng)POCS數(shù)據(jù)規(guī)則化方法得以實(shí)現(xiàn)的前提是假頻能量明顯小于有效頻譜的能量。當(dāng)數(shù)據(jù)含有規(guī)則缺失道時(shí)，在f-k譜中會(huì)產(chǎn)生與有效頻率能量相當(dāng)?shù)募兕l，而且假頻通常與有效頻譜混疊，此時(shí)就無(wú)法通過(guò)閾值的方法將假頻和有效頻譜分離，因此本文提出一種預(yù)測(cè)反假頻技術(shù)。

首先，通過(guò)頻譜分析在f-k譜中確定無(wú)假頻區(qū)域的范圍。將含規(guī)則缺失道的數(shù)據(jù)變換到f-k域，如圖2a所示。從圖中可以看到，在有效頻率兩側(cè)形成嚴(yán)重假頻，且在高頻成分假頻與有效頻率混疊嚴(yán)重，但在圖2a中灰色的Ⅰ區(qū)，即頻率范圍為［0，f1］，波數(shù)范圍為［-k1，k1］，不存在假頻混疊。

然后對(duì)Ⅰ區(qū)的頻譜按照能量二值化，即將譜能量較大的部分置為1，很小的部分置為0，就可得到無(wú)假頻蒙板。對(duì)該蒙板線(xiàn)性拉伸放大，擴(kuò)展到Ⅱ區(qū)（圖2b），則蒙板放大前、后非重疊部分即為所預(yù)測(cè)的高頻有效信號(hào)的區(qū)域。

圖1 POCS插值方法對(duì)含空道非規(guī)則數(shù)據(jù)的插值重建效果

圖2 預(yù)測(cè)反假頻技術(shù)實(shí)現(xiàn)

由于蒙板本身進(jìn)行了二值化，再將蒙板與頻譜進(jìn)行點(diǎn)乘，假頻混疊部分乘零被剔除，只剩下有信號(hào)的有效成分。從低頻向高頻部分逐步預(yù)測(cè)，直到剔除所有混疊的假頻。

2.3 基于POCS的預(yù)測(cè)反假頻數(shù)據(jù)規(guī)則化

預(yù)測(cè)反假頻技術(shù)操作簡(jiǎn)單而且能很容易地剔除混疊假頻。經(jīng)過(guò)拉伸放大后的反假頻蒙板可以用來(lái)預(yù)測(cè)有效頻率的大致范圍，然而采用拉伸放大的方式?jīng)Q定了預(yù)測(cè)方式是線(xiàn)性的，實(shí)際數(shù)據(jù)的同相軸不可能做到準(zhǔn)確的線(xiàn)性，這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)開(kāi)窗的辦法來(lái)解決。雖然開(kāi)窗可以使局部區(qū)域的同相軸線(xiàn)性化，但在有噪聲的情況下，這種預(yù)測(cè)方式獲得蒙板也會(huì)因?yàn)樵肼暥a(chǎn)生誤差。這就難免會(huì)在一定程度上造成假頻剔除不干凈，或者傷及有效信號(hào)。但是經(jīng)過(guò)反假頻處理后，大部分假頻能量已經(jīng)被去除，誤差導(dǎo)致的殘留量已經(jīng)變成隨機(jī)噪聲，在反假頻處理之后可結(jié)合傳統(tǒng)的POCS數(shù)據(jù)規(guī)則化方法進(jìn)一步剔除噪聲從而恢復(fù)有效信號(hào)。

預(yù)測(cè)反假頻技術(shù)基于線(xiàn)性插值理論，而實(shí)際數(shù)據(jù)的同相軸不可能做到準(zhǔn)確的線(xiàn)性，故反假頻蒙板每次線(xiàn)性拉伸的步長(zhǎng)會(huì)決定預(yù)測(cè)的精度。拉伸步長(zhǎng)越大，預(yù)測(cè)精度越低；拉伸步長(zhǎng)越小，預(yù)測(cè)精度越高，但是計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)的增加，必須選擇合適的頻率步長(zhǎng)從低頻向高頻逐步處理。因此頻率步長(zhǎng)就成為權(quán)衡預(yù)測(cè)精度和計(jì)算量的重要參數(shù)。

基于POCS預(yù)測(cè)的反假頻數(shù)據(jù)規(guī)則化處理步驟（圖3）為：

（1）將窗口數(shù)據(jù)做二維傅氏正變換，由t-x域變換到f-k域；

（2）在f-k域中確定低頻無(wú)混疊假頻成分的頻率范圍，記為［0，f1］；

（3）對(duì)確定的無(wú)假頻成分求模并做線(xiàn)性拉伸，拉伸到頻率范圍為［0，f1+df］；

（4）將拉伸后的能量譜二值化生成反假頻蒙板；

（5）將反假頻蒙板與原始譜相乘剔除混疊假頻后做傳統(tǒng)POCS數(shù)據(jù)規(guī)則化；

（6）判斷是否已經(jīng)處理到最大頻率，若處理到最大頻率計(jì)算結(jié)束，否則擴(kuò)大無(wú)假頻區(qū)域進(jìn)行迭代；

（7）將規(guī)則化后的數(shù)據(jù)反變換到t-x域，將被恢復(fù)的道回填至有效信號(hào)中。

圖3 預(yù)測(cè)反假頻數(shù)據(jù)規(guī)則化處理流程

3 數(shù)據(jù)測(cè)試

為了檢驗(yàn)預(yù)測(cè)反假頻數(shù)據(jù)規(guī)則化方法的效果，利用簡(jiǎn)單線(xiàn)性模型數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試。該模型是由主頻為60Hz的Ricker子波合成，它包含8條斜率不同的直線(xiàn)同相軸，空間方向有110道，道間距為15m，時(shí)間方向共620個(gè)采樣點(diǎn)，采樣率為2ms，在該模型中數(shù)據(jù)被嚴(yán)重抽稀，只保留了三分之一的數(shù)據(jù)（圖4a）。在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行傳統(tǒng)POCS數(shù)據(jù)規(guī)則化處理時(shí)給定的最大閾值為0.4，而最小的閾值為0.001，反假頻數(shù)據(jù)規(guī)則化的迭代頻率步長(zhǎng)為6 Hz。圖4c為其頻譜，從中可以看出因數(shù)據(jù)道缺失而產(chǎn)生的幅值與主頻相當(dāng)?shù)募兕l，且在60Hz以上出現(xiàn)假頻混疊。圖4d為重建后的頻譜，經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)反假頻數(shù)據(jù)規(guī)則化處理后假頻得到有效的壓制，特別是在混疊部分既壓制了假頻，又很好地保護(hù)了有效信號(hào)。重建后的頻譜反變換回t-x域，如圖4b所示?？盏罃?shù)據(jù)被重建，從同相軸的連續(xù)性上看線(xiàn)性模型數(shù)據(jù)得到了正確的重建。

為驗(yàn)證該方法在噪聲干擾下的效果，對(duì)上述數(shù)據(jù)加上信噪比為30%的隨機(jī)噪聲。經(jīng)過(guò)同樣的處理（圖5）可以看出，在隨機(jī)噪聲和假頻的同時(shí)干擾下，本文提出的方法依然可以有效地重建缺失道信號(hào)。

為了更加準(zhǔn)確地分析重建效果，提取原始數(shù)據(jù)、不含噪聲的重建數(shù)據(jù)和含有噪聲的重建數(shù)據(jù)的第76道、0.40～0.50s的波形進(jìn)行疊加顯示（圖6），可以看出三組數(shù)據(jù)的走時(shí)和振幅都基本吻合，其中原始數(shù)據(jù)和不含噪聲的重建數(shù)據(jù)吻合度更高，當(dāng)受到噪聲影響的時(shí)候重建結(jié)果的波形和理論值存在一定的差異。

在實(shí)際數(shù)據(jù)處理過(guò)程中可能會(huì)遇到一些極端情況。比如低頻部分依然存在假頻混疊，就意味著數(shù)據(jù)非常稀疏，或者隨機(jī)噪聲過(guò)強(qiáng)導(dǎo)致無(wú)法通過(guò)閾值辨認(rèn)。數(shù)據(jù)質(zhì)量太差時(shí)，算法選擇往往不起作用，只能通過(guò)重新采集解決。

在數(shù)據(jù)缺失非常嚴(yán)重的情況下，難以完全精確重建缺失的地震道，僅根據(jù)同相軸的連續(xù)性無(wú)法判斷重建算法對(duì)最終處理結(jié)果的影響。本文通過(guò)Marmousi模型數(shù)據(jù)規(guī)則化前、后道集及偏移成像結(jié)果驗(yàn)證數(shù)據(jù)規(guī)則化對(duì)成像效果的改善能力。為了更接近實(shí)際情況，本文沒(méi)有使用理論速度模型，而是用Seis＠Home軟件的偏移和速度分析模塊構(gòu)建時(shí)間域的偏移速度模型，如圖7所示。

圖4 簡(jiǎn)單線(xiàn)性模型理論數(shù)據(jù)測(cè)試結(jié)果

圖5 簡(jiǎn)單線(xiàn)性模型含隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)測(cè)試結(jié)果

圖6 三組數(shù)據(jù)第76道0.40～0.50s的波形對(duì)比

Marmousi模型數(shù)據(jù)的時(shí)域樣點(diǎn)數(shù)為726個(gè)，時(shí)間采樣率為4ms。圖8a為理論的共炮檢距道集數(shù)據(jù)，圖8b為稀疏采樣二分之一后的數(shù)據(jù)，圖8c為數(shù)據(jù)規(guī)則化重建后的數(shù)據(jù)。由于Marmousi模型數(shù)據(jù)本身就比較稀疏，在大傾角構(gòu)造區(qū)域肉眼可見(jiàn)明顯的鋸齒狀，減少二分之一的道數(shù)據(jù)后稀疏程度更加嚴(yán)重，所以重建效果也不可能完全與原始數(shù)據(jù)相同。但是從Kirchhoff疊前時(shí)間偏移結(jié)果（圖9）看，抽稀的數(shù)據(jù)（所有共炮檢距數(shù)據(jù)都進(jìn)行相同的稀疏采樣）做偏移處理（圖9b）后，淺層出現(xiàn)嚴(yán)重的偏移畫(huà)弧現(xiàn)象，影響成像結(jié)果解釋。然而規(guī)則化后，偏移成像（圖9c）整體得到改善，特別是在中淺層效果尤為明顯，偏移畫(huà)弧問(wèn)題得到解決。雖然在一些高陡構(gòu)造區(qū)域成像能量較弱，但是有效消除了偏移噪聲，突出了有效信息。

圖7 時(shí)間域偏移速度建模

圖8 Marmousi模型數(shù)據(jù)規(guī)則化效果

圖9 數(shù)據(jù)規(guī)則化前后偏移成像結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

（1）傳統(tǒng)的POCS數(shù)據(jù)規(guī)則化方法只能重建無(wú)混疊假頻的數(shù)據(jù)，而對(duì)含有混疊假頻的數(shù)據(jù)不起作用。

（2）基于POCS算法的預(yù)測(cè)反假頻技術(shù)能對(duì)含有混疊假頻的數(shù)據(jù)進(jìn)行良好的重建，而且只需較小的計(jì)算成本就能得到高質(zhì)量的結(jié)果，恢復(fù)后的數(shù)據(jù)能量與其相鄰道的有效數(shù)據(jù)相當(dāng)，并且保持了同相軸的連續(xù)性。

（3）數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)規(guī)則化處理后，偏移結(jié)果中畫(huà)弧問(wèn)題得到明顯改善，更利于資料的解釋。

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A

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陳小春，陳輝，喻勤，龍林.反假頻POCS數(shù)據(jù)規(guī)則化及其在偏移成像中的應(yīng)用.石油地球物理勘探，2017，52（1）：13-19.

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*四川省成都市成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院地球物理系，610066。Email：974609310＠qq.com

本文于2015年12月4日收到，最終修改稿于2016年12月6日收到。

本項(xiàng)研究受?chē)?guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41304111）、四川省科技廳重點(diǎn)項(xiàng)目（2016JY0200）、四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目（14ZA0061，16ZB0101）、“油氣地球物理勘探”四川省青年科技創(chuàng)新研究團(tuán)隊(duì)專(zhuān)項(xiàng)計(jì)劃（2016TD0023）、成都理工大學(xué)優(yōu)秀創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)培育計(jì)劃（KYTD201410）及國(guó)家科技重大專(zhuān)項(xiàng)（2016ZX05002-004-05）等聯(lián)合資助。

（本文編輯：宜明理）

陳小春 1994年生；現(xiàn)為成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院地球物理專(zhuān)業(yè)本科生，研究方向?yàn)榈卣鹦盘?hào)高分辨率處理方法和重建方法及模塊開(kāi)發(fā)。