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        時標(biāo)上一類具時滯的動力方程的新的非振動準(zhǔn)則

        2017-10-21 07:00:16劉蘭初
        關(guān)鍵詞:時標(biāo)時滯二階

        劉蘭初,王 佩

        (湖南工程學(xué)院 理學(xué)院, 湘潭 411104)

        時標(biāo)上一類具時滯的動力方程的新的非振動準(zhǔn)則

        劉蘭初,王 佩

        (湖南工程學(xué)院 理學(xué)院, 湘潭 411104)

        考慮了時標(biāo)上時滯動力方程xΔ(t)+P(t)f(x(τ(t)))=0,t≥t0∈T.的非振動性,獲得新的非振動解的存在條件.其中P(t),τ(t)∈Crd([t0,.),R+),R+=[0,),f(u)·u>0,τ(t)是非減函數(shù).當(dāng)T=R,T=Z,f(u)=u時,是該方程的特殊情形,獲得的結(jié)論是對已有結(jié)果的改進(jìn)與推廣.

        時標(biāo); 時滯; 非振動準(zhǔn)則 ;Δ導(dǎo)數(shù)

        1 預(yù)備知識

        Stefan Hilger[1]對時標(biāo)上時滯動力型方程的開創(chuàng)性研究,引起了廣泛關(guān)注[2-10].時標(biāo)上的動力方程不僅能夠統(tǒng)一微分方程和離散方程,還能揭示更為復(fù)雜的動力系統(tǒng)[7-10],例如在昆蟲數(shù)量模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、流行病傳播模型等等中都有廣泛應(yīng)用.

        首先給出一些基本定義,詳見[1-4]將離散和連續(xù)形式統(tǒng)一起來的時標(biāo)(實數(shù)R的任意一個非空閉子集稱作一個時標(biāo),本文以符號T表示).常用的集合,如R,Z,N,[0,1]∪N,都是時標(biāo).

        對于函數(shù)f:T→R,如果對任意的ε>0,存在U的某一鄰域,即U=(t-δ,t+δ)∩T,使得

        |[f(σ(t))-f(s)]-fΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|

        成立,則稱為f在t處是可導(dǎo)的,這樣的導(dǎo)數(shù)稱作Δ導(dǎo)數(shù)或者Hilger導(dǎo)數(shù).

        本文考慮時標(biāo)上時滯動力方程

        xΔ(t)+P(t)f(x(τ(t)))=0,t≥t0∈T.

        (1)

        其中P(t),τ(t)∈Crd([t0,.),R+),R+=[0,),f(u)·u>0,τ(t)是非減函數(shù).當(dāng)T=R,T=Z,f(u)=u時,方程(1)已有一些非振動準(zhǔn)則[11-12],本文將這些結(jié)果推廣到一般的時標(biāo)上,并獲得新的非振動準(zhǔn)則.

        2 主要結(jié)果

        引理1[3]若方程(1)存在最終正解當(dāng)且僅當(dāng)相應(yīng)方程

        xΔ(t)+P(t)f(x(τ(t)))≤0(t≥t0)

        存在最終正解.

        引理2[5,6]設(shè)P(t)∈Crd([t0,.),R+),考慮二階方程

        yΔ2(t)+P(t)f(y(t))=0,t≥t0

        (2)

        則方程(2)存在最終正解當(dāng)且僅當(dāng)

        (3)

        其中t充分大.

        定理1 如果

        (4)

        且二階方程

        (5)

        存在最終正解,則方程

        xΔ(t)+f(x(τ(t)))=0,t≥t0∈T.

        (6)

        存在最終正解.

        證明設(shè)y(t)是方程(5)的最終正解,由(2)-(4)知存在T≥t0,使得:

        (7)

        設(shè)u(t)=yΔ(t),顯然u(t)>0,uΔ(t)≤0,且

        (8)

        定義

        (9)

        t)u(s)Δs+2ey(T)≤ω(t)-

        ω(t)-u(t)

        即:

        (10)

        v0(t)=ω(t),t≥T,vn(t)=

        由歸納,有:

        u(t)

        1,2,...

        u(t)≤vn(t)≤ω(t)=2ey(t),t≥T

        (11)

        (12)

        (12)代人(5),有

        或者

        (13)

        (14)

        將上式代入(14)有

        zΔ(t)+f(z(τ(t)))≤0,

        (15)

        t足夠大.這表明不等式(15)有一最終正解,由引理1知相應(yīng)的方程(6)有最終正解.

        注釋:當(dāng)方程(1)中P(t)=1,即為方程(6).

        定理2 假設(shè)(4)成立,且

        (16)

        成立,則方程(1)有一最終正解.證明類似與定理1.(略)

        定理3 假設(shè)存在0t0,使得

        (17)

        則方程(1)存在最終正解.

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        [12] Xiaoping Wang. Oscillation for Higher Order Superlinear Rdelay Differential Equations with Unstable Type[J].Math.Anal,2004(289): 379-386.

        NovelNonoscillatoryCriteriaforDelayDynamicEquationonTimeScales

        LIU Lan-chu, WANG Pei

        (College of Science, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411104, China)

        Considering the delay dynamic equationsxΔ(t)+P(t)f(x(τ(t)))=0,t≥t0∈T. WhereP(t),τ(t)∈Crd([t0,.),R+),R+=[0,),f(u)·u>0,τ(t)is nondecreasing, novel nonoscillation criteria are obtained. Our results as a special case whenT=R,T=Z,f(u)=u, are involved improve some nonoscillation results.

        time scales; delay; nonoscillatory criteria; delta differential

        O175.1

        A

        1671-119X(2017)03-0040-03

        2017-03-02

        湖南省教育廳科研資助項目(13C188).

        劉蘭初(1972-),女,碩士,副教授,研究方向:泛函微分方程及其應(yīng)用.

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