劉蘭初，王 佩

(湖南工程學(xué)院 理學(xué)院, 湘潭 411104)

時標(biāo)上一類具時滯的動力方程的新的非振動準(zhǔn)則

劉蘭初，王 佩

(湖南工程學(xué)院 理學(xué)院, 湘潭 411104)

考慮了時標(biāo)上時滯動力方程xΔ(t)+P(t)f(x(τ(t)))=0,t≥t0∈T.的非振動性，獲得新的非振動解的存在條件.其中P(t),τ(t)∈Crd([t0,.)，R+)，R+=[0,)，f(u)·u>0，τ(t)是非減函數(shù).當(dāng)T=R,T=Z，f(u)=u時，是該方程的特殊情形，獲得的結(jié)論是對已有結(jié)果的改進(jìn)與推廣.

時標(biāo); 時滯; 非振動準(zhǔn)則 ；Δ導(dǎo)數(shù)

1 預(yù)備知識

Stefan Hilger[1]對時標(biāo)上時滯動力型方程的開創(chuàng)性研究,引起了廣泛關(guān)注[2-10].時標(biāo)上的動力方程不僅能夠統(tǒng)一微分方程和離散方程，還能揭示更為復(fù)雜的動力系統(tǒng)[7-10]，例如在昆蟲數(shù)量模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、流行病傳播模型等等中都有廣泛應(yīng)用.

首先給出一些基本定義，詳見[1-4]將離散和連續(xù)形式統(tǒng)一起來的時標(biāo)(實數(shù)R的任意一個非空閉子集稱作一個時標(biāo)，本文以符號T表示)．常用的集合，如R,Z,N,[0,1]∪N，都是時標(biāo).

對于函數(shù)f:T→R,如果對任意的ε>0，存在U的某一鄰域，即U=(t-δ,t+δ)∩T，使得

|[f(σ(t))-f(s)]-fΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|

成立，則稱為f在t處是可導(dǎo)的，這樣的導(dǎo)數(shù)稱作Δ導(dǎo)數(shù)或者Hilger導(dǎo)數(shù).

本文考慮時標(biāo)上時滯動力方程

xΔ(t)+P(t)f(x(τ(t)))=0,t≥t0∈T.

(1)

其中P(t),τ(t)∈Crd([t0,.)，R+)，R+=[0,)，f(u)·u>0，τ(t)是非減函數(shù).當(dāng)T=R,T=Z，f(u)=u時，方程(1)已有一些非振動準(zhǔn)則[11-12]，本文將這些結(jié)果推廣到一般的時標(biāo)上，并獲得新的非振動準(zhǔn)則.

2 主要結(jié)果

引理1[3]若方程(1)存在最終正解當(dāng)且僅當(dāng)相應(yīng)方程

xΔ(t)+P(t)f(x(τ(t)))≤0(t≥t0)

存在最終正解.

引理2[5,6]設(shè)P(t)∈Crd([t0,.)，R+)，考慮二階方程

yΔ2(t)+P(t)f(y(t))=0,t≥t0

(2)

則方程(2)存在最終正解當(dāng)且僅當(dāng)

(3)

其中t充分大.

定理1 如果

(4)

且二階方程

(5)

存在最終正解，則方程

xΔ(t)+f(x(τ(t)))=0,t≥t0∈T.

(6)

存在最終正解.

證明設(shè)y(t)是方程(5)的最終正解，由(2)-(4)知存在T≥t0，使得：

(7)

設(shè)u(t)=yΔ(t)，顯然u(t)>0,uΔ(t)≤0，且

(8)

定義

(9)

t)u(s)Δs+2ey(T)≤ω(t)-

ω(t)-u(t)

即:

(10)

v0(t)=ω(t),t≥T,vn(t)=

由歸納，有：

u(t)

1,2,...

u(t)≤vn(t)≤ω(t)=2ey(t),t≥T

(11)

且

(12)

(12)代人(5),有

或者

(13)

(14)

將上式代入(14)有

zΔ(t)+f(z(τ(t)))≤0,

(15)

t足夠大.這表明不等式(15)有一最終正解，由引理1知相應(yīng)的方程(6)有最終正解.

注釋：當(dāng)方程(1)中P(t)=1,即為方程(6).

定理2 假設(shè)(4)成立，且

(16)

成立，則方程(1)有一最終正解.證明類似與定理1.(略)

定理3 假設(shè)存在0t0，使得

(17)

則方程(1)存在最終正解.

[1] S. Hilger. Analysis on Measure Chains A Unified Approach to Continuous and Discrete Calculus[J]. Results in Matematics 1990(18):18-56.

[2] S.H.Saker. Oscillation of Second-order Nonlinear Neutral Delay Dynamic Equations on Time Scales[J].Journal of Computational and Applied Matematics, 2005, 39(3): 377-396.

[3] J.S..Yu,Z.C.Wang,B.G.Zhang,X.Z.Qian.Oscillation of Differential Equations with Deviating Ayguments[J].Panamer Math,1992(2):59-78..

[4] 楊 軍，張玉靜.時標(biāo)上二階混合型邊值問題的正解存在性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2008,31(4): 592-598.

[5] E.Hille，Non-oscillation Theorems,Trans.Amer.Math.Soc.1948(64):234-252.

[6] M.K.Kwong,Oscillation of First Order Delay Equations[J].Math.Anal.Appl，1991(156): 274-286.

[7] 劉光輝,夏文華.測度鏈上一階中具有多時滯的非線性中立型泛函微分方程的振動性[J].湖南工程學(xué)院自科版,2011，21(4)：35-37.

[8] Xun-huan Deng,Qi-ru Wang, Zhan Zhou. Oscillation Criteria for Second Order Nonlinear Delay Dynamic Equations on Time Scales[J].Journal of Computational and Applied Matematics, 2015(269): 834-840.

[9] Qinglong WangZhijun Liu. Existence and Stability of Positive Almost Periodic Solutions for a Competitive System on Time Scales[J]. Matematics and Computers in Simulation, 2017(1): 34-40.

[10] Quanxin Cheng, Jinde Cao. Synchronization of Complex Dynamical Networks with Discrete Time Delays on Time Scales[J].Neurocomputing, 2015,151(2):729-736.

[11] Jianhua,Xianhua Tang. New Nonoscillation Criteria for Delay Differential Equations[J].Math.Anal,2004(290): 1-9.

[12] Xiaoping Wang. Oscillation for Higher Order Superlinear Rdelay Differential Equations with Unstable Type[J].Math.Anal,2004(289): 379-386.

NovelNonoscillatoryCriteriaforDelayDynamicEquationonTimeScales

LIU Lan-chu, WANG Pei

(College of Science, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411104, China)

Considering the delay dynamic equationsxΔ(t)+P(t)f(x(τ(t)))=0,t≥t0∈T. WhereP(t),τ(t)∈Crd([t0,.),R+)，R+=[0,),f(u)·u>0,τ(t)is nondecreasing, novel nonoscillation criteria are obtained. Our results as a special case whenT=R,T=Z,f(u)=u, are involved improve some nonoscillation results.

time scales; delay; nonoscillatory criteria; delta differential

O175.1

A

1671-119X(2017)03-0040-03

2017-03-02

湖南省教育廳科研資助項目(13C188).

劉蘭初(1972-),女,碩士，副教授，研究方向：泛函微分方程及其應(yīng)用.