胡 鑫，常文軍，孫超平

(1.合肥工業(yè)大學 管理學院，合肥 230009； 2.過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，合肥 230009)

(*通信作者電子郵箱changwenjay@163.com)

基于比較可能度的多屬性決策方法

胡 鑫1,2，常文軍1,2*，孫超平1,2

(1.合肥工業(yè)大學 管理學院，合肥 230009； 2.過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，合肥 230009)

(*通信作者電子郵箱changwenjay@163.com)

圍繞多等級上同時考慮優(yōu)于、劣于、無差異和不確定等四種成對方案間關系的不同分布式偏好關系(DPR)，提出一種基于其比較可能度的屬性權重未知的多屬性決策方法。首先，利用各等級的得分值將分布式偏好關系轉為得分值區(qū)間，并基于得分值區(qū)間構造服從均勻分布的分布式偏好關系比較可能度；其次，通過理論分析證明其與未考慮分布的比較可能度間的大小關系及其取值差異范圍；最后運用提出的比較可能度形成屬性權重未知的多屬性決策流程，產(chǎn)生高辨識度的決策解。將提出的方法運用于求解蕪湖市戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)的評估問題，驗證了方法的正確性和有效性。

分布式偏好關系；得分值區(qū)間；比較可能度；多屬性決策；屬性權重

0 引言

互聯(lián)網(wǎng)、云計算、大數(shù)據(jù)等新興信息技術的發(fā)展及其在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)等不同行業(yè)的應用，在為不同行業(yè)中的決策提供更為強大、全面的技術和信息基礎的同時，也將相關決策置于一個高度動態(tài)不確定的環(huán)境中，正改變著人們的決策思維方式。在新的不確定決策環(huán)境中，對方案進行成對比較相對于直接給出方案評價更易為決策者所接受，能夠更便捷、有效地刻畫決策者的偏好。

已有的方案成對比較表示方法大體上包括三種：1)層次分析法[1]；2)模糊偏好關系[2]；3)分布式偏好關系[3]。層次分析法和模糊偏好關系是兩種經(jīng)典的方案成對比較表示方法，兩者都是在單等級上描述成對方案間的優(yōu)于(劣于)關系，前者運用9標度描述決策者認為方案1優(yōu)于(劣于)方案2的程度，后者運用[0, 1]區(qū)間上的連續(xù)值刻畫決策者認為方案1優(yōu)于(劣于)方案2的不同程度，兩種表示方法之間存在等價轉換關系[4]。直覺模糊偏好關系[5]和模糊語言偏好關系[6-9]是模糊偏好關系的兩種典型擴展，前者在單等級上描述成對方案間的優(yōu)于、劣于和不確定三種關系，而后者則在多等級上描述成對方案間的優(yōu)于、劣于和無差異三種關系。不同于前面這兩種方法，分布式偏好關系在多等級上同時刻畫成對方案間的優(yōu)于、劣于、無差異和不確定四種關系[3,10]，從而更為全面、柔性地描述成對方案間的比較關系，更好地應對高度動態(tài)不確定環(huán)境下的決策問題。

利用分布式偏好關系進行多屬性決策問題求解時，必須對分布式偏好關系進行比較，從而產(chǎn)生合理的決策解。文獻[3]構建的多屬性決策方法利用等級得分值(見1.1節(jié))將成對方案間的分布式偏好關系轉化為得分值區(qū)間，基于文獻[11]中的區(qū)間數(shù)比較方法，構建不考慮概率分布的分布式偏好關系的比較可能度，進而產(chǎn)生決策解。此比較可能度的提出僅考慮了得分值區(qū)間的上下限，對得分值區(qū)間自身的概率分布缺乏考慮。一般而言，在決策者提供詳細信息的條件下，可考慮得分值區(qū)間服從相應的概率分布；而在沒有進一步信息支撐的情況下，成對方案比較的全局無知可隨機分配到各個等級，得分值區(qū)間內(nèi)的每個點成為決策方案的綜合評價值是等可能的，在這種情況下，決策方案的綜合評價值在得分值區(qū)間內(nèi)服從均勻分布。因此，有必要考慮分布式偏好關系得分值區(qū)間服從均勻分布的比較可能度，并運用于決策問題求解中。在進行多屬性決策問題求解時，經(jīng)常出現(xiàn)由于決策過程中知識的缺乏或者決策者的主觀判斷而導致屬性權重未知的情形。針對此情形，考慮得分值區(qū)間服從均勻分布，同時產(chǎn)生高辨識度的決策解，本文提出一種基于服從均勻分布的分布式偏好關系比較可能度的多屬性決策方法。

以下首先介紹分布式偏好關系及其未考慮分布的比較可能度；而后基于文獻[12]中的區(qū)間數(shù)比較方法構造服從均勻分布的分布式偏好關系比較可能度，從理論上分析并證明了與未考慮分布的比較可能度相比，其具有更高的辨識度；進而基于提出的比較可能度提出屬性權重未知的多屬性決策方法。最后，將提出的方法運用于求解蕪湖市戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)評估問題，驗證了方法的有效性與合理性。

1 相關基礎

1.1 分布式偏好關系

分布式偏好關系是定義在多等級對稱框架上，同時刻畫成對方案間的優(yōu)于、劣于、無差異和不確定四種關系的方案成對比較表示方法，規(guī)范化定義如下。

定義1[3]設X={x1,x2, …,xm}表示一組方案集，Ω={H1,H2, …,HN}(N為奇數(shù))為一個對稱的評價等級框架，其中H(N+1)/2+1,H(N+1)/2+2, …,HN表示遞增的優(yōu)于強度，H1,H2, …,H(N+1)/2-1表示遞減的劣于強度，H(N+1)/2表示無差異，且HN-n+1與Hn(n=1, 2, …, (N+1)/2-1)對稱。任給一對方案xi和xj，它們之間的分布式偏好關系表示為dij={(Hn,mij(Hn)),n=1, 2, …,N; (Ω,mij(Ω))}，其中mij(Hn)和mij(Ω)分別表示等級Hn上的信念度和全局無知上的信念度(不確定度)，滿足:

0≤mij(Hn),mij(Ω)≤1;n=1, 2, …,N

(1)

(2)

mij(Hn)=mji(HN-n+1);n∈{1, 2, …,N}

(3)

mij(Ω)=mji(Ω)

(4)

mii(H(N+1)/2)=1

(5)

分布式偏好關系等級框架Ω={H1,H2, …,HN}一般可通過決策者依據(jù)自身偏好和經(jīng)驗信息，綜合專家意見來確定的。通過Saaty[1]提出的層次分析法可知，從心理學規(guī)律上來看，由決策者給出方案xi優(yōu)于xj的等級標度不超過9。分布式偏好關系的對稱等級框架包括優(yōu)于、劣于以及無差異三種關系，依據(jù)層次分析法中的9標度，一般而言，在實際決策過程中，分布式偏好關系的等級標度滿足N≤17。

為了度量各等級的差異，定義各等級上的得分值，如下所示。

定義2[3]設Ω={H1,H2, …,HN}(N為奇數(shù))為表達定義1中分布式偏好關系的對稱框架，則其對應的等級得分值s(Hn)滿足：

0

(6)

s(H(N+1)/2)=0

(7)

s(Hn)=s(HN-n+1)；n∈{1, 2, …,N}

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

由式(6)～(12)易知，sij和sji滿足[3]：

(13)

(14)

1.2 分布式偏好關系的比較可能度

為了比較分布式偏好關系形成決策解，文獻[3]基于分布式偏好關系的得分值區(qū)間，利用文獻[11, 13]中的區(qū)間數(shù)比較方法(NSG區(qū)間數(shù)比較方法[14]的變形)構造不考慮均勻分布的分布式偏好關系的比較可能度，具體如下。

(15)

定義3中的比較可能度僅考慮利用得分值區(qū)間的上下限對方案進行優(yōu)劣比較，未考慮得分值區(qū)間上隨機變量的概率分布，得分值區(qū)間是由等級得分值、等級信念度和全局無知產(chǎn)生的，一般而言，全局無知被分配到各個等級的概率是相同的，那么由此產(chǎn)生的得分值區(qū)間服從均勻分布。為了定義分布式偏好關系得分值區(qū)間服從均勻分布的比較可能度, 本文首先介紹一種服從均勻分布的區(qū)間數(shù)比較方法，具體如下。

定義4[12, 15]設a=[a-,a+]和b=[b-,b+]為兩個區(qū)間數(shù)，其上隨機變量均服從均勻分布，則a優(yōu)于b的可能度為：

(16)

以下將利用式(16)構造服從均勻分布的分布式偏好關系比較可能度，并與定義3中的比較可能度進行理論對比分析，探討兩者的大小關系和取值差異，進而論證本文提出的比較可能度具有更高的辨識度。

2 服從均勻分布的比較可能度

在利用分布式偏好關系構建的多屬性決策問題中，對分布式偏好關系進行比較，首先要產(chǎn)生其間的比較可能度，以下將從分布式偏好關系得分值區(qū)間出發(fā)，考慮其概率分布，探討服從均勻分布的分布式偏好關系的比較可能度。

(17)

依據(jù)定義5，在多屬性決策中成對方案間的優(yōu)劣關系可定義如下。

基于得分值區(qū)間服從均勻分布，定義5提出了一種新的分布式偏好關系比較可能度，且與定義3中的比較可能度p(sij≥sji)相比，兩者在一定條件下存在固定的大小關系。

(18)

(19)

證畢。

由定理1可知，對于相同的一對方案，定義6中的比較可能度始終大于定義3中的比較可能度，且兩者之間的取值差異規(guī)約在一定范圍內(nèi)。

(20)

(21)

證畢。

綜合定理1和定理2可知，與不考慮概率分布的比較可能度相比，考慮服從均勻分布的比較可能度產(chǎn)生的決策解具有更高的辨識度。

3 多屬性決策方法

在真實決策過程中，經(jīng)常出現(xiàn)屬性權重未知的情形。針對此情形，本章對多屬性決策問題進行建模，進而設計一種基于服從均勻分布的分布式偏好關系比較可能度的多屬性決策方法。

3.1 問題建模

3.2 問題求解

對于3.1節(jié)中建模的多屬性決策問題，首先要確定各屬性的相對權重。

給定各屬性上成對方案間的分布式偏好關系d(ei(alk)) (?i∈{1, 2, …,L}, ?l,k∈{1, 2, …,m})，計算出各屬性上成對方案間的得分值區(qū)間，標記為s(ei(alk))=[s-(ei(alk)),s+(ei(alk))] (?i∈{1, 2, …,L}, ?l,k∈{1, 2, …,m})。

為了衡量在各屬性上成對方案間的差異，需要考慮度量不同得分值區(qū)間之間的距離。針對這個問題，借鑒文獻[16]中的兩區(qū)間數(shù)的距離公式，即設a=[a-,a+]和b=[b-,b+]為兩個區(qū)間數(shù)，則：

(22)

其中，d(a,b)為區(qū)間數(shù)a與b之間的距離。

依據(jù)式(22)計算在各屬性上每個方案與其余方案間的平均距離，將其標記為d(ei(al)) (?i∈{1, 2, …,L}, ?l∈{1, 2, …,m})，即:

(23)

基于式(23)度量在各屬性上所有方案間的平均距離，以此作為各屬性上的方案差異度，并將其標記為di(?i∈{1, 2, …,L})，即:

(24)

依據(jù)式(24)，利用各屬性的方案差異度di(i=1, 2, …,L)來度量各屬性權重wi(?i∈{1, 2, …,L})，即:

(25)

從而得到各屬性的相對權重w=(w1,w2, …,wL)。

綜上，給出基于分布式偏好關系比較可能度屬性權重未知的多屬性決策方法流程。

步驟1 針對3.1節(jié)建模的多屬性決策問題，決策者依據(jù)自身偏好，綜合考慮專家意見，確定等級框架Ω={H1,H2, …,HN}(N為奇數(shù))，等級得分值s(Hn) (n=1, 2, …,N)。

步驟2 決策者給出屬性集E上成對方案間的分布式偏好關系d(ei(alk)) (?i∈{1, 2, …,L}, ?l,k∈{1, 2, …,m})。

步驟3 計算各屬性上成對方案間的得分值區(qū)間，依據(jù)式(23)～(25)確定各屬性的相對權重wi(i=1, 2, …,L)。

步驟4 運用文獻[3]中的屬性集結方法，得到完全的分布式偏好關系，形成得分值矩陣S。

4 案例分析

為了構建國內(nèi)先進產(chǎn)業(yè)基地以及現(xiàn)代高端產(chǎn)業(yè)體系，蕪湖市決定實行戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)重點培育和發(fā)展。蕪湖市發(fā)改委選定了4個產(chǎn)業(yè)作為備選方案，包括裝備制造、電子信息、新材料以及新能源。由蕪湖市發(fā)改委官員擔任決策者，邀請來自政府有關部門、相關產(chǎn)業(yè)以及合作高校的10位專家，選取產(chǎn)業(yè)發(fā)展?jié)摿?e1)、產(chǎn)業(yè)發(fā)展基礎(e2)、對低碳和環(huán)境保護的影響(e3)、促進科技的產(chǎn)業(yè)效應(e4)、盈利能力(e5)、就業(yè)吸納能力(e6)等6個屬性，并實現(xiàn)對4個產(chǎn)業(yè)的有效評估。由于針對每個屬性，需要考慮的子屬性頗多，且專家們相關意見繁雜不統(tǒng)一，獲取6個屬性的相對權重相當困難。以下將針對屬性權重未知的情形，用本文提出的決策方法進行問題求解，流程如下：

1)決策者結合自身知識和偏好，綜合專家意見，確定對稱的等級框架為Ω={H1,H2, …,H11}={絕對弱, 非常弱, 很弱, 一般弱, 稍弱, 無差異, 稍強, 一般強, 很強, 非常強, 絕對強}，其等級得分值為s(Hn) (n=1,2,…,11)=(-1,-0.8,-0.6, -0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1)。

2)針對上述4個產(chǎn)業(yè)，給出成對方案間的分布式偏好關系，如表1所示。其中，4個產(chǎn)業(yè)表示為Il(l=1, 2, …, 4)，成對產(chǎn)業(yè)在屬性上的分布式偏好關系表示為d(ei(Ilk)) (i=1, 2, …, 6;l,k=1, 2, …, 4)。

3)依據(jù)式(9)～(12)，將各屬性上成對方案間的分布式偏好關系轉化為相應的得分值區(qū)間s(ei(Ilk))， (?i∈{1, 2, …, 6}, ?l,k∈{1, 2, …, 4})，具體如表2所示。

基于表2，利用式(23)計算各屬性上每個方案與其余方案間的平均差距d(ei(Il))，如表3所示。

依據(jù)式(24)求取各屬性上成對方案間的平均差距di(i=1,2,…,6)=(0.418 2,0.772 3,0.471 8,0.387 8,0.552 7,0.883)。進而利用式(25)求得各屬性的相對權重wi(i=1,2,…,6)=(0.112,0.221 6,0.135 3,0.111 2,0.158 6,0.253 3)。

4)運用文獻[3]中的屬性集結方法，將各屬性上成對方案間的分布式偏好關系d(ei(Ilk)) (?i∈{1, 2, …, 6}, ?l,k∈{1, 2, …, 4})集結為成對方案間的分布式偏好關系d(Ilk)，如表4所示。

表1 成對產(chǎn)業(yè)在屬性上的分布式偏好關系Tab. 1 Distributed preference relations on attributes of pairwise industries

表2 成對產(chǎn)業(yè)在屬性上的得分值區(qū)間Tab. 2 Score intervals on attributes of pairwise industries

表3 各屬性上每個方案與其余方案間的平均差距Tab. 3 Average difference on attributes of each alternative and other alternatives

將d(Ilk)轉化為對應的得分值區(qū)間s(Ilk)=[s-(Ilk),s+(Ilk)]，進而得到完全的得分值矩陣如下：

5) 基于分布式偏好關系得分值矩陣S，利用式(17)求取服從均勻分布的可能度矩陣:

表4 成對產(chǎn)業(yè)間的分布式偏好關系Tab. 4 Distributed preference relations of pairwise industries

5 結語

本文針對利用分布式偏好關系建模的多屬性決策問題，提出了一種基于其比較可能度的屬性權重未知的多屬性決策方法。首先構造了一種服從均勻分布的分布式偏好關系比較可能度，進而運用此可能度闡述了一種屬性權重未知的多屬性決策方法。最后，利用提出的多屬性方法求解蕪湖市戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)評估問題，詮釋該方法的實現(xiàn)過程，驗證了其應用性和合理性。同時，與文獻[3]中的方法進行了對比，突出了本文方法在考慮均勻分布合理性、深入挖掘決策信息、產(chǎn)生高辨識度的決策解等方面的優(yōu)點。

本文提出的分布式偏好關系比較可能度，能產(chǎn)生較高辨識度的決策結果，但仍不能保證比較可能度自身的傳遞性。下一步擬將設計新的區(qū)間數(shù)比較方法，實現(xiàn)比較可能度的傳遞性，并設計相應的多屬性決策方法。

References)

[1] SAATY T L. The Analytic Hierarchy Process [M]. New York: McGraw-Hill Inc, 1980: 1-3.

[2] ORLOVSKY S A. Decision-making with a fuzzy preference relation [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1978, 1(3): 155-167.

[3] FU C, XU D-L, YANG S-L. Distributed preference relations for multiple attribute decision analysis [J]. Journal of the Operational Research Society, 2016, 67(3): 457-473.

[4] HERRERA-VIEDMA E, HERRERA F, CHICLANA F, et al. Some issues on consistency of fuzzy preference relations [J]. European Journal of Operational Research, 2004, 154(1): 98-109.

[5] SZMIDT E, KACPRZYK J. A consensus-reaching process under intuitionistic fuzzy preference relations [J]. International Journal of Intelligent Systems, 2003, 18(7): 837-852.

[6] HERRERA F, HERRERA-VIEDMA E. Choice functions and mechanisms for linguistic preference relations [J]. European Journal of Operational Research, 2000, 120(1): 144-161.

[7] XU Z. Deviation measures of linguistic preference relations in group decision making [J]. Omega, 2005, 33(3): 249-254.

[8] TAO Z, LIU X, CHEN H, et al. Group decision making with fuzzy linguistic preference relations via cooperative games method [J]. Computers & Industrial Engineering, 2015, 83(C): 184-192.

[9] WU Z, XU J. Managing consistency and consensus in group decision making with hesitant fuzzy linguistic preference relations [J]. Omega, 2016, 65: 28-40.

[10] 付超,侯震.基于多等級方案成對比較的決策方法[J].控制與決策,2015,30(10):1828-1834. (FU C, HOU Z. Decision method based on pairwise comparison of alternatives on multiple grades [J]. Control and Decision, 2015, 30(10): 1828-1834.)

[11] 徐澤水,達慶利.區(qū)間數(shù)的排序方法研究[J].系統(tǒng)工程,2001,19(6):94-96. (XU Z S, DA Q L. Research on method for ranking interval numbers [J]. Systems Engineering, 2001, 19(6): 94-96.)

[12] 張全,樊治平,潘德惠.不確定性多屬性決策中區(qū)間數(shù)的一種排序方法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,1999,19(5):129-133. (ZHANG Q, FAN Z P, PAN D H. A ranking approach for interval numbers in uncertain multiple attribute decision making problems [J]. System Engineering Theory and Practice, 1999, 19(5): 129-133.)

[13] 徐澤水,達慶利.區(qū)間數(shù)排序的可能度法及其應用[J].系統(tǒng)工程學報,2003,18(1):67-70. (XU Z S, DA Q L. Possibility degree method for ranking interval numbers and its application [J]. Journal of Systems Engineering, 2003, 18(1): 67-70.)[14] NAKAHARA Y, SASAKI M, GEN M. On the linear programming problems with interval coefficients [J]. Computers & Industrial Engineering, 1992, 23(1/2/3/4): 301-304.

[15] 張全,樊治平.區(qū)間數(shù)多屬性決策中一種帶有可能度的排序方法[J].控制與決策,1999,14(6):703-706,711. (ZHANG Q, FAN Z P. A ranking approach with possibilities for multiple attribute decision making problems with intervals [J]. Control and Decision, 1999, 14(6): 703-706, 711.)

[16] 李霞,張紹林,張淼,等.基于新距離測度的區(qū)間數(shù)排序[J].西華大學學報(自然科學版),2008,27(1):87-90. (LI X, ZHANG S L, ZHANG M, et al. Rank of interval numbers based on a new distance measure [J]. Journal of Xihua University (Natural Science), 2008, 27(1): 87-90.)

This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (71201043, 71571060), the Ministry of Education, Humanities and Social Sciences Planning Project (14YJA630051).

HUXin, born in 1994, M. S. candidate. Her research interests include decision making theory and method.

CHANGWenjun, born in 1991, M. S. candidate. His research interests include decision making theory and method.

SUNChaoping, born in 1973, Ph. D., associate professor. His research interests include management decision method in cloud computing.

Multi-attributedecisionmakingmethodbasedoncomparisonpossibilitydegree

HU Xin1,2, CHANG Wenjun1,2*, SUN Chaoping1,2

(1.SchoolofManagement,HefeiUniversityofTechnology,HefeiAnhui230009,China；2.KeyLaboratoryofProcessOptimizationandIntelligentDecision-making,MinistryofEducation,HefeiAnhui230009,China)

Based on comparison possibility degree of Distributed Preference Relation (DPR) considering four pairwise relations of alternatives including superiority, inferiority, indifference and uncertainty, a multi-attribute decision making method with unknown attribute weights was proposed. Firstly, DPRs were transformed to score intervals by using grade scores. Based on the score intervals, the comparison possibility degree of DPR with consideration of uniform distribution was constructed. Secondly, the relationship between comparison possibility degree and the difference range of values of the proposed possibility degree and the possibility degree without considering probability distribution were theoretically analyzed and proven. At last, by using the proposed possibility degree, a multiple attribute decision making process considering unknown attribute weights was generated. Meanwhile, a high recognizable decision solution was created. The proposed method was applied to evaluate the strategic emerging industries of Wuhu, which verified the applicability and validity of the method.

Distributed Preference Relation (DPR); score interval; comparison possibility degree; multi-attribute decision making; attribute weight

TP18

A

2017- 02- 20;

2017- 04- 24。

國家自然科學基金資助項目(71201043，71571060)；教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目(14YJA630051)。

胡鑫(1994—)，女，遼寧鐵嶺人，碩士研究生，主要研究方向：決策理論與方法； 常文軍(1991—)，男，安徽蕪湖人，碩士研究生，主要研究方向：決策理論與方法； 孫超平(1973—)，男，安徽懷寧人，副教授，博士，主要研究方向：云計算環(huán)境下管理決策方法。

1001- 9081(2017)08- 2223- 06

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.08.2223