王旭，李欣業(yè)，王振靜，韓善凱

(河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300130)

強(qiáng)非線性杜芬系統(tǒng)的周期解及其分岔

王旭，李欣業(yè)，王振靜，韓善凱

(河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300130)

基于廣義諧波平衡法，求解了強(qiáng)非線性杜芬振子自由振動(dòng)和簡(jiǎn)諧激勵(lì)下受迫振動(dòng)的周期-m解，并與數(shù)值解進(jìn)行了比較，從而討論非線性項(xiàng)的系數(shù)以及激勵(lì)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)周期解的影響.對(duì)自由振動(dòng)而言，倍周期響應(yīng)的周期是派生系統(tǒng)固有周期的整倍數(shù)；對(duì)受迫振動(dòng)而言，倍周期響應(yīng)的周期是外激勵(lì)周期的整倍數(shù).結(jié)果表明，為使近似解析諧波解與數(shù)值解比較接近，系統(tǒng)的非線性越強(qiáng)，所需的諧波項(xiàng)數(shù)越多；所設(shè)倍周期分岔解的周期越大，所需的項(xiàng)數(shù)也越多.

廣義諧波平衡法；強(qiáng)非線性；杜芬系統(tǒng)；周期-m解

眾所周知，在傳統(tǒng)的求解非線性振動(dòng)系統(tǒng)的各種近似解析方法中，諧波平衡法是概念最明了、使用最簡(jiǎn)便的，且不僅限于弱非線性系統(tǒng)[1-3]．也正因如此，許多學(xué)者將諧波平衡法與其他方法或理論相結(jié)合，提出了新的改進(jìn)方法，使諧波平衡法的理論有了十分豐富的發(fā)展[4]．

1981年Lau和Cheung[5]最先將諧波平衡法與增量法結(jié)合，并將該方法稱為增量諧波平衡法(IHB法)．Yuste[6]將諧波平衡法與雅可比橢圓函數(shù)結(jié)合起來，得到橢圓函數(shù)諧波平衡法．Huseyin等[7]提出了一種把諧波平衡法與多尺度法結(jié)合起來的內(nèi)在的時(shí)間多尺度諧波平衡法來分析非線性周期振蕩和分岔問題，在此基礎(chǔ)上，Summers等[8]提出了雙時(shí)間尺度諧波平衡法．

早在Lagrange時(shí)期，在確定行星運(yùn)行軌道的演化規(guī)律時(shí)就提出了平均的概念，后經(jīng)Krylov和Bogolyubov提出著名的KB變換后，逐步形成了具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的平均法[9]．Chow[10]首次在分岔問題中使用了平均法，研究了二維中心流Hopf分岔的穩(wěn)定性交換公式．平均法經(jīng)過徐兆和張佑啟等多位學(xué)者的不斷完善，逐步發(fā)展為廣義平均法[11]．在此基礎(chǔ)上又加入廣義諧波函數(shù)的概念，通過這種處理平均法不但可以用于求弱非線性問題，對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)也同樣適用．

廣義諧波平衡法[12]綜合了諧波平衡法和平均法的優(yōu)勢(shì)，既是諧波平衡法的發(fā)展，又是平均法的發(fā)展．本文將基于此法構(gòu)造杜芬系統(tǒng)自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)的近似解析周期解．由于篇幅限制，略去了對(duì)基于此法構(gòu)造的周期解的穩(wěn)定性分析．

1 廣義諧波平衡法

考慮如下形式的運(yùn)動(dòng)微分方程

(1)

與諧波平衡法類似，設(shè)其解的形式如下:

(2)

當(dāng)該方程為自治系統(tǒng)時(shí)，其基頻Ω是對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)的固有頻率.當(dāng)該方程為非自治系統(tǒng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的是外激勵(lì)周期的整數(shù)倍,與平均法類似，式(2)中的諸系數(shù)是時(shí)變的.對(duì)式(2)求二階導(dǎo)數(shù)，可得

(3)

將式(3)代入方程(1),再利用三角函數(shù)的正交性可得

(4)

其中

式(4)又可以改寫成如下一階微分方程組的形式:

(5)

?

?

式(5)是用于確定近似解(2)的平均方程，若令z=(a0,b1,…,bn,c1,…,cn)T,又可寫成如下形式:

(6)

與平均法類似，為求形如式(2)的穩(wěn)態(tài)解，令各平均方程等號(hào)右邊的表達(dá)式為零，可得到關(guān)于諸系數(shù)的2n+1個(gè)非線性代數(shù)方程組

(7)

一般地，式(7)可以通過Newton-Raphson方法進(jìn)行數(shù)值求解.根據(jù)李雅普諾夫一次近似理論，可以通過求相應(yīng)雅克比矩陣的特征值來判斷解的穩(wěn)定性．

2 杜芬系統(tǒng)自由振動(dòng)的周期解

在不考慮阻尼的情況下，杜芬系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程可以表示為

(8)

相應(yīng)的平均方程為

(9)

圖1和圖2分別表示在α、β取不同值時(shí)，x的近似解析解和數(shù)值解的時(shí)間歷程曲線，其中圖例xn表示數(shù)值解，xa表示近似解析解，下角標(biāo)中的數(shù)字代表諧波項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．

圖1 α=1,β=0.1時(shí)的時(shí)間歷程Fig.1 Time history with α=1,β=0.1

圖2 α=4,β=5時(shí)的時(shí)間歷程Fig.2 Time history with α=4,β=5

圖1表明，當(dāng)非線性較弱時(shí)，用3項(xiàng)諧波的和作為近似解就能較好地與數(shù)值解吻合，繼續(xù)增加諧波項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，對(duì)提高解的精度意義不大．圖2表明，當(dāng)系統(tǒng)的非線性較強(qiáng)時(shí)，由于派生系統(tǒng)的固有周期變小，用10項(xiàng)諧波的和作為近似解也能較好地與數(shù)值解吻合．所以在接下來討論杜芬系統(tǒng)的受迫振動(dòng)時(shí)，近似解是按至少包含10項(xiàng)諧波給出的．

3 杜芬系統(tǒng)受迫振動(dòng)的周期解

在自由振動(dòng)基礎(chǔ)上，以杜芬系統(tǒng)的受迫振動(dòng)為例，驗(yàn)證廣義諧波平衡法對(duì)周期-m解的適用性．

3.1 周期-m解

杜芬系統(tǒng)的受迫振動(dòng)微分方程可以表示為

(10)

設(shè)其解為

(11)

此時(shí)的平均方程為

n.

(12)

將式(12)簡(jiǎn)寫成

(13)

g(m)(z(m))=06×1.

(14)

此時(shí)得到的平衡點(diǎn)即為近似解析解，即方程(10)中動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解．

3.2 激勵(lì)參數(shù)的影響

強(qiáng)非線性杜芬系統(tǒng)在作受迫振動(dòng)時(shí)可能出現(xiàn)倍周期分岔的情況，以隨外激勵(lì)幅值和外激勵(lì)頻率變化而產(chǎn)生的倍周期分岔為例，對(duì)廣義諧波平衡法求解周期-m解的適用性進(jìn)行分析．

3.2.1 激勵(lì)幅值的影響

圖3和圖4分別為μ=0.3,α=-1,β=1,Ω=1.2時(shí)，不同的F值對(duì)應(yīng)的x的時(shí)間歷程曲線．

圖3 F=0.2時(shí)的時(shí)間歷程Fig.3 Time history with F=0.2

圖4 F=0.287時(shí)的時(shí)間歷程Fig.4 Time history with F=0.287

與圖3對(duì)比，圖4表明系統(tǒng)的受迫振動(dòng)響應(yīng)周期為圖3所示響應(yīng)周期的2倍．

3.2.2 激勵(lì)頻率的影響

圖5、6、7分別表示方程(9)中選取μ=0.25、α=-1、β=1、F=0.26時(shí)隨Ω值的變化，響應(yīng)出現(xiàn)倍周期分岔時(shí)，x的時(shí)間歷程曲線．

圖5—圖7表明，隨著外激勵(lì)頻率的減小，受迫振動(dòng)響應(yīng)出現(xiàn)了倍周期分岔，即響應(yīng)周期倍增的現(xiàn)象.由于周期不斷變大，所以近似解中的諧波項(xiàng)數(shù)越來越多，以期能與數(shù)值解有比較好地吻合．

圖5 Ω=1.3時(shí)的時(shí)間歷程Fig.5 Time history with Ω=1.3

圖6 Ω=1.24時(shí)的時(shí)間歷程Fig.6 Time history with Ω=1.24

圖7 Ω=1.2時(shí)的時(shí)間歷程Fig.7 Time history with Ω=1.2

4 討論與結(jié)論

廣義諧波平衡法結(jié)合了諧波平衡法和平均法的優(yōu)點(diǎn)，即不僅可以進(jìn)行解的穩(wěn)定性分析，又適用于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，亦適用于多自由度系統(tǒng)．本文利用此法求解強(qiáng)非線性杜芬系統(tǒng)的近似周期解時(shí)，僅考慮了倍周期分岔的情況，即對(duì)自由振動(dòng)，僅考慮了周期為派生系統(tǒng)固有周期整倍數(shù)的情況，對(duì)受迫振動(dòng)僅考慮了周期為外激勵(lì)周期整倍數(shù)的情況．對(duì)于受迫振動(dòng)而言，這種倍周期運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于亞諧振動(dòng)．事實(shí)上，也可用此法求強(qiáng)非線性系統(tǒng)的超諧振動(dòng)解，即解的周期為派生系統(tǒng)固有周期(對(duì)自由振動(dòng))或激勵(lì)周期(對(duì)受迫振動(dòng))的幾分之一倍的情況．本文的結(jié)果表明，不論是自由振動(dòng)還是受迫振動(dòng)，只要所需諧波項(xiàng)數(shù)足夠多，基于此法構(gòu)造的近似解析解都能很好地與數(shù)值解吻合．為使近似解析諧波解與數(shù)值解比較接近，則系統(tǒng)的非線性越強(qiáng)，所需的諧波項(xiàng)數(shù)越多；所設(shè)倍周期解的周期越大，所需的項(xiàng)數(shù)也越多．

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(責(zé)任編輯：王蘭英)

PeriodicsolutionsandtheirbifurcationofDuffingsystemwithstrongnon-linearity

WANGXu,LIXinye,WANGZhenjing,HANShankai

(School of Mechanical Engineering,Hebei University of Technology,Tianjin 300130,China)

Based on the generalized harmonic balance method,the period-m responses of free and forced Duffing oscillators are constructed and compared with numerical solutions from which the effects of nonlinear term and excitation parameters can be observed.For free vibrations,the response periods are assumed to be integer times of the natural period of the corresponding linear system and the excitation period respectively.It is shown that the number of harmonic terms should be large enough for both strongly nonlinear systems and period-doubling bifurcation solutions with large period so that the approximate analytic solutions are comparative to numerical results.

generalized harmonic balance method;strong non-linearity;Duffing systems;period-msolution

O322

A

1000-1565(2017)05-0457-07

10.3969/j.issn.1000-1565.2017.05.003

2017-03-27

河北省高層次人才資助項(xiàng)目(C201400309)

王旭(1990—)，男，河北保定人，河北工業(yè)大學(xué)在讀碩士研究生．E-mail：1216380802@qq.com

李欣業(yè)(1966—)，男，河北遷安人，河北工業(yè)大學(xué)教授，主要從事復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與分析和非線性動(dòng)力學(xué)與控制研究．E-mail：xylihebut@163.com