胡錦暉　胡大斌　肖劍波

摘 要： 在強機動條件下，水下航行器運動模型的解算可能會出現(xiàn)分岔、突變和多解等現(xiàn)象，對應(yīng)于水下航行器的運動會出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。針對這一問題，采用系統(tǒng)穩(wěn)定性、穩(wěn)定性判別及分岔等理論，以及解算高維非線性系統(tǒng)的延拓算法，研究了各項參數(shù)對水下航行器高速運動穩(wěn)定性等非線性特性的影響，求出了產(chǎn)生分岔等危險情況的數(shù)值解。研究結(jié)果對水下航行器的實際操作控制可提供有益指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞： 水下航行器； 高速機動； 非線性系統(tǒng)； 延拓算法

中圖分類號： TN711.4?34； E925.66 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）20?0128?04

Abstract： Under the condition of strong maneuvering， the phenomena of bifurcation， saltation and multiple solutions may occur to the resolving of underwater vehicle motion model， corresponding to the motion of underwater vehicle， an unstable phenomenon may appear. To solve this problem， the influence of various parameters on the stability of underwater vehicle in high speed is studied according to the theories of the system stability， stability identification and bifurcation， as well as continuation algorithm for high?dimension nonlinear systems. The numerical solution of the bifurcation and other dangerous situations was obtained. The research results can provide a useful guidance for practical operation control of underwater vehicle.

Keywords： underwater vehicle； high?speed maneuvering； nonlinear system； continuation algorithm

隨著水下航行器復(fù)雜程度及自動化程度的提高，對其設(shè)計和使用提出了更高的要求。如何提高操縱人員的操縱水平，使航行器得到有效的控制，不僅關(guān)系到航行器執(zhí)行各項任務(wù)的效率，更關(guān)系到各種裝置及人員的安全。水下航行器運動模型是非線性微分方程。在強機動條件下，解算運動模型可能會出現(xiàn)分岔、突變和多解等現(xiàn)象，對應(yīng)于航行器實際運動會出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象，這是很危險的。水下航行器在大傾角下進行空間高速機動時，操舵引起的縱傾角、橫傾角大致與航速的平方成正比，而潛深的變化正比于航速的立方，這些反應(yīng)到模型中都是變量間的非線性關(guān)系。高速回轉(zhuǎn)時的水下航行器還存在“突然橫滾”的問題。因此，水下航行器在水下高速機動時，不可避免地隨之產(chǎn)生較大的縱傾角變化，水下航行器的深度也隨之劇烈改變，從而帶來航行安全性隱患[1]。

本文利用非線性系統(tǒng)理論，研究水下航行器高速運動工況下的穩(wěn)定性等非線性特性，為航行器的操作控制提供有益的指導(dǎo)，以使其發(fā)揮出更好的性能。

1 非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定及分岔

在系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究中，李雅普諾夫函數(shù)法是較為常用的方法；但是構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)需要一些經(jīng)驗和技巧，并且對于非線性系統(tǒng)還沒有通用的方法。本文通過判別系統(tǒng)雅克比矩陣特征值λi（i=1，2，…，n）來判定穩(wěn)定性。對于任意λi，如果其實部Re（λi）<0，系統(tǒng)的擾動運動逐漸衰減，且[Re（λi）]越大，其衰減越快，越利于系統(tǒng)穩(wěn)定；如果存在某一特征值，其實部[Re]（λi）<0，系統(tǒng)的擾動運動逐漸加強，且[Re（λi）]越大，其擾動越強，系統(tǒng)趨于發(fā)散速度越快；如果存在一對共扼復(fù)特征值，則系統(tǒng)發(fā)生振蕩[2]。如果某個動力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)定的，則在適當?shù)臄_動作用下，該系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)有可能發(fā)生突變，這種突變通常稱為分岔。反之，如果系統(tǒng)發(fā)生分岔，那么可以判斷其結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)定的[3]。對于含參數(shù)的動力學系統(tǒng)：

那么稱其在μ=μ0處發(fā)生分岔。按其研究的范圍和重點不同，分岔分為局部分岔、全局分岔、靜態(tài)分岔和動態(tài)分岔。

2 非線性系統(tǒng)的數(shù)值解法

非線性系統(tǒng)的本質(zhì)是常微分方程，一般表示成微分量的顯式表達，求解其平衡點即：

這樣問題就歸結(jié)為求解非線性代數(shù)方程。從普遍意義上來講，非線性代數(shù)方程的根能用解析式表達的很少，絕大多數(shù)需要用數(shù)值方法求解[4]。牛頓迭代法求解速度快、精度高且能夠得到特征向量等有價值的附加信息。但它的收斂半徑一般很小，其收斂性依賴于迭代初始點的選擇，當初始點選擇不當時，算法可能出現(xiàn)不收斂的情況。延拓算法可以很好地避免牛頓迭代法的缺點，它在較大的初值范圍內(nèi)具有收斂性，從而顯著地擴大了初值的容許范圍。對于式（2），x為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，μ為控制參數(shù)，f為光滑映射。一般情況下μ∈Rm在研究其中某一參數(shù)對平衡解的影響時，可固定其他參數(shù)，問題簡化為μ∈R，即余維度為1，本文在此做如上簡化。若在μ=μ0時，x=x0為系統(tǒng)的一個平衡點。延拓算法主要就是研究當參數(shù)μ發(fā)生變化時，系統(tǒng)的平衡點x0隨參數(shù)μ變化的情況。函數(shù)f（x，μ）在平衡點（x0，μ0）處的雅克比矩陣為：

若det[Df（x0，μ0）]≠0，即[Df（x0，μ0）]非奇異，根據(jù)隱函數(shù)的相關(guān)理論，在參數(shù)空間Rm中存在點μ0的某個鄰域，如果參數(shù)點μ屬于該鄰域，則方程f（x，μ）=0存在惟一解x=g（μ），且x0=g（μ0）。數(shù)值求解的過程就是尋找光滑曲線x=g（μ）。這時，如果參數(shù)μ=μ0，可以求得式（2）的一個解x=x0，接著采用延拓算法可以追蹤式（2）經(jīng)過平衡點（x0，μ0）在空間Rn×R中的解分支[5]。延拓算法總體上分為兩類，分段線性化是其中的一類方法，但其剖分結(jié)構(gòu)復(fù)雜，編程實現(xiàn)不易。預(yù)測?校正是第二類算法，主要思路是用達到一定要求精度的數(shù)值序列來追蹤該解分支，本文主要研究的是預(yù)測?修正算法[6]。預(yù)測?校正算法總體上分為三步，即：

（1） 預(yù)測下一平衡點；

（2） 對預(yù)測點進行修正；

（3） 步長控制。

3 某型水下航行器高速機動非線性特性分析

3.1 水下航行器運動方程的變形

根據(jù)文獻[1]中給出的水下航行器運動方程進行非線性特性分析，首先要對其進行變形，使其轉(zhuǎn)化為形如式（2）的形式。由于水下航行器運動方程較為復(fù)雜，應(yīng)先對其進行變量分離，得到中間變形式如下：

3.2 水下航行器的運動穩(wěn)定性研究

水下航行器達到定常狀態(tài)是指，水下航行器的線速度和角速度達到有限的穩(wěn)定值。因此，水下航行器運動的穩(wěn)態(tài)條件是：相對于運動坐標系的線加速度[（u，v，w）]和角加速度[（p，q，r）]為0，同時水下航行器的橫傾角速度p和縱傾角速度q也為0，橫傾角φ和縱傾角θ為一定值，即：

求解式（8）這種復(fù)雜的八維非線性方程組，用解析的方法幾乎是不可能的，利用延拓算法，可以求其數(shù)值解。本文在Matlab平臺上運用MATCONT對式（7）進行解算，求取參數(shù)變化引起水下航行器運動失穩(wěn)的數(shù)值解[7]。因為式（7）中涉及的變量及參數(shù)較多，為避免贅述，本文主要給出部分發(fā)現(xiàn)分岔的情況。

3.2.1 以yG為自由參數(shù)

初始條件：水下航行器等速直航，航行速度u=9.8 m/s；δr=δb=δs=0，xG=0，zG=0.42 m，初始靜載平衡W=B，考察yG變化對運動穩(wěn)定性的影響，主要考察其對航行器姿態(tài)角的影響。計算結(jié)果如圖1、圖2所示。yG?φ分岔中，Hopf分岔點在yG=0.790 m處，第一李雅普諾夫系數(shù)為-0.198 0，特征根實部在yG=0.790 m處穿越零點。由第一李雅普諾夫系數(shù)小于零可知，系統(tǒng)在Hopf分岔點處產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖3所示。雖然此處的極限環(huán)穩(wěn)定，但是其橫傾角在一個較大的幅值處振蕩，因此在實際情況中這是不允許出現(xiàn)的。

綜合以yG為自由參數(shù)的計算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，yG變化的過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔情況較xG要少一些。但是，從圖1可以看出，在高速航行時yG對水下航行器姿態(tài)的影響卻更加劇烈，當[yG]>0.2 m時，水下航行器的橫傾角[φ]>50，yG的輕微變化就引起了橫傾角的大幅變化。這主要因為航行器在y方向的尺度要比x方向上的尺度小的多。因此，水下航行器高速航行時，應(yīng)避免yG的偏移，以防止出現(xiàn)大幅橫傾，同時也可避免Hopf分岔的出現(xiàn)。

3.2.2 以zG為自由參數(shù)

初始條件：水下航行器等速直航，航行速度u=9.8 m/s；δr=δb=δs=0，xG=0，yG=0，初始靜載平衡W=B，考察zG變化對航行器運動穩(wěn)定性的影響，主要考察其對姿態(tài)角的影響。其計算結(jié)果如圖4、圖5所示。在航行器坐標系中，zG位于原點之下（正常情況zG=0.42），以產(chǎn)生扶正力矩，隨著zG的減小，航行器的穩(wěn)性會下降。在zG?θ分岔中，BP分岔點（Branch Point）出現(xiàn)在zG=0處，并且特征根實部在0處穿越零點。這說明在zG>0時，特征根實部Re（λ）<0，系統(tǒng)穩(wěn)定，在zG<0時，特征根實部Re（λ）>0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。在zG=0處，系統(tǒng)在微小擾動下會產(chǎn)生多解分支，如圖6所示。

綜合以zG為自由參數(shù)的計算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，為保持水下航行器的穩(wěn)性，zG必須具有一定正值。這一點在航行器設(shè)計中就已經(jīng)充分考慮，在正常裝載情況下zG一般在0.3～0.4 m。具體應(yīng)用到軍用水下航行器來說，日常的油水消耗及雷彈發(fā)射不會使zG產(chǎn)生太大變化，但是如果戰(zhàn)斗中水下航行器受到攻擊，在航行器上部造成破損進水，會使zG減小，此時，應(yīng)采取及時有效措施以保持水下航行器的穩(wěn)性。

3.2.3 以δs為自由參數(shù)

初始條件：水下航行器等速直航，航行速度u=9.8 m/s；δr=δb=0，xG=0，yG=0，zG=0.42 m，初始靜載平衡W=B，考察δs變化對航行器運動穩(wěn)定性的影響，主要考察其對姿態(tài)角的影響。計算結(jié)果如圖7、圖8所示。在δs?θ分岔中，BP分岔點（Branch Point）出現(xiàn)在δs=-0.380 rad處，特征根實部在BP點處穿越零點，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。從圖7可以發(fā)現(xiàn)，當尾舵角[δs]>0.35 rad時，縱傾角[θ]>1 rad，同時，從圖8可以發(fā)現(xiàn)，此時Re（λ）也越來越接近零，說明系統(tǒng)穩(wěn)定度降低。因此，為防止水下航行器出現(xiàn)危險大縱傾，在高速航行時應(yīng)謹慎使用較大尾舵。

3.3 仿真試驗

實際的水下航行器高速機動試驗具有較大風險，本文將產(chǎn)生失穩(wěn)的數(shù)值解作為水下航行器運動模型解算的初始條件，進行仿真試驗。將求得的分岔點yG=0.790 m代入水下航行器運動模型，得到與圖3相對應(yīng)的水下航行器運動結(jié)果如圖9所示。可以發(fā)現(xiàn)橫傾角的振蕩收斂于較大的幅值，雖然振蕩穩(wěn)定，但是在實際使用中是不允許出現(xiàn)的。將求得的BP分岔點zG=0 m代入水下航行器運動模型，此時，航行器失去扶正力矩，在施加擾動情況下，水下航行器會發(fā)生傾覆，與圖6相對應(yīng)的水下航行器運動結(jié)果如圖10所示。仿真計算結(jié)果體現(xiàn)了在分岔點處水下航行器的運動情況，驗證了上述穩(wěn)定性分析的正確性。

4 結(jié) 語

在高速機動時，水下航行器的運動模型是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。本文在研究系統(tǒng)穩(wěn)定性判別及分岔，以及解算高維非線性系統(tǒng)的延拓算法等非線性系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上，研究了部分參數(shù)對某型水下航行器高速機動穩(wěn)定性的影響，求出了產(chǎn)生分岔等危險情況的數(shù)值解，給出了保證水下航行器運動穩(wěn)定所需的各參數(shù)的范圍。經(jīng)計算機仿真試驗驗證了數(shù)值分析結(jié)論的正確性，對水下航行器的實際操作控制提供了有益的理論指導(dǎo)。

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