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        圖的兩類運算性質(zhì)

        2017-10-17 08:05:18張倩男陳金陽
        關(guān)鍵詞:張倩圖論結(jié)合律

        張倩男,陳金陽

        (湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 黃石 435002)

        圖的兩類運算性質(zhì)

        張倩男,陳金陽

        (湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 黃石 435002)

        在圖論研究中,圖的運算是構(gòu)造具有特殊性質(zhì)的圖的一種方法.文本對圖G的兩類運算從結(jié)構(gòu)、運算規(guī)律、性質(zhì)等方面進(jìn)行研究,進(jìn)而將其作用在完全圖Kn上,構(gòu)造出與剩余類加群同構(gòu)的有限群。

        完全圖;模n剩余類群;同構(gòu)

        1 問題背景

        在圖論研究中,圖的運算是構(gòu)造具有特殊性質(zhì)圖的一種方法,這種運算作用在特殊圖上有可能構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng),乃至構(gòu)成群.在代數(shù)研究中,群論占有重要地位,用群理論構(gòu)造特殊性質(zhì)的圖也是圖論研究的一個重要方法,如Cayley圖,Bi-Cayley圖都是通過群構(gòu)造的,它們均具有較好的圖論性質(zhì),如正則性,連通性,哈密爾頓性等.有關(guān)這方面理論研究參看文獻(xiàn)[1~3].

        本文首先研究了圖的兩種特殊運算G1*G2和G1×G2的運算性質(zhì),進(jìn)而將其作用在完全圖Kn上,構(gòu)造出與剩余類加群同構(gòu)的有限群.

        2 基本概念及術(shù)語

        定義1 “*”運算:令H1=G1*G2,則

        1)V(H1)=V(G1)∪V(G2);

        注:“*”運算可以提高圖的連通性,設(shè)|V(G1)|=n1,|V(G2)|=n2則:

        ?vi∈V(G1),dH1(vi)=dG1(vi)+n2?vj∈V(G2),dH1(vj)=dG2(vj)+n1

        每個頂點的度都增大了,進(jìn)而提高了圖的連通性.

        定義2 “*”運算: 令H2=G1×G2,則

        2) 任意兩點(x1,y1),(x2,y2)∈V(H2)在H2中鄰接當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立:

        Ⅰ)x1=x2且y1~y2inG2;

        Ⅱ)y1=y2且x1~x2inG1.

        定義3 圖同構(gòu): 對圖G1,G2,若存在一個雙射φ∶V(G1)→V(G2), 使

        xy∈E(G1) ?φ(x)φ(y)∈E(G2)

        稱G1與G2同構(gòu),記作G1?G2.

        3 兩種運算的一般性質(zhì)

        定理1 “*”運算滿足下面兩條性質(zhì):

        1) 結(jié)合律:(G1*G2)*G3=G1*(G2*G3);

        2) 交換律:G1*G2=G2*G1.

        證明: 1)由定義知,

        V((G1*G2)*G3)=V(G1*G2)∪V(G3)=(V(G1)∪V(G2))∪V(G3)=

        V(G1)∪(V(G2)∪V(G3))=V(G1)∪V(G2*G3)=

        V(G1*(G2*G3))

        令G1*G2=H1,則E(H1)=E(G1*G2)=E(G1)∪E(G2)∪E12,故有:

        所以E(G1*(G2*G3))=E(G1)∪E(G2)∪E(G3)∪E12∪E13∪E23.

        令G2*G3=H2,則E(H2)=E(G2*G3)=E(G2)UE(G3)∪E23,所以

        故結(jié)合律成立,即

        (G1*G2)*G3=G1*(G2*G3)

        2) 由定義知V(G1*G2)=V(G1)∪V(G2)=V(G2)∪V(G1)=V(G2*G1)

        E(G1*G2)=E(G1)∪E(G2)∪E12E(G2*G1)=E(G2)∪E(G1)∪E21

        而E12=E21,故E(G1*G2)=E(G2*G1),G1*G2=G2*G1.

        圖1 K3*K2=K5

        圖2 K2×K2=C4

        定理2 “*”運算在同構(gòu)意義下滿足以上兩條性質(zhì):

        1) 結(jié)合律:(G1×G2)×G3=G1×(G2×G3);

        2) 交換律:G1×G2=G2×G1.

        所以在圖G中,存在一個映射φ,

        使φ((x1,y1),zi)=(x1,(y1,z1)),φ((x2,y2),z2)=(x2,(y2,x2)).所以

        (G1×G2)×G3?G1×(G2×G3),所以結(jié)合律成立,即(G1×G2)×G3=G1×(G2×G3).

        2) 和上面證結(jié)合律的方法類似,在圖G中,存在一個映射φ,

        使φ(x1,y1)=(y1,x1)),φ(x2,y2)=(y2,x2).

        ? (y1,x1)~(y2,x2)inG2×G1.

        所以G1×G2?G2×G1,所以交換律成立,即G1×G2=G2×G1.

        注:兩種運算都不滿足分配律.

        令G1=G2=K1,G3=K2,則

        4 “*”運算作用在完全圖Kn上的性質(zhì)

        由運算的定義知:

        性質(zhì)1K0*Kn=Kn.(其中K0=?表示空圖)

        性質(zhì)2Kn1*Kn2=Kn1+n2.

        定理3 (K,*)構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng).

        證明 由性質(zhì)2知,對?Kn1,Kn2∈K,有Kn1*Kn2=Kn1+n2∈K,所以運算封閉構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng).

        定理4 (K,*)構(gòu)成交換半群.

        證明 由定理1知,“*”運算滿足結(jié)合律和交換律,所以構(gòu)成交換半群.

        定理5 (K,*)構(gòu)成交換幺半群.

        證明 由性質(zhì)1知,K0*Kn=Kn,所以K0是單位元,所以構(gòu)成交換幺半群.

        但是在(K,*)中,任一元素(除K0外)無逆元,所以(K,*)構(gòu)不成群,下面我們設(shè)

        注:運算的實際意義:

        1)當(dāng)n1+n2

        2)當(dāng)n1+n2≥n時,Kn1*Kn2=Kn1+n2-Kn∈K[n],即Kn在Kn1+n2中的補(bǔ)圖.

        定理6 (K[n],*)構(gòu)成交換群且與(Zn,+)同構(gòu).

        證明 1)由重新定義知,運算封閉.

        2)由定理1知,結(jié)合律和交換律成立.

        3)由性質(zhì)1知,對?Ki∈Kn,有K0*Ki=Ki,所以K0為單位元.

        4)對?Km∈K[n]有逆元,(Km)-1=Kn-m.

        所以(Kn,*)構(gòu)成一個交換群.

        存在一個映射φ:K[n]→Zm

        Ki→φ(Ki)

        使得φ(Ki*Kj)=φ(Ki)+φ(Kj)=(i+j)mod(n).

        故:(K[n],*)與(Zn,+)同構(gòu).

        5 “×”運算作用在完全圖Kn上的性質(zhì)

        由運算的定義知:

        性質(zhì)3K0×Kn=?.(其中K0=?表示空圖)

        性質(zhì)4K1×Kn=Kn.

        但是“×”運算作用在完全圖Kn上的運算不封閉,如K2×K2=C4,我們記

        定理7 (K,×)構(gòu)成具有單位元的交換半群.

        證明 由性質(zhì)4知,K1×Kn=Kn,所以K1為單位元;

        由定理2知“×”運算滿足結(jié)合律和交換律;所以(K,×)構(gòu)成具有單位元的交換半群.

        但是在(K,×)中,任一元素(除K1外)無逆元,所以(K,×)構(gòu)不成群,下面我們設(shè)

        重新定義在K[m]上的“×”運算:

        注:運算的實際意義:

        定理8 (K[m],×)構(gòu)成交換群且與(Zm,+)同構(gòu).

        證明 因為:

        1)由重新定義知,運算封閉;

        2)由定理2知,結(jié)合律和交換律成立;

        所以(K[m],×)構(gòu)成交換群.

        又因為存在一個映射φ:K[m]→Zm

        使得(K[m],×)與(Zm,+)同構(gòu).

        [1]Chen Jinyang, Zhu Wenhui, Jiang Binghua. Cyclic edge-connectivity of transformation graph G++-[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,52(3):393~395.

        [2]Chen Jinyang,Super connectivity and Super Edge connectivity of Transformation Graphs[J]. Ars Combinatoria,2012,(105):103~115.

        [3]Chen Jinyang,Meng Jixiang, Huang Lihong. Super edge connectivity of mixed Cayley graph[J]. Discrete Mathematic,2009, (309): 264~270.

        [4]Bondy J A,Murty U S R. Graph Theory and Applications[M].New York:Macmillan,Elseiver,1976.

        [5]Reinhard Diestel.Graph Theory[M].New York:Springer-Verlag,1997.

        [6]樊 惲,劉宏偉.抽象代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

        [7]李曉毅,黃風(fēng)琴.循環(huán)群中剩余類加群的討論[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) ,2003,21(3):169~171.

        Abstract: In the study of graph theory, the operation of graphs is a method of constructing graphs with special properties. This thesis discusses and studies two kinds of operations of graph G in the respect of structure, operation rules and properties, and make it work on complete graphs, so constructing a finite group wnich is isomorphic to the additive groups of surplus.

        Keywords: complete graph; residue class group of module n; isomorphism

        Operationalpropertiesoftwokindsofgraphs

        ZHANG Qian-Nan CHEN Jin-Yang

        ( College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

        O157.5

        A

        2096-3149(2017)03- 0053-05

        10.3969/j.issn.2096-3149.2017.03.010

        2017—04—20

        國家自然科學(xué)基金項目(71701076),湖北省教育廳青年項目(Q20162504)

        張倩男(1993— ),女,天津?qū)氎嫒?,碩士研究生,主要研究方向為運籌學(xué)與控制論.

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