張玲，程欽桂，趙明華

(湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

基于雙層Euler梁理論的土工格室加筋體變形計(jì)算*

張玲?，程欽桂，趙明華

(湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

針對(duì)路堤工程中車輛荷載直接作用于路面板，再經(jīng)路堤填土傳遞作用于土工格室加筋墊層的荷載傳遞實(shí)際，并考慮路堤填土剛度、地基土的排水固結(jié)效應(yīng)對(duì)土工格室加筋體受力變形的影響，將土工格室加筋體視為置于Kelvin地基上的下梁、路面板視為置于Winkler地基上的上梁，基于雙層Euler梁理論，建立考慮路面板-路堤-土工格室加筋墊層-地基土相互作用的上下梁撓曲變形微分方程并求解.將本文解答所得格室加筋體內(nèi)力位移與傳統(tǒng)彈性地基梁法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，兩者吻合良好.在此基礎(chǔ)上，分析了格室體剛度、路堤填土剛度、地基反力系數(shù)、地基土固結(jié)度等因素對(duì)路面板及格室體撓曲變形的影響.結(jié)果表明：路面板及格室加筋墊層的撓曲變形會(huì)隨著格室體剛度的增大及地基反力系數(shù)的增大而減小，隨地基土固結(jié)度的增大而增大；此外，路堤填土剛度增大會(huì)減小路面板的撓曲變形但會(huì)增大格室加筋墊層的撓曲變形.

變形;土工格室加筋體；雙層梁；Kelvin地基模型；Winkler地基模型

Abstract：For an embankment engineering，vehicle loads act on the pavement faceplate directly and then affect geocell reinforcement through the embankment fill.Considering this load transfer mechanism，and the effect of embankment fill stiffness and consolidation of soft soil，a geocell reinforced subgrade was regarded as a lower beam placed on Kelvin foundation and the pavement facelate was regarded as a upper beam placed on Winkler foundation.On the basis of the double-Euler-beam theory，a deformation control differential equation of geocell reinforcement and its solutions were proposed by taking into account the effect of the interaction among the pavement faceplate embankment fill，geocell reinforcement，and foundation soil.There is a good agreement when internal force and displacement calculated by the method in this paper are compared with internal force and displacement calculated by traditional method for elastic foundation beam.On this basis，the factors influencing the stress-deformation characteristics of the geocell reinforcement such as stiffness of geocell reinforcement，stiffness of embankment fill，coefficient of subgrade reaction force and the degree of consolidation of foundation soil,were discussed.The results show that flexural deformations of both pavement and geocell reinforcement reduce with the increment of stiffness of geocell reinforcement and the increment of coefficient of subgrade reaction force.And the deformations increase with the development of the consolidation of foundation soil.In addition，with higher embankment fill stiffness，the deformation of the pavement is smaller，while the deformation of geocell reinforcement is larger.

Keywords：deformation；geocell reinforcement；the double beam；Kelvin foundation model；Winkler foundation model

土工格室作為一種新型的土工合成材料，是由聚合物寬條帶經(jīng)由強(qiáng)力焊接或鉚接鍵連接成的立體網(wǎng)狀物.因其優(yōu)異的工程性能而廣泛應(yīng)用于軟土地基加固、路基邊坡防護(hù)、高速公路擴(kuò)建、路基支擋工程、沙漠地區(qū)筑路等工程中[1-7].

然而到目前為止，土工格室加筋地基的理論研究尚處于初級(jí)階段，其變形計(jì)算尚無(wú)統(tǒng)一方法.而變形是路堤設(shè)計(jì)的一個(gè)重要參數(shù)，關(guān)于其計(jì)算方法也越來(lái)越受到學(xué)術(shù)界的重視.分析格室加筋地基受力變形時(shí)，可將其視為置于彈性地基上的有限長(zhǎng)梁，采用彈性地基梁法進(jìn)行計(jì)算.如趙明華等[8-9]視土工格室加筋墊層為彈性地基梁，提出了考慮筋土界面摩阻效應(yīng)的土工格室加筋體的受力變形分析方法；張福海等[10]視土工格室加筋墊層為具有一定剛度的梁板，并提出了考慮水平抗力的雙參數(shù)法土工格室加筋體的受力變形分析方法.但上述方法仍存在一些問(wèn)題與不足，如將車輛荷載視為直接作用于格室加筋體上的集中荷載，并未考慮車輛荷載是直接作用于路面板，再經(jīng)過(guò)路堤填土傳遞作用于格室體上的荷載傳遞實(shí)際情況，且不能反映路堤剛度對(duì)土工格室加筋體受力變形的影響.邊學(xué)成等[11]視路基填料和地基土層為采用雙參數(shù)的 Pasternak 模型，克服了傳統(tǒng) Winkler 地基模型無(wú)法考慮路基填料和地基中應(yīng)力擴(kuò)散的缺點(diǎn)，但未考慮地基土的排水固結(jié)效應(yīng).

因此，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，分別采用Winkler模型和Kelvin模型模擬路堤填料和地基土，基于雙層Euler梁理論，視路面板為置于Winkler彈性地基的上梁，格室加筋體為置于Kelvin地基上的下梁，提出考慮路面板-路堤填土-土工格室加筋墊層-地基土之間相互作用的土工格室加筋體受力變形的計(jì)算公式，并給出相應(yīng)解答.

1 模型的建立及公式推導(dǎo)

1.1 模型的建立

對(duì)如圖1(a)所示的典型的路基路面結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，由上至下分別為：路面結(jié)構(gòu)、路堤填土、土工格室加筋墊層和地基土.為簡(jiǎn)化計(jì)算，沿垂直路堤縱向取單位寬度的路基路面結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析.視路面板為長(zhǎng)2l1、剛度EI1的上梁、土工格室加筋墊層為長(zhǎng)2l2、剛度EI2的下梁；車輛荷載為集中荷載，直接作用于路面板，再經(jīng)由路堤填土作用于格室加筋墊層上.采用Winkler彈性地基模型模擬路堤填土，則其可提供的地基反力p1為：

p1=k1(y1-y2)

(1)

式中：y1為路面板的撓曲變形；y2為土工格室加筋墊層的撓曲變形；k1為路堤填土地基反力系數(shù)，其值與土的性質(zhì)有關(guān)，可通過(guò)室內(nèi)模型試驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)載荷試驗(yàn)確定，也可查經(jīng)驗(yàn)值表粗估[13].當(dāng)路堤填土高度較小，可將路堤填土作薄壓縮層處理，故k1取值參考文獻(xiàn)[13]如式(2)所示：

(2)

考慮墊層下地基土的排水固結(jié)效應(yīng)影響，采用如圖1(b)所示的Kelvin地基模型模擬地基土.根據(jù)太沙基有效應(yīng)力原理，可得：

p2=σ′+ue

(3)

式中：p2為地基土可提供的總反力； σ′為有效應(yīng)力；ue為t時(shí)刻的平均超孔隙水壓力.

有效應(yīng)力σ′可按式(4)計(jì)算：

σ′=k2y2

(4)

式中：k2為地基反力系數(shù).

(a) 典型路堤工程橫截面圖

(b)沉降計(jì)算模型圖 圖1 路堤下土工格室加筋體沉降計(jì)算模型示意圖

根據(jù)固結(jié)度的定義，t時(shí)刻的超孔隙水壓力ue與t時(shí)刻地基的固結(jié)度U存在如下關(guān)系：

ue=u0(1-U)

(5)

式中：u0為初始孔隙水壓力，u0=p2；固結(jié)度U可根據(jù)實(shí)際情況，采用一維或二維固結(jié)理論計(jì)算.

將式(4)，(5)代入式(3)，整理后可得：

(6)

1.2 變形控制微分方程的建立及求解

根據(jù)對(duì)稱原則，取路面板的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，只對(duì)其右半部分(x≥0)進(jìn)行分析.根據(jù)車輛集中荷載位置及上下梁的橫截面尺寸，將梁的右半部分劃分為若干段進(jìn)行分析，第i段長(zhǎng)度為li,(i=1,2,…,N-1)，第N段的長(zhǎng)度為l2-l1.

當(dāng)0≤x≤l1時(shí)，如圖1所示，上梁(路面結(jié)構(gòu)層)上表面作用有車輛荷載，下表面作用有路堤填土提供的地基反力；而下梁(土工格室加筋墊層)上表面除作用有因車輛荷載引起的Winkler彈簧(路堤填土)的反力外，還作用有來(lái)自路堤填土的自重.為簡(jiǎn)化計(jì)算，路堤填土的自重按面積相等原則將梯形分布荷載等效為均布矩形荷載，與此同時(shí)，下梁下表面受到地基土地基反力作用.分別在上梁和下梁取一微段進(jìn)行受力分析，根據(jù)彈性地基梁理論，可得上梁、下梁撓曲變形控制微分方程分別為：

(7)

和

(8)

式中：EI1為路面板的抗彎剛度，EI2為土工格室的抗彎剛度.

將方程(7)變形后可得：

(9)

對(duì)方程(9)求4次導(dǎo)，并結(jié)合方程(8)，可得：

(10)

其通解為：

(11)

當(dāng)li≤x≤l2時(shí)，由圖1(b)可知，僅有下梁，此時(shí)下梁上表面僅作用路堤填土自重，可得其變形控制微分方程：

(12)

方程(12)可改寫(xiě)成：

(13)

其通解為：

y2,i=eλ3ξi(D1,icosλ3ξi+D2,isinλ3ξi)+

(14)

基于Euler-Bernoulli 梁理論，可得轉(zhuǎn)角θi、彎矩Mi和剪力Qi如下：

(15)

(16)

(17)

式中下標(biāo)j=1表示上梁，j=2表示下梁，i=1，2，…，N.

式(11)中待定系數(shù)Cj,i(j=1，2，…，8；i=1，2，…，N-1)及式(14)中待定系數(shù)Dj,i(j=1，2，3，4；i=N)需通過(guò)以下邊界和連續(xù)條件求得.

1)邊界條件

(ⅰ)對(duì)于上梁，在x=0時(shí)，梁的轉(zhuǎn)角和剪力都為0；在x=l1時(shí)，梁的彎矩和剪力為0.

(ⅱ)對(duì)于下梁，在x=0時(shí)，梁的轉(zhuǎn)角和剪力都為0；在x=l2時(shí)，梁的彎矩和剪力為0.即：

對(duì)于上梁：

當(dāng)x=0時(shí)，y1=0，Q1=0；

當(dāng)x=l1時(shí)，M1=0，Q1=0；

對(duì)于下梁：

當(dāng)x=0時(shí)，y2=0，Q2=0；

當(dāng)x=l2時(shí)，M2=0，Q2=0；

2)連續(xù)條件

y1,i-1|ξi-1=li-1=y1,i|ξi=0；

θ1,i-1|ξi-1=li-1=θ1,i|ξi=0；

M1,i-1|ξi-1=li-1=M1,i|ξi=0;

Q1,i-1|ξi-1=li-1=Q1,i|ξi=0-F1.

y2,i-1|ξi-1=li-1=y2,i|ξi=0；

θ2,i-1|ξi-1=li-1=θ2,i|ξi=0；

M2,i-1|ξi-1=li-1=M2,i|ξi=0；

Q2,i-1|ξi-1=li-1=Q2,i|ξi=0.

結(jié)合邊界條件和連續(xù)條件，求得待定系數(shù)，代入式(11)，(14)分別可得上、下梁任意點(diǎn)的撓曲變形，再由式(15)～(17)分別可得上、下梁任意點(diǎn)的轉(zhuǎn)角，彎矩和剪力.

2 算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法公式推導(dǎo)及編制程序的正確性，將本文方法所得下梁的內(nèi)力位移計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)彈性地基梁法[13]計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.采用本文的雙層梁理論分析計(jì)算傳統(tǒng)單層地基梁時(shí)，為忽略上梁及路堤填土剛度的影響，分別取上梁的剛度、長(zhǎng)度，地基填土剛度為一相對(duì)小值，參數(shù)取值具體如下：F1=100 kN作用于梁的中點(diǎn)，γ1=20 kN/m3，h=1 m，EI1=1 kN·m2，k1=0.01 kN/m2，l1=0.01 m，k2=12.5 MN/m2，EI2=208.33 MN·m2，l2=5 m.

兩種方法的計(jì)算結(jié)果如圖2～4所示.由圖可見(jiàn)，忽略上梁影響時(shí)，本文方法計(jì)算所得的下梁撓曲變形y，轉(zhuǎn)角θ，彎矩M與傳統(tǒng)彈性地基梁法計(jì)算結(jié)果基本一致.

圖2 兩種方法撓曲變形y的比較

圖3 兩種方法轉(zhuǎn)角θ的比較

圖4 兩種方法彎矩M的比較

3 影響參數(shù)分析

為進(jìn)一步分析土工格室加筋墊層的抗彎剛度EI2，路堤填土反力系數(shù)k1，地基土反力系數(shù)k2，地基土固結(jié)度U等因素對(duì)路面板中點(diǎn)和土工格室加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形的影響，對(duì)某一路堤下格室加筋地基進(jìn)行分析，基本計(jì)算參數(shù)如下：EI1=200 MN·m2，k1=50 MN/m2，l1=5 m，h=5 m，EI2=10 MN·m2，k2=5 MN/m2，l2=12.5 m，a=1.0 m，b=1.8 m，F(xiàn)1=50 kN，γ1=20 kN/m3，U=100%.

3.1 3種不同方法格室體變形的比較

圖5為將車輛荷載等效為1 m高填土路堤、車輛荷載直接作用土工格室和本文雙層梁法計(jì)算所得的路堤橫截面上土工格室加筋墊層的撓曲變形.

由圖5可見(jiàn)，對(duì)車輛荷載作不同的處理所得的格室體的撓曲變形有較大差異.將車輛荷載直接等效為一定高度的路堤填土自重，或直接將車輛荷載視為集中力作用于格室加筋墊層上，雖計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)便，可直接采用傳統(tǒng)彈性地基梁分析，但均不能反映車輛荷載經(jīng)由路面板、路堤填土擴(kuò)散的實(shí)際，且結(jié)果與本文的雙層梁理論所得的格室加筋體的撓曲變形差異較大.將車輛荷載直接等效為一定高度的路堤填土自重時(shí)，中心點(diǎn)處的撓曲變形偏小，且橫截面上各點(diǎn)因車輛荷載引起的附加變形相等，這明顯與實(shí)際情況不符.將車輛荷載視為集中力直接作用于格室加筋墊層上時(shí)，無(wú)疑又夸大了車輛荷載對(duì)格室加筋體受力變形的影響.因此本文基于雙層地基梁理論所得的格室加筋體的撓曲變形因能反映車輛荷載-路面板-路堤填土-加筋墊層相互作用而更能符合實(shí)際情況.

圖5 3種方法撓曲變形y2的對(duì)比

3.2 土工格室加筋墊層抗彎剛度的影響

圖6，圖7分別為路面板中點(diǎn)的撓度變形y1,0、土工格室加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形y2,0與土工格室加筋墊層抗彎剛度EI2的關(guān)系曲線.

由圖6可見(jiàn)，當(dāng)其它條件不變時(shí)，路面板中點(diǎn)的撓度變形隨著土工格室加筋墊層抗彎剛度的增大而減小.當(dāng)加筋墊層EI2從10 MN·m2增加到100 MN·m2時(shí)，路面板中點(diǎn)的撓度變形y1,0從25.09 mm減少到24.76 mm，減小幅度不大.

圖6 y1,0與EI2的關(guān)系

由圖7可見(jiàn)，當(dāng)其它條件不變時(shí)，土工格室加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形隨著土工格室加筋墊層抗彎剛度的增大而減小，但減小幅度不大，當(dāng)加筋墊層EI2從10 MN·m2增加到100 MN·m2時(shí)，土工格室加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形y2,0從24.63 mm減少到24.30 mm.

圖7 y2,0與EI2的關(guān)系

對(duì)比圖6、圖7亦可見(jiàn)，由于荷載作用下，路堤填土自身的壓縮性，路面板的撓曲變形略大于格室加筋墊層的撓曲變形.

3.3 路堤填土反力系數(shù)k1的影響

圖8，圖9為路面板中點(diǎn)的撓度變形y1,0、土工格室加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形y2,0與路堤填土反力系數(shù)k1的關(guān)系曲線.

圖8 y1,0與k1的關(guān)系

圖9 y2,0與k1的關(guān)系

由圖8，圖9可見(jiàn)，當(dāng)其它條件不變時(shí)，路面板中點(diǎn)的撓度變形隨路堤填土反力系數(shù)的增大而減??；土工格室加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形隨著地基反力系數(shù)的增大而增大.當(dāng)路堤填土反力系數(shù)k1從50 MN/m2增至500 MN/m2時(shí)，路面板中點(diǎn)的撓度變形y1,0從25.09 mm減少到24.73 mm，加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形y2,0從24.63 mm增加到24.68 mm，變化幅度都不大.其原因可能是路堤填土密實(shí)度等物理力學(xué)特性越好，路堤填土反力系數(shù)越大，其可提供的豎向反力也越大，路面板就越不易產(chǎn)生撓曲變形，故路面板中點(diǎn)撓曲變形也就隨路堤填土反力系數(shù)k1的增大而逐漸減小.而路堤填土地基反力系數(shù)越大，填土剛度越大，經(jīng)路堤Winkler彈簧作用于格室體上反力越大,相應(yīng)的撓曲變形也就越大，故格室體中點(diǎn)撓曲變形反而隨路堤填土反力系數(shù)k1的增大而增大.

3.4 地基反力系數(shù)k2的影響

圖10，圖11為路面板中點(diǎn)的撓度變形y1,0、土工格室加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形y2,0與地基反力系數(shù)k2的關(guān)系曲線.

圖10 y1,0與k2的關(guān)系

圖11 y2,0與k2的關(guān)系

由圖10，圖11可見(jiàn)，當(dāng)?shù)鼗戳ο禂?shù)k2從5 MN/m2增至50 MN/m2時(shí)，路面板中點(diǎn)的撓度變形y1,0從25.09 mm.減少到3.12 mm，加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形y2,0從24.63mm減少到2.56mm.其原因是當(dāng)其它條件不變時(shí)，由于地基土物理力學(xué)特性越好，強(qiáng)度越大，從而地基反力系數(shù)越大，其可提供的豎向反力也越大，因此，路面板中點(diǎn)和土工格室加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形都隨著地基反力系數(shù)的增大而減小.但其對(duì)撓曲變形減小的趨勢(shì)是先隨k2的增加減小幅度較大，當(dāng)k2大于某一值時(shí)，減小的幅度逐漸變小.如圖10～圖11，k2從5 MN/m2增至35 MN/m2時(shí)，y1,0從25.09 mm減少到4.20 mm，減小了83%，y2,0從24.63 mm減少到3.65 mm，減小了85%；但當(dāng)k2從35 MN/m2增至50 MN/m2時(shí)，y1,0從4.20 mm減少到3.12 mm，減小了26%，y2,0從3.65 mm減少到2.56 mm，減小了30%.

由此可見(jiàn)，合理提高地基反力系數(shù)是控制路基過(guò)量沉降的有效措施之一，但當(dāng)?shù)鼗戳ο禂?shù)大于某一值時(shí)，提高地基反力系數(shù)對(duì)減小路基路面沉降的作用不再明顯.

3.5 地基土固結(jié)度的影響

圖12 y1,0與U的關(guān)系

圖12，圖13為路面板中點(diǎn)的撓度變形y1,0、土工格室加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形y2,0與地基土固結(jié)度U的關(guān)系曲線.對(duì)于飽和軟粘土地基，當(dāng)其它條件不變時(shí)，隨著時(shí)間的推移，地基土排水固結(jié)，固結(jié)變形不斷增大，從而使得路面板中點(diǎn)和土工格室加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形都隨著地基土固結(jié)度的增大而增大.由圖12，圖13可見(jiàn)，當(dāng)固結(jié)度U從20%增至100%時(shí)，路面板中點(diǎn)的撓度變形y1,0從5.62 mm增加到25.09 mm，加筋墊層中點(diǎn)的撓度變形y2,0從5.09 mm增加到24.63 mm.

圖13 y2,0與U的關(guān)系

4 結(jié) 語(yǔ)

1)將土工格室加筋路堤中的路面板結(jié)構(gòu)視為上梁，土工格室加筋墊層視為下梁，采用Winkler彈性地基模型模擬路堤填土，Kelvin地基模型模擬墊層下地基土以考慮地基土體隨時(shí)間的排水固結(jié)作用，基于Euler雙層梁理論導(dǎo)得土工格室加筋體的撓曲變形微分方程，并獲得解析解.通過(guò)與傳統(tǒng)彈性地基梁法計(jì)算結(jié)果的比較分析驗(yàn)證了本文解答的正確性.

2)本文撓曲變形計(jì)算方法從車輛荷載是直接作用路面板結(jié)構(gòu)，并經(jīng)由路堤填土傳遞至格室加筋墊層，再通過(guò)加筋墊層作用于地基土的這一荷載傳遞實(shí)際出發(fā)，可考慮路面板-路堤填土-土工格室加筋墊層-地基土之間的相互作用對(duì)土工格室撓曲變形的影響.

3)基于本文理論，探討分析了格室體剛度、路堤填土剛度、地基土剛度、地基土固結(jié)度等4個(gè)因素對(duì)路面板結(jié)構(gòu)及土工格室加筋墊層受力變形的影響，研究表明：格室體剛度增大10倍，路面板結(jié)構(gòu)及格室加筋墊層的撓取變形減小值在5%以內(nèi)；但地基反力系數(shù)增大10倍，路面板結(jié)構(gòu)及格室加筋墊層的撓取變形減小值在80%以上.因此在實(shí)際設(shè)計(jì)過(guò)程中可優(yōu)先考慮通過(guò)有效地基處理增大地基土的剛度以達(dá)到減小路面沉降的目的.

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Deformation Calculation of Geocell Reinforcement Based on the Double Euler Beams Theory

ZHANG Ling?，CHENG Qingui，ZHAO Minghua

(College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China )

1674-2974(2017)09-0114-08

10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2017.09.014

2016-07-23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(青年基金)(51208191)，National Natural Science Foundation of China(51208191)

張玲(1982-)，女，浙江臨海人，湖南大學(xué)副教授，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail：zhanglhd@163.com

TU443

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