溫勇，楊光華，湯連生，鐘志輝，姚捷，張玉成

?

基于廣義位勢理論的非共軸本構模型驗證

溫勇1, 2，楊光華2, 3, 4，湯連生1，鐘志輝5，姚捷6，張玉成2, 3

(1. 中山大學地球科學與工程學院，廣東廣州，510275；2. 廣東省水利水電科學研究院，廣東廣州，510610；3. 廣東省巖土工程技術研究中心，廣東廣州，510610；4. 武漢大學土木建筑工程學院，湖北武漢，430072；5. 上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海，200072；6. 中鐵第四勘察設計院集團有限公司，湖北武漢，430063)

基于廣義位勢理論提出的考慮擬彈性塑性變形的彈塑性模型，把塑性應變增量分解為滿足彈性分解準則的擬彈性部分和符合傳統(tǒng)塑性理論假設的純塑性部分，這樣得到的塑性應變增量方向不僅與應力狀態(tài)有關，而且與應力增量相關，為解決土的非共軸性問題提供一種有效的方法。通過單剪試驗結(jié)果及含主應力軸旋轉(zhuǎn)的土體平面問題數(shù)值模擬對模型的合理性進行檢驗。研究結(jié)果表明：本文模型計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好，且能夠描述單剪試驗過程中的非共軸現(xiàn)象；此外，與共軸模型數(shù)值模擬結(jié)果相比，本文模型能夠考慮主應力軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的土體塑性變形，計算結(jié)果更符合實際。

非共軸；本構模型；廣義位勢理論；主應力軸旋轉(zhuǎn)；數(shù)值模擬

當土體主應力方向發(fā)生旋轉(zhuǎn)時，塑性主應變增量方向與主應力方向之間存在著非共軸現(xiàn)象，這已被很多室內(nèi)試驗所證實[1?6]，例如單剪試驗、空心扭轉(zhuǎn)試驗等。同時，在實際巖土工程問題中(例如偏荷載、交通及波浪荷載作用等)，由于主應力軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)所引起的非共軸現(xiàn)象也是普遍存在[5, 7?8]。然而，由于傳統(tǒng)的本構模型大多建立在雙軸和三軸試驗的基礎上，這些試驗受加載系統(tǒng)的限制，在加載過程中荷載的增量始終限制在應變的主方向，使得本構模型的屈服面和塑性勢面的數(shù)學表達式往往定義為當前的主應力或應力不變量的函數(shù)，再結(jié)合傳統(tǒng)塑性理論的正交流動法則假設，導致得到的塑性應變增量的主方向和主應力的方向始終保持一致(即共軸)。因此，基于傳統(tǒng)塑性理論的本構模型無法客觀地描述土體的非共軸現(xiàn)象。針對這個問題，國內(nèi)外學者提出了基于多面概念、邊界面概念、亞塑性概念以及中間面概念等非共軸模型來預測主應力和塑性主應變增量的變化趨勢。但這些模型的建立沒有基于人們熟悉的彈塑性理論，因而在實際應用中(如有限元計算)受到一定的限制[9?10]。廣義位勢理論[11]直接從數(shù)學原理出發(fā)建立土的本構模型，其特點是數(shù)學原理明確，何處引入何種假設清晰，且新理論可表達更為一般的土的本構關系，包含傳統(tǒng)塑性本構理論作為其特例，從而為研究土的本構模型提供了更為廣闊的理論基礎。本文作者基于廣義位勢理論模型對土的非共軸特性進行分析，提出基于廣義位勢理論的非共軸本構模型，并通過土體單剪試驗結(jié)果及含主應力軸旋轉(zhuǎn)的土體平面問題數(shù)值模擬對模型的合理性進行檢驗。

1 傳統(tǒng)塑性位勢理論的數(shù)學實質(zhì)及其共軸假定

Mises在1928年類比彈性應變增量可用彈性勢函數(shù)對應力求偏導的表達式，提出了塑性勢的概念，其數(shù)學表達式為

式(1)即為傳統(tǒng)的塑性位勢理論，其實質(zhì)是規(guī)定了塑性應變增量各分量之間的比例關系。為了更清楚地了解傳統(tǒng)塑性位勢理論的數(shù)學實質(zhì)，從一般情況進行探討[11]。設主空間上得到的塑性應變增量與應力增量的本構關系為：

(2)

(4)

將式(3)代入式(4)，有

式(5)與式(1)相同，皆為傳統(tǒng)的塑性位勢理論公式。由以上分析可知：傳統(tǒng)塑性位勢理論的數(shù)學實質(zhì)是假定了主空間上的本構關系矢量為一有勢場矢量，且和的3個主方向一致。因此，傳統(tǒng)的塑性位勢理論隱含了塑性主應變增量方向和主應力方向共軸的假定。

2 基于廣義位勢理論的非共軸本構模型

2.1 廣義位勢理論及其簡化彈塑性模型

楊光華等[11]從數(shù)學角度出發(fā)建立了更一般的巖土材料本構理論——廣義位勢理論，它把本構模型的研究分為2個主要部分：1) 用線性無關的勢函數(shù)梯度矢量來表述主空間的應力應變關系；2) 通過導數(shù)表示的坐標變換方法，把主空間上的應力應變關系轉(zhuǎn)換為六維空間的應力應變關系，形成以勢函數(shù)表述的本構關系。傳統(tǒng)的位勢理論都可歸結(jié)為由主空間上的本構關系通過數(shù)學坐標變換而得到，不同的只是坐標轉(zhuǎn)換過程中采用的數(shù)學假設。

根據(jù)廣義位勢理論可建立簡化的彈塑性模型。以應力空間為例，忽略Lode角等影響，塑性應變增量與應力增量的關系一般可表示為

式中：，，和為塑性系數(shù)；和分別為平均主應力和廣義剪應力；和分別為塑性體應變和塑性剪應變。

類似傳統(tǒng)彈塑性理論，把總的應變增量分解為彈性部分和塑性部分。其中，彈性部分應變根據(jù)彈性理論求得，即

塑性部分應變則根據(jù)廣義位勢理論可得

因此，由式(7)~(9)可得到用于有限元等數(shù)值分析的一般應力空間本構方程，即

(10)

由此可見：基于廣義位勢理論的簡化彈塑性模型只需確定4個系數(shù)，即可獲得計算所需的彈塑性柔度矩陣；廣義位勢理論模型對，，和關系不進行規(guī)定，且，，和可通過常規(guī)三軸試驗、等向壓縮試驗及等試驗確定[11]。

進一步分析可知[11]，傳統(tǒng)塑性位勢理論實質(zhì)上規(guī)定了，，和這4個系數(shù)滿足一定的數(shù)學條件，即

且當傳統(tǒng)塑性位勢理論模型為非關聯(lián)模型時，有

(12)

當傳統(tǒng)塑性位勢理論模型為關聯(lián)模型時，有

此時，，，和可以通過鄧肯?張模型中的切線模量t、切線泊松比t來表示[11]，也可以由劍橋模型中的各向等壓固結(jié)參數(shù)、回彈參數(shù)及破壞常數(shù)來表示[12?13]。

因此，傳統(tǒng)塑性位勢理論模型可以看作為廣義位勢理論模型在一定假設條件下的特例。

2.2 基于廣義位勢理論模型的土的非共軸性分析

傳統(tǒng)的塑性位勢理論隱含了塑性主應變增量方向和主應力方向共軸的假定。塑性主應變增量和主應力的共軸性與傳統(tǒng)的試驗觀察是一致的，因為在雙軸、三軸或真三軸試驗的加載過程中應力的主方向始終保持不變，而應變的增量也限制在應力的主方向。然而，含主應力軸旋轉(zhuǎn)的試驗研究表明[2, 7, 14]：土的塑性應變增量流動方向不僅僅取決于當前的應力狀態(tài)，而且取決于當前的應力增量，即塑性應變增量主方向與主應力方向并不始終保持一致；且即使在應力不變量保持不變的條件下，單純的主應力方向旋轉(zhuǎn)也會引起塑性變形。

針對土的塑性應變增量方向存在非唯一性問題，楊光華等[15?16]基于廣義位勢理論提出了考慮擬彈性變形的土體彈塑性模型，其主要思想是把傳統(tǒng)不可恢復的塑性應變增量分解為具有彈性應變特性的擬彈性部分和純塑性部分，如圖1所示。其中：擬彈性部分遵循彈性法則，并與應力增量有相同的方向，采用彈性模型表示；純塑性部分遵循傳統(tǒng)塑性理論的假設，方向具有唯一性，可以采用符合塑性理論的假設來建模。

圖1 塑性應變增量分解

根據(jù)以上建模思想，若進一步從?平面來分析，式(6)可寫成為

式中：pe和pe為擬彈性參數(shù)；pp，，和pp為純塑性系數(shù)。

擬彈性塑性應變部分遵從彈性法則，假設符合廣義虎克定律，則有

純塑性應變部分遵從傳統(tǒng)塑性理論，即

(16)

式中：塑性系數(shù)pp，，和pp滿足傳統(tǒng)塑性理論假設的數(shù)學條件，即式(11)。

為了方便計算，文獻[15]建議：把純塑性部分直接假設符合關聯(lián)模型，并將關聯(lián)模型計算結(jié)果與試驗結(jié)果之間的差值部分歸為擬彈性塑性部分，以此確定參數(shù)pe和pe，而此時純塑性系數(shù)pp，，和pp可通過鄧肯?張模型參數(shù)或劍橋模型參數(shù)來確 定[11?12]。經(jīng)這樣處理后的模型不但計算結(jié)果與試驗結(jié)果更符合，而且保持了關聯(lián)模型彈塑性矩陣對稱的優(yōu)點，利于數(shù)值計算。此外，由此得到的塑性應變增量方向不僅與應力狀態(tài)有關，而且與應力增量相關，這為解決土的非共軸性問題提供了一種有效的方法。下面以土體單剪試驗及含主應力軸旋轉(zhuǎn)的土體平面問題數(shù)值模擬對模型進行檢驗。

3 模型的試驗及數(shù)值驗證

3.1 試驗驗證

單剪試驗和空心圓柱扭剪試驗是典型的主應力軸旋轉(zhuǎn)試驗，但由于空心圓柱扭剪試驗中的荷載及位移邊界條件比較復雜，而單剪試驗可以看成平面問題，其荷載及位移邊界條件相對簡單。因此，本文選取單剪試驗來檢驗模型的合理性。

在單剪試驗加載過程中，主應力和塑性主應變增量方向都會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，如圖2所示[17]，兩者的偏轉(zhuǎn)角計算公式由彈性力學可知，即

根據(jù)前面基于廣義位勢理論模型的土的非共軸性分析，將塑性應變增量分解為具有彈性應變特性的擬彈性部分和純塑性部分，且和分別采用彈性模型和符合傳統(tǒng)塑性位勢理論假設的模型來計算。對于平面問題，純塑性部分的計算可寫成為

式中：pe和pe分別為擬彈性彈性模量和泊松比，通過將關聯(lián)模型計算結(jié)果和試驗結(jié)果之間的差值部分歸為擬彈性塑性部分，根據(jù)式(15)確定。

采用文獻[14]給出的單剪試驗結(jié)果進行驗證。試樣分別由直徑1.6 mm和3.0 mm、長50 mm的鋁棒混合堆積而成，通過一個二維應力裝置進行單剪試驗，并測定相應的應力，和以及應變，和。該試驗材料的初始孔隙比為0.23，起始應力為，，，試驗過程中保持不變，剪應力步長。為了進行對比分析，選取類劍橋模型[12]作為共軸模型，模型參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)[14]

根據(jù)前面介紹的方法及式(18)和式(19)，計算出擬彈性部分和純塑性部分，兩者相加得到總的塑性應變增量，將其代入式(17)即可得到塑性主應變增量方向角的變化情況。與共軸模型計算結(jié)果進行對比，結(jié)果如圖3所示。

1—主應力方向角(共軸模型)；2—塑性主應變增量方向角(共軸模型)；3—主應力方向角(試驗)；4—塑性主應變增量方向角(試驗)；5—主應力方向角(本文模型)；6—塑性主應變增量方向角(本文模型)。

由圖3可知：共軸模型計算得到的塑性主應變增量方向角和主應力方向角始終保持相等，即共軸；而本文模型計算得到的塑性主應變增量方向角和主應力方向角在開始時偏差較大，但隨著剪應變增加，兩者之間的偏差逐漸減小，最終趨于相等，這與試驗結(jié)果較吻合，說明本文模型能夠較好地描述土體單剪試驗過程中的非共軸現(xiàn)象。

3.2 含主應力軸旋轉(zhuǎn)的土體平面問題數(shù)值模擬

為了進一步檢驗本文模型的合理性，基于FLAC3D對本文模型進行二次開發(fā)，并將其應用于分析一類含主應力軸旋轉(zhuǎn)的土體平面問題，即偏荷載作用問題，數(shù)值計算模型及邊界條件如圖4所示。該模型長10 m，高5 m，土體采用文獻[18]中的砂土材料。為了便于說明，考慮以下2種荷載工況：1) 頂部施加均布荷載0=500 kPa；2) 頂部左起0~3 m段再施加偏荷載1=1 500 kPa，以使土體產(chǎn)生主應力軸旋轉(zhuǎn)。

圖4 含主應力軸旋轉(zhuǎn)的土體平面問題計算模型

同樣，為了與本文模型進行對比，選取(考慮剪脹性的)類劍橋模型[13]作為共軸模型，模型參數(shù)[18]如表2所示。本文模型則根據(jù)前面介紹的方法求得。利用這2個模型分別計算不同荷載工況下土體的主應力方向和豎向位移。

表2 模型參數(shù)[18]

圖5和圖6所示分別為均布荷載作用下共軸模型與本文模型的計算結(jié)果。由圖5和圖6可知：在均布荷載作用下，2個模型計算得到的主應力方向都未發(fā)生旋轉(zhuǎn)，最大豎向位移分別為13.9 mm和13.5 mm，基本一致。因此，在均布荷載作用下，2個模型計算得到的土體主應力方向和豎向位移都基本一致，這主要是均布荷載作用下土體為均勻沉降，此時土體不存在主應力軸旋轉(zhuǎn)，故共軸模型與非共軸模型的計算結(jié)果基本一致。

(a) 共軸模型；(b) 本文模型

(a) 共軸模型；(b) 本文模型

圖7和圖8所示分別為偏荷載作用下共軸模型與本文模型的計算結(jié)果。由圖7和圖8可知：在偏荷載作用下，2個模型計算得到的主應力方向均發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，最大豎向位移分別為42.5 mm和47.1 mm，本文模型計算結(jié)果比共軸模型的計算結(jié)果大一些。這主要是偏荷載作用下土體主應力軸發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，而主應力軸旋轉(zhuǎn)會產(chǎn)生塑性變形[2, 7, 14]，共軸模型由于隱含了共軸假定，不能反映主應力軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的塑性變形，而本文模型能夠反映土體的非共軸，因此，導致其計算結(jié)果比共軸模型的計算結(jié)果大一些，這更符合實際，也與文獻[19]得到的結(jié)論定性一致，從而進一步驗證了本文模型的合理性。

(a) 共軸模型；(b) 本文模型

(a) 共軸模型；(b) 本文模型

4 結(jié)論

1) 土體的非共軸現(xiàn)象是存在的，而傳統(tǒng)的塑性位勢理論隱含了塑性主應變增量方向和主應力方向共軸的假定，因而無法客觀地描述土體的非共軸現(xiàn)象。

2) 基于廣義位勢理論提出的考慮擬彈性變形的彈塑性模型，把總的塑性應變分解為滿足彈性分解準則的擬彈性部分和符合傳統(tǒng)塑性理論假設的純塑性部分，這樣得到的塑性應變增量方向不僅與應力狀態(tài)有關，而且與應力增量相關，從而為解決土的非共軸性問題提供了一種可能有效的方法。本文模型計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好，且能夠較好地描述土體單剪試驗過程中的非共軸現(xiàn)象。

3) 與共軸模型相比，本文模型能夠較好地反映主應力軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的塑性變形，計算結(jié)果更符合實際，從而進一步驗證了其合理性。

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(編輯 楊幼平)

Verification of non-coaxial constitutive model based on generalized potential theory

WEN Yong1, 2, YANG Guanghua2, 3, 4, TANG Liansheng1, ZHONG Zhihui5, YAO Jie6, ZHANG Yucheng2, 3

(1. School of Earth Science and Engineering, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510275, China;2. Guangdong Research Institute of Water Resources and Hydropower, Guangzhou 510610, China;3. Geotechnical Engineering Technology Center of Guangdong Province, Guangzhou 510610, China;4. School of Civil and Architectural Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China;5. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072, China;6. China Railway Siyuan Survey and Design Group Co. Ltd., Wuhan 430063, China)

An elastic-plastic model considering quasi-elastic-plastic deformation was proposed based on the generalized potential theory, in which the plastic strain increment was decomposed into quasi-elastic part and pure-plastic part, and the quasi-elastic part obeyed elastic rule and the pure-plastic part obeyed the traditional plasticity theory. The direction of plastic strain increment obtained by this proposed model not only depends on total stress but also the stress increment, which gives an effective method to solve the problem of the non-coaxiality of soil. The results of a simple shear test and numerical simulation of a plane problem of soil involving the rotation of principal stress axes were used to verify the rationality of the proposed model. The results show that the calculation results of the proposed model agree well with the test ones and the non-coaxial phenomenon during the simple shear test can be described reasonably. What is more, the plastic deformation of soil caused by the rotation of principal stress axes can be considered by the proposed model, which makes the calculation results of the proposed model conform to reality better than the coaxial model.

non-coaxiality; constitutive model; generalized potential theory; rotation of principal stress axes; numerical simulation

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.07.019

TU443

A

1672?7207(2017)07?1817?07

2016?08?07；

2016?10?14

國家自然科學基金資助項目(51378131, 41572277)；廣東省自然科學基金資助項目(2015A030313118)；廣東省水利科技創(chuàng)新項目(2009-25)；廣東省巖土工程技術研究中心開放基金資助項目(201404002) (Projects(51378131, 41572277) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2015A030313118) supported by the Natural Science Foundation of Guangdong Province；Project(2009-25) supported by the Technological Innovation of Guangdong Water Conservancy; Project(201404002) supported by the Geotechnical Engineering Technology Center of Guangdong Province)

湯連生，教授，博士生導師，從事巖土力學、地質(zhì)工程研究；E-mail: eestls@mail. sysu.edu.cn