張嘉茗，林 楠，張夢翰，張 亮，李淑元，熊墨淼，王笑峰，金 力

(1. 復(fù)旦大學(xué) 生命科學(xué)學(xué)院，上海 200438；2. 德克薩斯大學(xué) 公共衛(wèi)生學(xué)院，休斯頓TX 77030；. 第二軍醫(yī)大學(xué)附屬長海醫(yī)院 心血管內(nèi)科，上海 200433)

基于三元泛函主成分分析和聚類分析的MRI圖像分類研究

張嘉茗1，林 楠2，張夢翰1，張 亮3，李淑元1，熊墨淼2，王笑峰1，金 力1

(1. 復(fù)旦大學(xué) 生命科學(xué)學(xué)院，上海 200438；2. 德克薩斯大學(xué) 公共衛(wèi)生學(xué)院，休斯頓TX 77030；. 第二軍醫(yī)大學(xué)附屬長海醫(yī)院 心血管內(nèi)科，上海 200433)

一元泛函主成分分析(FPCA)已經(jīng)在fMRI上成功進行了應(yīng)用，但是目前很少有研究運用多元FPCA對MRI進行探索.本研究將一元FPCA推廣到三元并應(yīng)用于MRI的圖像特征提取，并對提取的特征進行了后續(xù)研究，提出了一整套MRI病理及正常圖像的分析方法.該方法的主要流程是先對MRI圖像進行預(yù)處理(圖像配準(zhǔn)和圖像分割)，得到腦脊液圖像，然后運用三元FPCA對腦脊液進行特征提取，再對提取的特征進行選擇，隨后利用k- means聚類算法對特征進行聚類，來判斷圖像所屬的類別(正?；虍惓?，從而達到顱腦MRI圖像病變篩查的目的.將該方法應(yīng)用于顱腦MRI快速自旋回波T2加權(quán)像中，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，相比于傳統(tǒng)PCA，三元FPCA展現(xiàn)出更好的特征提取能力，可以有效提高圖像分類的準(zhǔn)確率.

泛函主成分分析； 主成分分析； 顱腦MRI； 聚類分析

隨著CT(Computed Tomography, 計算機斷層掃描技術(shù))、MRI(Magnetic Resonance Image, 磁共振成像)等影像學(xué)技術(shù)的發(fā)展，醫(yī)學(xué)影像的分辨率在極大提高的同時，MRI等醫(yī)學(xué)影像的數(shù)據(jù)量也在呈指數(shù)級增長.然而，在疾病篩查工作中，圖像閱讀和診斷的較大工作量是放射科工作人員難以承受的.此外，大量的圖像數(shù)據(jù)和臨床信息還會導(dǎo)致MRI圖像中存在較多的結(jié)構(gòu)噪音和復(fù)雜的疾病狀態(tài)表現(xiàn)，這極大影響了醫(yī)生對病癥的診斷效率和準(zhǔn)確度.因此，如何從大量的MRI圖像數(shù)據(jù)中提取有效的特征，輔助醫(yī)生進行關(guān)于結(jié)構(gòu)或組織病理的診斷，減輕診斷醫(yī)師的工作負荷并提高診斷的準(zhǔn)確性，是目前醫(yī)學(xué)圖像分析領(lǐng)域中一個亟待解決的問題.

目前關(guān)于MRI圖像特征提取的主要方法有主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)[1]、獨立成分分析(Independent Component Analysis, ICA)[2]等.PCA能從數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣中提取不相關(guān)的主要活動信號；而ICA不僅能抑制高斯白噪聲，還能分解出獨立的非高斯信號.但是，ICA方法獲得的各個獨立信號的幅值缺乏實際意義，導(dǎo)致該方法無法對多個獨立信號間的關(guān)系進行后續(xù)的量化分析.

通常，MRI體數(shù)據(jù)多為規(guī)則結(jié)構(gòu)化體數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)的特點是在空間中存在明確的拓撲相鄰關(guān)系，因而可以定義為一個三維空間上的采樣函數(shù).但是ICA方法僅將MRI體數(shù)據(jù)作為一種離散數(shù)據(jù)進行分析，未能考慮到不同切層圖像之間的相鄰性以及圖像信號隨空間變化的潛在規(guī)律.這使得上述方法無法有效擴展到MRI三維體數(shù)據(jù)的分析工作中.針對這類局限性，Ramsay和Dalzell[3]正式提出了泛函數(shù)據(jù)分析(Functional Data Analysis, FDA)的概念，并使用泛函主成分分析(Functional Principal Component Analysis, FPCA)方法對加拿大溫度與降水量的關(guān)系進行了實證研究.與傳統(tǒng)數(shù)據(jù)分析相比，F(xiàn)DA將連續(xù)變化的曲線作為研究的單元，能有效解決數(shù)據(jù)采集時間間隔不同或者數(shù)據(jù)缺失的問題.從動態(tài)的角度考慮問題，F(xiàn)DA的優(yōu)勢是沒有傳統(tǒng)統(tǒng)計方法的參數(shù)限制，從而使其具有更強的適用性.另外，F(xiàn)DA將大量數(shù)據(jù)描述為函數(shù)形式，這有助于在處理海量數(shù)據(jù)的過程中對單一曲線求導(dǎo)或者對多個曲線進行降維，從而為分析曲線之間的差異和曲線內(nèi)部的動態(tài)變化模式提供更多的信息.

近年來，泛函數(shù)據(jù)分析方法已經(jīng)開始受到學(xué)者的關(guān)注，并在功能性磁共振成像(functional Magnetic Resonance Imaging, fMRI)領(lǐng)域展開了應(yīng)用.Viviani等[4]將FPCA應(yīng)用于單個被試的fMRI，通過對比FPCA和傳統(tǒng)PCA的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)FPCA可以更有效地提取fMRI中血氧水平的變化特征；Long等[5]運用FPCA估計多個被試fMRI中的非平穩(wěn)噪聲.然而上述研究運用的FPCA僅僅局限于一元情形，針對多元FPCA在MRI圖像中的應(yīng)用，目前極少有文獻進行討論.針對MRI三維數(shù)據(jù)的特點，本文將一元FPCA推廣到三元FPCA，并給予相應(yīng)的數(shù)學(xué)證明.

本文以顱腦MRI病變篩查為研究目標(biāo)，采用三元FPCA的圖像特征提取方法，對MRI病理及正常圖像的分類進行了研究.主要研究步驟如下： 1) 對MRI圖像進行預(yù)處理(圖像配準(zhǔn)和圖像分割)，得到腦脊液圖像；2) 運用三元FPCA對腦脊液進行特征提取，再對提取的特征進行特征選擇；3) 利用k- means聚類算法對已選擇的特征進行聚類，來判斷圖像所屬的類別(正?；虍惓?，從而達到顱腦MRI圖像病變篩查的目的.為了驗證方法的可靠性和準(zhǔn)確性，我們將實驗結(jié)果與傳統(tǒng)PCA方法進行對比，結(jié)果證明三元FPCA展現(xiàn)出更好的特征提取能力，可以有效提高圖像分類的準(zhǔn)確率.

1 三元泛函主成分分析原理

一般來說，多元統(tǒng)計分析處理的是每一個觀測樣本的多個變量在同一時期或時點上呈現(xiàn)出的數(shù)據(jù).為了對多變量之間存在的信息冗余進行約減，通常采用主成分分析方法將原來較多的變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個綜合變量.

泛函數(shù)據(jù)分析的基本思想是將每個觀測對象帶有泛函性質(zhì)的數(shù)據(jù)看作一個整體，而不僅僅是個體觀測值的一個序列.泛函分析把傳統(tǒng)的有限維空間中的數(shù)據(jù)擴展到了無限維空間，以一個全新的視角對數(shù)據(jù)進行分析，然而泛函數(shù)據(jù)內(nèi)在的無限維特征也給相關(guān)問題的統(tǒng)計推斷帶來了挑戰(zhàn).對此，可以將多元主成分分析的方法引入到泛函數(shù)據(jù)中，稱為泛函主成分分析(FPCA).根據(jù)觀測對象測度變量的個數(shù)，泛函主成分分析可分為一元FPCA和多元FPCA.本文對多元FPCA進行了研究，在一元FPCA的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出三元FPCA的計算方法及其求解過程.下面以三維MRI體數(shù)據(jù)為例，對三元FPCA進行介紹.

1.1三元FPCA

MRI體數(shù)據(jù)作為三維離散圖像，它可以表示成三維函數(shù)f(s,t,u),其中：

f在三維空間坐標(biāo)點(s,t,u)的值為MR成像時表現(xiàn)的灰度值.

假設(shè)觀測數(shù)據(jù)是已經(jīng)過零均值化處理的MRI體數(shù)據(jù)集xi(s,t,u),i=1,2,…，N，其中(s,t,u)表示三維空間中的位置坐標(biāo).設(shè)Ω是空間區(qū)域，(s,t,u)∈Ω,則三元泛函變量的主成分f定義如下：

(1)

其中β(s,t,u)是權(quán)重函數(shù).

進而，主成分f的方差為

(2)

其中R(s1,t1,u1,s2,t2,u2)=cov(x(s1,t1,u1),x(s2,t2,u2)),是x(s,t,u)的協(xié)方差函數(shù).

為了避免主成分的權(quán)重函數(shù)β(s,t,u)過度粗糙，導(dǎo)致主成分分析結(jié)果的可解釋性降低，本文在泛函主成分分析過程中引入了粗糙懲罰項來控制函數(shù)的粗糙程度[6]，從而得到較平滑的權(quán)重函數(shù).

(3)

第k個主成分滿足：

(4)

式(4)中μ為平滑參數(shù)，約束條件等號左邊第二項就是粗糙懲罰項.μ越大，得到的權(quán)重函數(shù)越平滑，相應(yīng)的主成分函數(shù)的方差受β(s,t,u)粗糙度影響也越大，反之，得到的權(quán)重函數(shù)波動越激烈.當(dāng)μ→0時，問題變?yōu)槲词┘討土P的泛函主成分分析問題.這里平滑參數(shù)μ的選擇采用交叉驗證的方法[7,8].

應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，上述條件極值問題可轉(zhuǎn)換為如下最大化問題：

(5)

其中ρ為參數(shù).

定義泛函如下：

(6)

則對式(5)的求解轉(zhuǎn)變?yōu)閷κ?6)泛函極值的求解，而泛函極值可以通過變分法[9]求得.

設(shè)

(7)

其中δβ(s,t,u)為β(s,t,u)的變分，ε為任意小參數(shù)，h(s,t,u)為任意函數(shù).則式(6)的一階變分為

(8)

由極值條件

(9)

得

(10)

由h(s,t,u)的任意性，得

(11)

其中λ是特征值，即三元泛函主成分求解問題可以轉(zhuǎn)化為求解式(11)的積分方程問題.

1.2三元FPCA的求解

由上述可知，平滑的泛函主成分的求解可以轉(zhuǎn)化為式(11)特征值和特征函數(shù)的求解問題.在實際計算過程中，常用的求解方法是對函數(shù)用適當(dāng)?shù)幕归_.本文采用的是傅里葉標(biāo)準(zhǔn)正交基.

假設(shè)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后的MRI體數(shù)據(jù)樣本為xi(s,t,u),i=1,2,…，N，{φj(t)}是傅里葉基函數(shù)，對于每個j,定義ω2j-1=ω2j=2πj.選擇一組基函數(shù){φk(t)}(k=1,2,…，K)，對樣本數(shù)據(jù)進行傅里葉展開有

(12)

(13)

其中?表示矩陣的Kronecker積.

類似地有

(14)

(15)

其中b=[b111,…，b11K,…，bKK1，…，bKKK]T.

定義函數(shù)向量X(s,t,u)=[x1(s,t,u),…,xN(s,t,u)]T，則所有N個樣本數(shù)據(jù)的基函數(shù)展開可以表示為

X(s,t,u)=C(φ(s)?φ(t)?φ(u)),

(16)

(17)

則有

(18)

將式(17)和(18)代入到積分方程(11)中，得

(19)

進一步可得

(20)

上式也可以寫成

(21)

其中u=S-1b.

解得u之后根據(jù)b=Su，可得一系列正交的特征向量bj.將bj代入式(14)即可得到一系列的正交特征函數(shù)

βj(s,t,u)=[φT(s)?φT(t)?φT(u)]bjj=1,2,…，J.

(22)

定義擴展的內(nèi)積為：

(23)

每組體數(shù)據(jù)集xi(s,t,u)可由這些特征函數(shù)表示如下：

(24)

2 基于三元FPCA和k- means的MRI圖像分類

為了探究三元FPCA對顱腦MRI圖像病變的特征提取能力，本文對同樣一組數(shù)據(jù)，首先進行圖像預(yù)處理，得到腦脊液圖像，然后分別用三元FPCA和傳統(tǒng)PCA對腦脊液圖像進行特征提取，再對提取的特征進行特征選擇，最后利用k- means進行聚類，將分類結(jié)果與實際診斷信息對比，從而得到分類準(zhǔn)確率，用于比較和分析實驗結(jié)果，具體步驟如下.

2.1磁共振成像數(shù)據(jù)

本文使用的38例顱腦MRI由江蘇省泰州市人民醫(yī)院提供，其中正常13例，25例異常均為非急性期檢查者.在25例異常中，腦卒中24例(缺血性腦梗死15例，腔隙性腦梗死9例)，腦腫瘤1例.腦卒中診斷參照2007年《中國腦血管病防治指南》，排除其他非血管性原因(如硬膜下血腫、癲癇后麻痹、腦外傷等)造成的腦功能障礙.正常個體指無腦血管病、自身免疫病、血液系統(tǒng)疾病、腫瘤、肝腎功能不全等疾病的個體.所有被試者體內(nèi)均無金屬植入物或沒有MRI檢查禁忌癥，自愿參加本研究并簽署知情同意書.本研究已獲得復(fù)旦大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院倫理委員會批準(zhǔn).

使用Siemens公司生產(chǎn)的Veior 3.0T磁共振成像系統(tǒng)對被試者腦部進行MRI掃描.常規(guī)三平面定位后，采用快速自旋回波(Turbo Spin Echo, TSE)脈沖序列，獲得T2加權(quán)像(T2 Weighted Image, T2 WI)，其掃描參數(shù)如下： TR=3220ms，TE=93ms，F(xiàn)A=150°，層數(shù)： 56～60層，層厚=3mm，F(xiàn)OV=22cm×22cm，矩陣=256×256，Nex=1.

2.2MRI數(shù)據(jù)格式轉(zhuǎn)換及預(yù)處理

采用MRIcroN軟件(http:∥www.cabiatl.com/mricro/mricron/dcm2nii.html)將原始DICOM圖像轉(zhuǎn)換成NIfTI文件格式.轉(zhuǎn)換格式后，使用SPM8[10](Statistical Parametric Mapping, Wellcome Trust Centre for Neuroimaging, London, UK)軟件對T2 WI進行預(yù)處理，首先采用仿射變換(affine transformation)和非線性形變(non- linear deformation)進行空間標(biāo)準(zhǔn)化，將實驗數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化到SPM8自帶的T2模板上，體素大小重采樣至1.5mm×1.5mm×1.5mm；然后對標(biāo)準(zhǔn)化后的腦結(jié)構(gòu)圖像進行解剖分割，得到灰質(zhì)、白質(zhì)和腦脊液3種圖像；最后對分割后的圖像進行高斯平滑(半高全寬參數(shù)=8mm)，以提高信噪比，使數(shù)據(jù)更接近高斯隨機場模型.

2.3預(yù)處理后的腦脊液圖像

本研究采用的25例患者均在非急性期接受MRI檢查，除1例腦腫瘤外，其余皆為缺血性腦梗死(15例)和腔隙性腦梗死(9例).而缺血性腦梗死在MRI的T2 WI上的表現(xiàn)取決于梗死的時間，過了急性期后大的梗死灶最終形成囊性軟化灶，表現(xiàn)近于腦脊液的信號[11]；腔隙性腦梗死在慢性期，MRI的T2 WI呈高信號，與腦脊液信號類似[12].此外，對樣本圖像進行預(yù)處理后得到的腦脊液圖像，也顯示其中保留了異常病灶信號(圖1～圖3(見第46頁)所示).

因此，針對樣本MRI圖像的特點以及要篩查出的病變，我們考慮利用分割后的腦脊液圖像做后續(xù)的特征提取.

圖1 正常人原始圖像及分割后的組織Fig.1 Original image of a normal person and its segmented tissues

圖2 腔隙性腦梗死原始圖像及分割后的組織Fig.2 Original image of a patient with lacunar infarction and its segmented tissues

圖3 腦腫瘤原始圖像及分割后的組織Fig.3 Original image of apatient with brain tumor and its segmented tissues

2.4MRI圖像特征提取及聚類

對每例MRI體數(shù)據(jù)，分別用三元FPCA和傳統(tǒng)PCA提取主成分，再通過確定性貪心選擇算法(deterministic greedy selection algorithm for column subset selection)[13]對提取的主成分進行特征選擇，從而得到最終的泛函主成分系數(shù)矩陣SFPCA和傳統(tǒng)主成分系數(shù)矩陣SPCA.

采用k- means聚類算法[14]對主成分系數(shù)矩陣進行多次聚類(100次)，從中選擇最優(yōu)的結(jié)果，得到分類標(biāo)簽向量.對比分類得到的標(biāo)簽向量和實際診斷結(jié)果，計算準(zhǔn)確率，用于比較和評價兩種特征提取方法對分類準(zhǔn)確率的影響.

3 結(jié)果與分析

實驗結(jié)果(表1)表明，利用三元FPCA進行k- means分類的結(jié)果良好，并在準(zhǔn)確率和特異性上優(yōu)于PCA方法.實驗最后使用了96個泛函主成分進行聚類分析，這些主成分的累積方差貢獻率達到95%.圖4比較了兩種方法前1～5個主成分對應(yīng)的累積方差貢獻率.圖4顯示，用三元FPCA得到的第一個主成分方差貢獻率就已經(jīng)達到0.49，而PCA僅為0.09，遠不及三元FPCA的特征提取能力.另外，PCA提取到第5個主成分的累積貢獻率也才為0.29，而FPCA為0.61.

表1 三元FPCA和PCA的分類結(jié)果比較

以上結(jié)果表明，較之傳統(tǒng)PCA，三元FPCA在對圖像進行數(shù)據(jù)降維和特征提取方面更有優(yōu)勢.原因在于該方法將每例MRI體數(shù)據(jù)集看作一個連續(xù)的整體，考慮到了每例被試不同切層圖像之間的相鄰關(guān)系，對所有切層圖像數(shù)據(jù)進行了整體的降維，從而使圖像中差異最大的特征得到了更大程度的保留.而傳統(tǒng)PCA對每例被試的每層圖像數(shù)據(jù)進行“獨立”地降維，并不能發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)集中的非線性結(jié)構(gòu).此外，上述結(jié)果也驗證了基于三元FPCA進行顱腦MRI圖像分類識別的可行性和有效性.

圖4 FPCA、PCA前1～5個主成分的累積方差貢獻率比較Fig.4 Comparison between the cumulative contribution of variances of the first 5 principal components obtained by FPCA and that obtained by PCA

4 結(jié) 語

本文以顱腦MRI疾病篩查為研究目標(biāo)，在圖像特征提取方面將一元FPCA推廣到了三元FPCA，再結(jié)合已有的MRI圖像預(yù)處理軟件，建立了一整套MRI病理/正常圖像分析方法.該方法首先對樣本圖像進行圖像配準(zhǔn)和分割，然后運用三元FPCA對腦脊液進行特征提取，緊接著再對特征進行選擇，隨后用k- means對已選擇的特征進行聚類，從而達到顱腦MRI圖像病變篩查的目的.將該方法應(yīng)用于38例顱腦MRI數(shù)據(jù)集上，結(jié)果證實三元FPCA較傳統(tǒng)PCA有更好的數(shù)據(jù)降維和特征提取能力，有效地提高了MRI圖像分類的準(zhǔn)確率及效率.本文所提出的一整套MRI病理/正常圖像聚類分析方法，可以實現(xiàn)對顱腦MRI從圖像配準(zhǔn)、圖像分割、圖像特征提取、分類識別的全過程控制，為未來大規(guī)模應(yīng)用到MRI圖像中提供了可行性.

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Abstract： One dimensional functional principal component analysis(FPCA) has been successfully applied in functional magnetic resonance imaging(fMRI) data. But there is scarce study focused on the application of high dimensional FPCA in magnetic resonance imaging(MRI) data. Three dimensional FPCA extended from one dimensional FPCA was provided and its application in MRI data to extract features was studied. A full set of techniques used to discriminate between pathological images and normal images was designed. It mainly consisted of the following three steps. Firstly, MRI data were preprocessed. The preprocessing steps included image registration and segmentation. The cerebrospinal fluid was obtained after image preprocessing. Secondly, functional PCA was employed to extract features from the segmented images. After that a feature selection method was performed for the extracted features. Thirdly, binary classification results were derived byk- means clustering method using features selected, which reached the goal to screen diseases. The application of this new method to brain MR turbo spin echo T2 weighted image data showed that FPCA outperformed multivariate PCA in feature extraction and classification accuracy.

Keywords： functional principal component analysis; principal component analysis; brain MRI; cluster analysis

ResearchonAlgorithmsBasedonThreeDimensionalFunctionalPrincipalComponentAnalysisandClusterAnalysisforMRIImageClassification

ZHANG Jiaming1, LIN Nan2, ZHANG Menghan1, ZHANG Liang3, LI Shuyuan1, XIONG Momiao2, WANG Xiaofeng1, JIN Li1

(1.SchoolofLifeSciences,FudanUniversity,Shanghai200438,China; 2.SchoolofPublicHealth,UniversityofTexas,HoustonTX77030,USA; 3.DepartmentofCardiology,ChanghaiHospital,SecondaryMilitaryMedicalUniversity,Shanghai200433,China)

R4；O1；TP3

A

0427- 7104(2017)01- 0040- 08

2016- 04- 05

科技部國際科技合作專項(2014DFA32830)；國家科技支撐項目(2011BAI09B02)

張嘉茗(1991—)，女，碩士研究生；金 力，男，教授，博士生導(dǎo)師，通信聯(lián)系人，E- mail: lijin@fudan.edu.cn.