岳田

（湖北汽車工業(yè)學院 理學院，湖北 十堰 442002）

巴拿赫空間中斜演化半流的多項式三分性的2個刻畫

岳田

（湖北汽車工業(yè)學院 理學院，湖北 十堰 442002）

分別利用2個和4個投影族給出了巴拿赫空間中斜演化半流的多項式三分性的2個刻畫。

巴拿赫空間；斜演化半流；多項式三分性

Abstract:Two characterizations for the polynomial trichotomy of skew-evolution semiflows in Banach spaces were given by means of two projection families and four projection families respectively.

Key words:Banach space;skew-evolution semiflows;polynomial trichotomy

近年來關于有限或無限維Banach空間中演化方程解的漸近行為（穩(wěn)定性、膨脹性、二分性、三分性）研究取得了突破性的進展，獲得了非常豐富的成果［1-10］。作為二分性的推廣，三分性成了動力系統最為復雜的漸近性質之一，尤其在解決分歧理論中起著重要作用。關于三分性的概念首先由Sack?er和Sell引入［1］，接著Elaydi與Hajek給出了微分系統指數三分的概念［2-3］，隨后關于三分性的研究獲得了極大關注。如文獻［4］研究了Banach空間中演化算子一致指數三分的充要條件；文獻［5］給出了Banach空間中演化算子一致指數三分的等價定義；文獻［6］利用斜積流對相應的動力系統的指數三分性及容許性進行了刻畫。

由于斜演化半流在刻畫動力系統的漸近行為方面比強連續(xù)算子半群、演化算子、斜積流更為合適，進而近年來對其研究較多［7-10］。因為指數型漸近行為的條件要求比較苛刻，對其適當弱化，則導致了多項式漸近行為的相關概念產生，如文獻［10］對Banach空間中斜演化半流的一致多項式穩(wěn)定性及一致多項式不穩(wěn)定性的性質進行了研究。文中在上述文獻的基礎上，給出Banach空間中斜演化半流的多項式三分性的2個刻畫。

1 預備知識

設(X,d)為一度量空間，V為一實或復的Ban?ach空間，B(V)為V上所有有界線性算子全體構成的集合。記I為V上的恒等算子，

定義1［7-8］映射φ:T×X→X稱為X上的演化半流，如果滿足

式中：?t≥0，?(t,s)，(s,t0)∈Δ；?x∈X。

定義2［7-8］映射Φ:T×X→B(X)稱為演化半流φ上的演化上循環(huán)，如果滿足

式中：?(t,s),(s,t0)∈Δ，?(t,x)∈R+×X，?x∈X。

定義3［7-8］映射C:T×Y→Y，

稱為Y上的斜演化半流，其中Φ為演化半流φ上的演化上循環(huán)。

定義4［9］稱映射P:X→B(V)為V上的投影族，如果滿足P2(x)=P(x),?x∈X。

定義5 稱三投影族{Pi}i∈{1,2,3}與斜演化半流C=(φ,Φ)相容，如果滿足

式中：?x∈X，?x∈X，?i,j∈{1,2,3}，i≠j，?(t,s,x)∈Δ×X，?(x,v)∈Y。

定義6 稱斜演化半流C=(φ,Φ)為多項式三分，如果存在常數α1,α2＞1，非減函數N:R+→[1,+∞)及3個與C相容的投影族{Pi}i∈{1,2,3}使得

對?(t,s,r,x,v)∈Θ×Y成立。

2 主要結論

眾所周知，多項式二分性是利用2個投影族來進行刻畫，多項式三分性作為其推廣。利用2個投影族來刻畫斜演化半流的多項式三分性。

定義7 稱投影族{Ri}i∈{1,2}與斜演化半流C=(φ,Φ)相容，如果滿足

式中：?x∈X,?(x,v)∈Y,?(t,s,x)∈Δ×X,?i∈{1,2}。

定理1 斜演化半流C=(φ,Φ)是多項式三分的，當且僅當存在常數α1,α2＞1，非減函數N:R+→[1,+∞)及2個與C相容的投影族{Ri}i∈{1,2}使得

對?(t,s,r,x,v)∈Θ×Y成立。

證明：必要性。令R1=P1，R2=P2。則由定義5中式（10）～（12）可知定義7中式（17）～（18）和式（21）成立。利用式（9）和式（11）可得

對?(x,v)∈Y成立，即式（19）成立，類似可得式（20）成立。投影族R1,R2與斜演化半流C相容。

顯然由定義6中式（13）～（14）可得式（22）～（23）。由式（11）～（12）和式（14）～（15）可得

對?(t,s,r,x,v)∈Θ×Y成立，即式（24）成立，類似可得式（25）。

充分性。令P1=R1,P2=R2,P3=I-R1-R2。則由式（17）～（21）可得式（9）～（12）成立。而且有（22）?（13），（23）?（14），下證式（15）。

由于P3=(I-R1)(I-R2)，利用式（24）得

對?(t,s,r,x,v)∈Θ×Y成立，即式（15）成立，類似可證式（16）。從而斜演化半流C是多項式三分的。

為了利用4個投影族來刻畫斜演化半流的多項式三分性質，先給出定義8。

定義8 稱投影族{Ti}i∈{1,2,3,4}與斜演化半流C=(φ,Φ)相容，如果滿足如下條件：

式中：?(t,s,x)∈Δ×X，?(x,v)∈Y，?i∈{1,2,3,4}，?x∈X。

定理2 斜演化半流C=(φ,Φ)是多項式三分的當且僅當存在常數α1,α2＞1，非減函數N:R+→[1,+∞)以及4個與C相容的投影族{Ti}i∈{1,2,3,4}使得

對?(t,s,r,x,v)∈Θ×Y成立。

證明：類似定理1，此處略。

［1］Sacker R J，Sell G R.Existence of Dichotomies and In?variant Splittings for Linear Differential Systems,III［J］.Journal of Differential Equations，1976，22（2）：497-522.

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［10］岳田，雷國梁，宋曉秋.線性斜演化半流一致指數膨脹性的若干刻畫［J］.數學進展，2016（3）：433-442.

Two Characterizations for the Polynomial Trichotomy of Skew-evolution Semiflows in Banach Spaces

Yue Tian
（SchoolofScience,HubeiUniversity ofAutomotive Technology,Shiyan 442002,China）

O177.2

A

1008-5483（2017）03-0059-03

10.3969/j.issn.1008-5483.2017.03.015

2017-02-28

湖北省自然科學基金（2014CFB629）；湖北汽車工業(yè)學院校預研基金（2014XY06）；湖北汽車工業(yè)學院本科教學建設與改革項目（JX201766）

岳田（1988-），男，四川南江人，助教，碩士，從事微分系統定性理論的研究。E-mail：ytcumt@163.com