黃加增

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基于復雜網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的節(jié)點重要性評估方法

黃加增

（福建農(nóng)林大學東方學院，福建福州 350017）

對于復雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特殊性，用加權(quán)拓撲熵為理論基礎(chǔ)，提出了基于復雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)異質(zhì)性變化率的節(jié)點重要程度評估方法。首先，本文給出了復雜網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵的概念，闡述了基于BBV網(wǎng)絡(luò)的反向演化原理，其次，在反向演化原理的基礎(chǔ)上提出了節(jié)點重要程度取決于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)異質(zhì)性變化率的觀點，并提出了網(wǎng)絡(luò)割點的異質(zhì)性變化率的計算方法；最后，以一個例子來說明節(jié)點重要程度的評估過程，并對特殊節(jié)點進行了處理分析。

復雜網(wǎng)絡(luò)，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，加權(quán)拓撲熵，異質(zhì)性變化率，節(jié)點重要程度評估

0 引言

研究復雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點重要性方法主要有兩種：社會網(wǎng)絡(luò)分析方法和系統(tǒng)科學方法。其中，社會網(wǎng)絡(luò)分析方法的主要思想是“假設(shè)顯著性等價于重要性”，其強調(diào)的是節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中發(fā)揮的作用和功能，即通過度量某個節(jié)點與網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點的連接數(shù)量來衡量這個節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的重要程度[1-3]，一般地是以節(jié)點度（Degree）、介數(shù)（Betweenness）、接近度（Closeness）等各種不同的指標加以衡量；系統(tǒng)科學方法的主要思想是“假設(shè)破壞性等價于重要性”，其原理是以計算某個節(jié)點失效后會給網(wǎng)絡(luò)帶來的破壞程度衡量其重要性[4-11]，如PageRank、HITS、SALSA、PopRank、ObjectRank和RealWalk等較為經(jīng)典的算法。

我國研究學者在節(jié)點重要性評估方面也做了許多的工作，特別是在第二種研究方法方面有許多較為突出的貢獻，如席酉民和唐方成等提出的“核與核度理論”[12,13]，李振華和陳貴海等提出的“分點”概念[14]等。

目前大部分的網(wǎng)絡(luò)都是加權(quán)網(wǎng)絡(luò)（Weighted Network），網(wǎng)絡(luò)中的每條邊用來說明連接兩個節(jié)點之間是否存在，而且還顯示了這種連接的某種特性（如流量的大?。划斎?，每個節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中也扮演著不同角色，具有不完全相同的屬性和能力。無論是技術(shù)網(wǎng)絡(luò)方面的公共交通道路網(wǎng)絡(luò)、Internet網(wǎng)絡(luò)，還是科學家合作網(wǎng)絡(luò)、引文網(wǎng)絡(luò)等社會網(wǎng)絡(luò)，都在不同的側(cè)面顯示出其加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的特性[15-17]。

對于上述兩種研究方法，針對加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，通過引入能夠表征全局狀態(tài)的熵及其熵變理論，提出了以網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵的變化量作為節(jié)點重要程度的觀點。一方面，以加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中的邊權(quán)和節(jié)點強度等屬性不僅可以表明節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的不同位置和連接特性，而且還可以充分體現(xiàn)某些處于網(wǎng)絡(luò)邊緣的關(guān)鍵節(jié)點（如計算機網(wǎng)絡(luò)中的網(wǎng)關(guān)、服務(wù)器等節(jié)點）的重要性；另一方面，通過能體現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)整體狀態(tài)的熵的變遷衡量不同節(jié)點被刪除后對網(wǎng)絡(luò)所產(chǎn)生的破壞程度。

1 網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵

在信息論中，申農(nóng)（Claude E. Shannon）將信息熵定義為離散隨機事件的出現(xiàn)概率，或者說是信息熵是消除不確定性的一種度量。仿照信息熵的定義，譚躍進等人提出了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)熵的概念，并將其引入到網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的研究中。在文獻[18]中，譚躍進將無標度網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)熵定義為，其中：，為節(jié)點的度。這個定義的基本假設(shè)是：網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的重要程度完全由這個節(jié)點的度所決定。

由于上述假設(shè)的缺陷，以及上述定義無法描述加權(quán)復雜網(wǎng)絡(luò)的拓撲狀況，本文提出了能夠描述加權(quán)復雜網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的定義：

和一般意義上的熵一樣，網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵也具有極值，即當網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)完全均勻時，網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵達到其極值?？梢院芊奖愕刈C明這個極值的存在：

首先，當網(wǎng)絡(luò)完全均勻時，所有的邊權(quán)都會取同樣的權(quán)、所有的節(jié)點都具有相同的節(jié)點強度。事實上，這時的網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵已經(jīng)和譚躍進教授的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)熵沒有任何區(qū)別。

因此，在網(wǎng)絡(luò)完全均勻時網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵取的極值為：

2 加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的演化

2.1 節(jié)點加入網(wǎng)絡(luò)時的演化

以BBV加權(quán)網(wǎng)絡(luò)為例，當某個節(jié)點加入網(wǎng)絡(luò)并與若干個節(jié)點相連時，相關(guān)邊權(quán)和節(jié)點強度按照下列方式進行演化：

即節(jié)點強度越大被選中的可能性也越大。

（3）

（5）

2.2 節(jié)點退出網(wǎng)絡(luò)時的演化

在BBV加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，當某個節(jié)點退出網(wǎng)絡(luò)時，網(wǎng)絡(luò)中邊的權(quán)重和節(jié)點的強度都會發(fā)生演化，也就是說這種演化同樣會發(fā)生在有節(jié)點退出的相關(guān)局域網(wǎng)絡(luò)中。

（7）

（8）

（10）

簡單證明如下：

3 網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性變化率與節(jié)點重要性評估

網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵表征了加權(quán)網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的異質(zhì)性，是一種能夠描述加權(quán)網(wǎng)絡(luò)整體狀態(tài)的指標。只要網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵也會隨之發(fā)生改變。

對于加權(quán)網(wǎng)絡(luò)而言，當某個節(jié)點退出網(wǎng)絡(luò)后，網(wǎng)絡(luò)中相關(guān)的邊權(quán)和節(jié)點強度都會發(fā)生變化，從而導致網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)度也隨之發(fā)生變化。因此，我們可以通過網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)度的變化率來判斷不同節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的重要性。

在網(wǎng)絡(luò)中，可能會存在一些稱為“割點”（cut vertex）的特殊節(jié)點，一旦這種節(jié)點退出網(wǎng)絡(luò)后，則網(wǎng)絡(luò)會被分割成若干個獨立的連通子網(wǎng)。

根據(jù)反向演化原理，具有較大強度的節(jié)點退出網(wǎng)絡(luò)時，不僅僅是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的減少，而且也導致原來由退出節(jié)點所承擔的負荷被分配到其它節(jié)點上，從而使得網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性發(fā)生改變。

根據(jù)加權(quán)拓撲熵的變化，當某節(jié)點退出網(wǎng)絡(luò)時，網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性有以下演化特性：

（1）節(jié)點的度越大，該節(jié)點的退出對網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性影響就越大；

（2）與節(jié)點直接相連邊的權(quán)越大，該節(jié)點的退出對網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性影響就越大；

（3）分攤了來自于別的節(jié)點的負荷越大，該節(jié)點的退出對網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性影響就越大。

因此，可以將不同節(jié)點退出前后的網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性變化率作為評估這些節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的重要程度的依據(jù)。

4 舉例與分析

下面以一個示例對本文提出的節(jié)點重要程度評估方法加以說明：

圖1是一個加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的拓撲圖，分別用基于異質(zhì)度的變化率和基于節(jié)點度的方法進行節(jié)點重要性的評估。

圖1 一個加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的拓撲圖

假設(shè)該網(wǎng)絡(luò)共有17個節(jié)點，各邊的權(quán)值分別如圖所示。表1是根據(jù)該網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和邊權(quán)所計算的結(jié)果：

表1 初始計算結(jié)果

Tab.1 Initial results

下面分別計算不同節(jié)點退出網(wǎng)絡(luò)后，加權(quán)熵及其相關(guān)參數(shù)的變化情況。盡管任何一個節(jié)點退出后，對于連通網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的各個節(jié)點的強度和邊權(quán)都會產(chǎn)生影響，在這里僅考慮與退出節(jié)點有直接連接的節(jié)點及其相關(guān)邊所發(fā)生的變化。

4.1 節(jié)點1退出網(wǎng)絡(luò)時

表2 節(jié)點1退出網(wǎng)絡(luò)后的各參數(shù)變化

Tab.2 Parameter changes of node 1 after exiting the network

根據(jù)表2，節(jié)點1退出網(wǎng)絡(luò)后，網(wǎng)絡(luò)拓撲經(jīng)過演化，其加權(quán)拓撲熵為：。

圖2 節(jié)點1退出后網(wǎng)絡(luò)的加權(quán)拓撲結(jié)構(gòu)

同理，節(jié)點2、節(jié)點3、節(jié)點4、節(jié)點14、節(jié)點15、節(jié)點16和節(jié)點17等分別退出網(wǎng)絡(luò)后，網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵也同為2.381。

4.2 節(jié)點5退出網(wǎng)絡(luò)時

與節(jié)點5有直接連邊的節(jié)點分別為節(jié)點1、節(jié)點2、節(jié)點3、節(jié)點4和節(jié)點7。其中前4個節(jié)點除了與節(jié)點5有連接外，還與節(jié)點6有連接；而節(jié)點7則還與節(jié)點6、節(jié)點8和節(jié)點9有連接。節(jié)點5的退出，使得原來由節(jié)點5承擔的負荷都要被轉(zhuǎn)嫁到節(jié)點6上。

表3 節(jié)點5退出網(wǎng)絡(luò)后的各參數(shù)變化

根據(jù)表3，節(jié)點5退出網(wǎng)絡(luò)后，網(wǎng)絡(luò)拓撲經(jīng)過演化，其加權(quán)拓撲熵為：。

圖3 節(jié)點5退出后網(wǎng)絡(luò)的加權(quán)拓撲結(jié)構(gòu)

同理，節(jié)點6、節(jié)點12和節(jié)點13等分別退出網(wǎng)絡(luò)后，網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵也同為2.3082。

4.3 節(jié)點7退出網(wǎng)絡(luò)時

與節(jié)點7有直接連邊的節(jié)點分別為節(jié)點5、節(jié)點6、節(jié)點8和節(jié)點9。節(jié)點7的退出，導致網(wǎng)絡(luò)分為兩個連通分支，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)發(fā)生重大變化。其中，第一個連通分支由節(jié)點1~節(jié)點6組成，共有6個節(jié)點；第二個連通分支由節(jié)點8~節(jié)點17組成，共有10個節(jié)點。

表4 節(jié)點7退出第一個連通分支的各參數(shù)變化

Tab.4 The parameters of node 7 exiting the first connected branch

表5 節(jié)點7退出第二個連通分支的各參數(shù)變化

Tab.5 Node 7 exits the parameters of the second connected branches

圖4 節(jié)點7退出后網(wǎng)絡(luò)的加權(quán)拓撲結(jié)構(gòu)

同理，節(jié)點11退出網(wǎng)絡(luò)后，網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵也為1.8496。

4.4 節(jié)點8退出網(wǎng)絡(luò)時

與節(jié)點8有直接連邊的節(jié)點分別為節(jié)點7和節(jié)點11。其中，節(jié)點7除了與節(jié)點8有連接外，還與節(jié)點5、節(jié)點6和節(jié)點9有連接；而節(jié)點11則還與節(jié)點10、節(jié)點12和節(jié)點13有連接。節(jié)點8的退出，使得原來由節(jié)點8承擔的負荷都要被轉(zhuǎn)嫁到節(jié)點7和節(jié)點11上。

表6 節(jié)點8退出網(wǎng)絡(luò)后的各參數(shù)變化

Tab.6 Parameter changes of node 8 after exiting the network

根據(jù)表6，節(jié)點8退出網(wǎng)絡(luò)后，網(wǎng)絡(luò)拓撲經(jīng)過演化，其加權(quán)拓撲熵為：。

圖5 節(jié)點8退出后網(wǎng)絡(luò)的加權(quán)拓撲結(jié)構(gòu)

4.5 節(jié)點9退出網(wǎng)絡(luò)時

與節(jié)點9有直接連邊的節(jié)點分別為節(jié)點7和節(jié)點10。其中，節(jié)點7除了與節(jié)點9有連接外，還與節(jié)點5、節(jié)點6和節(jié)點8有連接；而節(jié)點10則還與節(jié)點11有連接。節(jié)點8的退出，使得原來由節(jié)點9承擔的負荷都要被轉(zhuǎn)嫁到節(jié)點7和節(jié)點10上。

表7 節(jié)點9退出網(wǎng)絡(luò)后的各參數(shù)變化

Tab.7 Parameter changes of node 9 after exiting the network

根據(jù)表7，節(jié)點9退出網(wǎng)絡(luò)后，網(wǎng)絡(luò)拓撲經(jīng)過演化，其加權(quán)拓撲熵為：。

圖6 節(jié)點9退出后網(wǎng)絡(luò)的加權(quán)拓撲結(jié)構(gòu)

同理，節(jié)點10退出網(wǎng)絡(luò)后，網(wǎng)絡(luò)加權(quán)拓撲熵也為2.3121。

4.6 對比與分析

通過對加權(quán)拓撲熵的計算，可以看到：不同節(jié)點的退出對網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性所帶來的影響各不相同，特別是割點的退出對網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性影響尤為重大。表8描述了網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性變化率與節(jié)點度兩種不同的節(jié)點重要程度評估方法的對比。

表8 異質(zhì)性變化率與節(jié)點度對比表

Tab.8 Comparison table of heterogeneity change rate and node degree

從表中可以看到：

根據(jù)節(jié)點度方法的重要程度評估中，節(jié)點5、節(jié)點6、節(jié)點12和節(jié)點13為最重要的節(jié)點，因為這幾個節(jié)點的度最大；而根據(jù)異質(zhì)性變化率進行的評估則認為節(jié)點7和節(jié)點11的重要程度最高，因為這兩個節(jié)點所到導致的異質(zhì)性變化率最高。從實際來看，這樣的結(jié)論也是合理的，因為節(jié)點7和節(jié)點11都是網(wǎng)絡(luò)的割點，不論是節(jié)點7還是節(jié)點11，只要退出網(wǎng)絡(luò)，則都會導致網(wǎng)絡(luò)連通性的破壞，而且所形成的兩個連通分支都具有較大的規(guī)模。

比較有意思的是節(jié)點8、節(jié)點9和節(jié)點10之間的重要程度排序。由于節(jié)點9和節(jié)點10是對稱關(guān)系，所以這里只討論節(jié)點8與節(jié)點9的重要程度排序：

● 當節(jié)點8的節(jié)點強度小于節(jié)點9時，節(jié)點9的重要程度就大于節(jié)點8；

● 當節(jié)點8的節(jié)點強度大于節(jié)點9的節(jié)點強度，但不超過2倍時，節(jié)點9的重要程度就大于節(jié)點8；

● 當節(jié)點8的節(jié)點強度達到節(jié)點9的節(jié)點強度2倍時，節(jié)點8的重要程度就大于節(jié)點9。

除此而外，基于網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性變化率的節(jié)點重要程度評估方法還具有劃分層次更加豐富的特性。如上述例子中，根據(jù)節(jié)點度的方法只劃分了3個層次的重要程度，而根據(jù)異質(zhì)性變化率的方法則劃分出了5個不同的層次。豐富的層次可以為網(wǎng)絡(luò)的管理和維護提供更加可信的依據(jù)。

5 總結(jié)

熵是一個能夠反映系統(tǒng)整體狀態(tài)及其演化的指標。本文從整體觀點進行網(wǎng)絡(luò)節(jié)點重要程度評估方法的研究，并在BBV網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，提出了基于網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性變化率的評估方法。該方法具有以下一些特點：

（1）以網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的演化研究各節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中所發(fā)揮的作用，具有整體的視點，克服了諸如節(jié)點度方法等的局部觀點所固有的缺陷。

（2）通過邊權(quán)和節(jié)點強度計算，可以實時的反應(yīng)節(jié)點重要程度的動態(tài)變化。

（3）采用影響因子的方式解決了多個連通分支時的異質(zhì)性變化率的計算問題。

（4）以異質(zhì)性變化率作為衡量的指標，從而豐富了重要程度的層次。

總之，異質(zhì)性變化率的評估方法為網(wǎng)絡(luò)脆弱性的研究，并且能夠為日常的網(wǎng)絡(luò)管理、維護和安全防范等都提供重要的依據(jù)。

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Node Importance Evaluation Method Based on the Heterogeneity of Complex Networks

HUANG Jia-zeng

(Dongfang College, Fujian Agriculture and Forestry University, Fujian, Fuzhou 350017)

For the special structure of complex networks, weighted topological entropy theory, evaluation method of node important degree of heterogeneity of complex network structure based on the rate of change is proposed. Firstly, this paper gives the concept of weighted complex network topological entropy, elaborated the BBV network based on evolution principle, secondly, based on the principle of reverse evolution the proposed node important degree depends on the heterogeneity of network structure change rate of view, and puts forward the calculating method of heterogeneous change network cut point rate; finally, with an example to illustrate the evaluation process of node important degree, and the special nodes were analyzed.

Complex network; Weighted network; Weighted topological entropy; Heterogeneity change rate; Node importance evaluation

TP393.01

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2017.04.014

基于粗糙概念格對城市交通科學規(guī)劃研究，（JB12288）

黃加增(1974-)，男，碩士研究生，研究方向為粗糙集與概念格。

本文著錄格式：黃加增. 基于復雜網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的節(jié)點重要性評估方法[J]. 軟件，2017，38（4）：77-84