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        化三角形為正方形

        2017-10-12 08:20:56吳朝陽
        中國科技教育 2016年11期
        關(guān)鍵詞:正三角形直角邊長

        吳朝陽

        這期我們要談一個看似簡單的幾何問題。這個問題是我多年以前偶然遇到的,它不僅答案非常有趣,而且尋找答案的過程非常有啟發(fā)意義。當時我遇到的問題是:

        如何將1個正三角形分割成4塊,使其恰好能拼合成1個正方形。

        這個問題的解答如圖1所示。

        答案很巧妙,是不是?很多人可能百思不得其解,見到答案后不禁會問:我們要如何思考才能夠找到這個答案?這是相當睿智的一問。下面,我們就來還原解決這個問題的思考過程。

        要想解決一個問題,關(guān)鍵在于如何找到這個問題的關(guān)鍵點。找到問題的關(guān)鍵所在,思維才不會漫無目標,思緒才能走上解決問題的正確軌道。對于上述問題,其關(guān)鍵點看起來有兩個:一個是拼合前后面積不變,另一個是拼合的結(jié)果是一個正方形。因此,解決問題就應(yīng)該從這兩個關(guān)鍵點出發(fā)。

        把正三角形分割成四塊多邊形,我們顯然可以假設(shè)分割的“第一刀”經(jīng)過正三角形的兩條邊。因此,我們不妨假設(shè)它就像是上列左圖中的DF。正方形有4個直角,對于正三角形所切成的4塊圖形,我們需要它們不僅能夠拼出4個直角,而且其他的角可以被拼成180°或360°。所以,我們略加思索后即可以假設(shè),另外的分割線就像是上列左圖中的EH和GI。我們現(xiàn)在當然不能排除H和I為同一點的可能性,但無論如何,我們的思緒已經(jīng)在正確的軌道上了。

        有了DF及EH、GI,我們就切割出了十多個不同的角。如何從中拼出直角,將是一個頭緒紛繁的問題。最直截了當?shù)南敕?,是假定EH和G,都與DF垂直。這樣,4個直角就都有了,而問題也就簡單化了。因此我們先接受這個假設(shè),然后繼續(xù)思考,以觀后效。

        在上述垂直假設(shè)之下,∠AEH與∠BEH互為補角,要將4塊圖形拼成正方形,最可能的方案是將四邊形EHFB繞E點向上旋轉(zhuǎn)180。拼接,以便將這對補角拼成180。的平角。因此,我們考慮將E點取為AB的中點。同理,我們將D點取為AC的中點。

        現(xiàn)在,將EHFB繞E點向上旋轉(zhuǎn)180°,將DIGC繞D點向上旋轉(zhuǎn)180°,我們就拼出了上列右圖的下面3塊。于是,只要直角三角形IFG的斜邊正好等于FB與GC的長度和,也即等于底邊長的一半,則我們就至少拼成了1個長方形。而如果我們選擇F、G點,使得EH恰好等于正方形邊長的一半,則根據(jù)面積關(guān)系,所拼成的圖形一定是1個正方形!至此我們發(fā)現(xiàn),以上分析和思考中的所有假設(shè)都是成立的,余下的問題是如何確定F、G、H、I四個點,而這一點兒都不困難。

        根據(jù)以上討論,我們可以用如下5個步驟作出正三角形的分割:

        (1)以AB的中點E為圓心,以正方形邊長的一半為半徑作圓。

        (2)從AC的中點D作圓的切線,將位于正三角形內(nèi)的切點記為H。

        (3)沿長DH,將它與底邊BC的交點記為F。

        (4)找出底邊BC上的點G,使得FG等于底邊邊長的一半。

        (5)由點G作DF的垂線,交DF于點I。

        事實上,以上步驟只是分割正三角形的一種辦法。根據(jù)長度關(guān)系,我們不難推得DF的長度恰好等于正方形的邊長。因此,以D點為圓心,以結(jié)果正方形的邊長為半徑作圓,則其與底邊BC的交點即為F。以此為基礎(chǔ)參考以上分析,可以得出另一種確定G、H、I諸點的步驟。由此可見,分割正三角形的步驟不止1種。

        有意思的是,上述分割方法的5個步驟并沒有利用正三角形的3個角都等于60°這個特性,因此這種分割法對很多一般三角形都是可行的。也就是說,很多三角形可以用以上方法分割成4塊,然后拼合成1個正方形。顯然,只要這種分割方法能夠在三角形內(nèi)得到H、I兩點,則它就一定是可行的。下面,我們再舉個例子。

        例:將5邊邊長分別為6、8、10的三角形分割成恰好可以拼成正方形的4塊。

        以上化三角形為正方形的問題,看似相當困難,但如果我們能夠找到正確的入手點,則問題可以迎刃而解。上述分析、解決問題的過程,為我們展示了一個如何發(fā)現(xiàn)解決問題關(guān)鍵點的典型案例。細細品味,我們也許能夠從中得到很大的啟發(fā),并因此提高自己解決問題的能力。

        作為本文的結(jié)束,我們提出幾個與本文相關(guān)的問題供讀者思考:什么樣的三角形不可以用上述步驟分割成恰好能拼合成正方形的4塊?如果1個三角形不能用上述步驟化為正方形,是不是可以用別的方法做到?如果4塊不能,一般的三角形需要切割成幾塊才能拼成正方形?endprint

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