王恒辰

摘要本文首先對玻爾茲曼能量分布律進行推導，之后通過利用玻爾茲曼能量分布律進行計算，推導出了氧氣濃度與海拔的關(guān)系，并計算出不同海拔下氧氣的濃度，應(yīng)用MATLAB建立模型后得出不同海拔下氧氣濃度，計算結(jié)果與實際情況基本相符。本文所提供的計算氧氣濃度的方法，簡單快捷。經(jīng)分析表明，能夠很好地與實際情況聯(lián)系起來，最后提出了此種方法所存在的缺陷。

關(guān)鍵詞玻爾茲曼能量分布律；MATLAB；不同海拔

氧氣濃度的變化會對人類的生產(chǎn)、生活產(chǎn)生很大影響，研究不同海拔的氧氣濃度很有必要。在測量不同海拔下氧氣濃度時，可以利用氧氣濃度測量儀進行實地測量，這種方法簡單直接，可以測量得到實時數(shù)據(jù)，但是測量海拔較高時的氧氣濃度就顯得費時費力。也可以通過收集一瓶空氣并與銅加熱計算銅的增重，間接計算氧氣的質(zhì)量，進而計算出氧氣濃度，但是這種方法誤差較大，并且耗費資源。事實上，我們還可以利用化學勢與玻爾茲曼能量分布律對不同海拔下氧氣濃度進行計算。

化學勢指的是物體所含有的能量，而微觀粒子總是會從化學勢高的相進入化學勢低的相，從而降低系統(tǒng)的總自由能，并使系統(tǒng)達到平衡態(tài)。玻耳茲曼能量分布律是對化學勢的一個補充，能夠描述理想氣體在受保守外力作用或保守外力作用不可忽略時，處于熱平衡狀態(tài)下的氣體按能量分布的規(guī)律。

玻爾茲曼分布律是由玻爾茲曼提出來的。路德維?！げ柶澛?844年2月20日一1906年9月5日），奧地利物理學家和哲學家，是熱力學與統(tǒng)計物理學的奠基人之一，他發(fā)展了通過原子的性質(zhì)來解釋并預(yù)測物質(zhì)的物理性質(zhì)的統(tǒng)計物理學，并對熱力學第二定律從統(tǒng)計意義上進行了闡述與解釋。1869年，他通過將麥克斯韋速度分布律推廣到保守力作用下的情況，得到了玻爾茲曼能量分布律。

玻爾茲曼能量分布律一般適用于處于平衡狀態(tài)氣體中的分子、原子。當粒子問的相互作用力可以微小到忽略不計時，液體、固體中的很多粒子同樣適用玻爾茲曼能量分布律。因為其能描述在保守力場（如重力場）處于熱平衡狀態(tài)下的氣體按能量分布的規(guī)律，所以我們可以利用該分布律導出不同海拔高度和氣體分子密度（濃度）之間的關(guān)系。

利用玻爾茲曼能量分布律對不同海拔下的氧氣/空氣分子密度的計算，為本文中不同海拔下氧氣濃度的模型提供了理論基礎(chǔ)。在本文中，我們將會利用玻爾茲曼能量分布律計算不同海拔下的空氣中氧氣濃度，并和實際測得的數(shù)據(jù)進行對比分析，同時探索實踐意義。

1玻爾茲曼分布律

一個物理系統(tǒng)內(nèi)分子和原子運動造成了這個物理系統(tǒng)的溫度變化。對于包含大量粒子的物理系統(tǒng)，麥克斯韋速度分布律很好地描述了這個系統(tǒng)里處于特定速度范圍內(nèi)的粒子數(shù)量。然而，當理想氣體體系處于保守力場中，其氣體分子的空間分布將會不均勻。玻爾茲曼分布律描述了處于熱平衡和保守立場的理想氣體體系在空間和速率上的分布

玻爾茲曼分布律是一個普遍的規(guī)律，當粒子間的相互作用力可以微小到忽略不計時，處于平衡狀態(tài)氣體中的分子、原子都適用玻爾茲曼能量分布律。因為其能描述在保守力場（如重力場）處于熱平衡狀態(tài)下的氣體按能量分布的規(guī)律，所以我們可以利用該分布律導出不同海拔高度和氣體分子體積密度之間的關(guān)系。

為參考位置的分子數(shù)量，在本文中設(shè)為海平面處的特定分子的數(shù)量，對分子運動速度進行積分，得所以在單位體積內(nèi)的分子數(shù)量為

由此，我們可以得出在重力場中，單位體積氣體分子數(shù)與海拔高度的分布規(guī)律。

2利用玻爾茲曼分布律對不同海拔下氧氣濃度的計算

由玻爾茲曼分布律可知單位體積內(nèi)，當海拔h升高，分子質(zhì)量m增大時，n會減小。由此可知，當海拔升高時，單位體積內(nèi)所有的氣體分子數(shù)量將會減小，表示氣壓將會降低。而分子質(zhì)量比較大的氣體分子數(shù)將會比分子質(zhì)量小氣體分子數(shù)減小得更快，造成不同海拔下空氣的組分比例變化，為氧氣濃度的計算提供了可能。

我們可以分別計算出在海拔為h時單位體積內(nèi)的氧氣分子數(shù)量，再除以海平面處的空氣“分子”密度，即為海拔h處的氧氣濃度。

3利用MATLAB進行計算，并得出海拔與氧氣濃度的關(guān)系圖像

根據(jù)第二節(jié)的計算方式，利用MATLAB作圖可以得到海拔與氧氣濃度關(guān)系的圖像如圖1所示。

根據(jù)圖l所示，在海拔高度0m～10000m內(nèi)隨著海拔的升高，氧氣濃度會逐漸降低。當海拔為零時氧氣濃度大約為21%，當達到10000m高空時，氧氣濃度降至約3.8%。

4誤差分析

根據(jù)第二節(jié)的計算過程可以得知，由于自然對數(shù)e為無限不循環(huán)小數(shù)，我們在公式中對于e的取值小于e本身的數(shù)值大小，因此計算值會小于真實值得到的結(jié)果；且地球的重力加速度的取值偏大，因此計算的結(jié)果會相對真實結(jié)果偏大；空氣在海拔為零處的密度偏大，結(jié)果也會大于實際結(jié)果，同時，溫度與海拔的關(guān)系相對來說取值較為偏大，因此我們得到的整體數(shù)據(jù)對于真實情況偏大一些。比如在海拔為零處值通過計算得到為21%，而實際情況下真實濃度20.8%。再加上由于計算過程是將空氣處于理想狀態(tài)下考慮得到的結(jié)果，而在實際生活中，由于人類活動的影響，比如說城市中汽車運行要利用氧氣，同時會產(chǎn)生二氧化碳等氣體，會導致結(jié)算的結(jié)果大于真實數(shù)據(jù)，再例如在森林等植被覆蓋較多的地區(qū)，由于光合作用的影響，氧氣濃度相對于結(jié)算結(jié)果偏高。再比如夏天由于太陽照射的影響，近地面溫度偏高，近地面的空氣上升導致近地面氧氣濃度比正常值低。因此運用我們的計算得到的氧氣濃度相對現(xiàn)實生活中氧氣濃度存在一定量的誤差。

5計算結(jié)果對實際的意義

實際生活中，有些工作人員以及普通游客會處于高海拔地區(qū)，比如去登山的游客、飛行員、跳傘運動員等，他們所處于的地區(qū)相對于低海拔地區(qū)的人來說，空氣中氧氣濃度更低，在氧氣濃度為19.5%～23.5%之間時，屬于正常濃度，對人幾乎沒有什么影響。當濃度處于19%時，會影響人的工作效率，甚至對人體頭部、肺部以及全身循環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生一定影響。當氧氣濃度處于14%～19%之間時，會使人呼吸急促、脈搏加快協(xié)調(diào)能力和感知判斷力降低。當氧氣濃度降低到10%～12%時，人們會出現(xiàn)呼吸急促，判斷力喪失、嘴唇發(fā)紫等。當氧氣濃度降低到8%～10%時，會使人智力喪失、昏厥、無意識、臉色蒼白，惡心嘔吐等。而當氧氣濃度降低到6%～8%時大于等于8min，人100%死亡；6min，50%可能死亡；4min～5min，可能恢復(fù)。而當氧氣濃度低于6%時，40s后，人會昏迷、抽搐，呼吸停止，死亡。氧氣濃度過低時對人類的影響很大，因此，計算得到的結(jié)果雖然與實際情況存在誤差，但可以反映出不同海拔下氧氣濃度的大致情況，以便于人們在高海拔地區(qū)作業(yè)、游玩時做到適度的防備。

6結(jié)論

在本文中，我們通過利用玻爾茲曼能量分布律對不同海拔下氧氣濃度進行了計算，由之前的計算結(jié)果可以得知，利用這種方法計算與實際情況的偏差不會很大，最主要的誤差原因是低海拔下人類的活動。本文的計算方法，能夠相對方便的計算出較高海拔下的氧氣濃度，與利用氫氣球?qū)嶋H測量等測量方式相比，本文方法成本相對較低、計算方式簡單快捷，而且不需要動用十分復(fù)雜的儀器，因此，本文所介紹的計算不同海拔下氧氣濃度的方法值得推廣。endprint