高朝陽

(黑龍江科技大學(xué))

創(chuàng)新物理關(guān)系理解三重積分計(jì)算公式

高朝陽

(黑龍江科技大學(xué))

給出與密度有關(guān)的新的物理關(guān)系，利用這些新關(guān)系輕松理解三重積分計(jì)算公式的推導(dǎo)過程．

三重積分；新的密度關(guān)系；推導(dǎo)過程

0 引言

現(xiàn)在的微積分教材中，在講二重積分時(shí)，都給出了它的幾何意義和物理意義，分別是曲頂柱體體積和平面薄片的質(zhì)量.并且利用幾何意義解釋了二重積分計(jì)算公式的推導(dǎo)過程.公式為

但是，對(duì)于三重積分，卻只是在講概念時(shí)提一下物理意義，沒有提幾何意義，而在三重積分計(jì)算公式推導(dǎo)過程中根本沒有提物理意義.這是由于三重積分只有在特殊情況下的幾何意義才便于理解，而現(xiàn)有的物理意義對(duì)理解三重積分計(jì)算公式的推導(dǎo)過程沒有直接幫助.很多教師想利用現(xiàn)有物理意義結(jié)合數(shù)學(xué)思想來解釋這一推導(dǎo)過程，或稍顯抽象、或物理關(guān)系混亂，多數(shù)學(xué)生存有疑慮，不能很好理解這一公式.

在這里給出一組新的物理關(guān)系，利用它們可以輕松解釋三重積分計(jì)算公式的推導(dǎo)過程.這組關(guān)系簡(jiǎn)潔明了，符合物理學(xué)科內(nèi)在的邏輯性，更重要的是適合學(xué)生的理解能力，能使他們順利理解并接受這一公式.

關(guān)于密度與質(zhì)量的關(guān)系常用以下三個(gè)公式：

線密度×長(zhǎng)度=質(zhì)量

(1)

面密度×面積=質(zhì)量

(2)

體密度×體積=質(zhì)量

(3)

只靠現(xiàn)有的這三個(gè)關(guān)系，很難簡(jiǎn)單明了地解決三重積分計(jì)算公式推導(dǎo)過程難以理解的問題.

即使小學(xué)生也都知道

體積=面積×長(zhǎng)度=長(zhǎng)度×面積.

把公式(3)進(jìn)行變化：

體密度×體積=體密度×(長(zhǎng)度×面積)=(體密度×長(zhǎng)度)×面積=質(zhì)量

(4)

還可以變成：

體密度×體積=體密度×(面積×長(zhǎng)度)=(體密度×面積)×長(zhǎng)度=質(zhì)量

(5)

新的關(guān)系出現(xiàn)了！“體密度×長(zhǎng)度”看似荒謬，卻產(chǎn)生了新的物理意義：它與面積的積等于質(zhì)量，說明它等同于“面密度”，看看物理量綱，完全符合！同理：“體密度×面積”與長(zhǎng)度的積等于質(zhì)量，說明它等同于“線密度”.這組物理關(guān)系體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)、化歸等數(shù)學(xué)思想在物理中的應(yīng)用.雖然在實(shí)際中沒有人這么用，但無論從物理意義還是從數(shù)學(xué)思想等方面都很容易理解，也好記憶.這樣利用體密度和體積來求質(zhì)量既可以直接算，也可以拆開求，就有三種方法可做.利用這組物理關(guān)系來理解三重積分計(jì)算公式的推導(dǎo)過程就順理成章，水到渠成了.

三重積分有兩個(gè)計(jì)算公式，分別是坐標(biāo)面投影法：

(6)

坐標(biāo)軸投影法：

(7)

同理，

面密度×面積=面密度×(長(zhǎng)度×長(zhǎng)度)=(面密度×長(zhǎng)度)×長(zhǎng)度=質(zhì)量

(8)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)：第七版 下冊(cè)．北京：高等教育出版社，2015．

[2] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．微積分：下冊(cè)．北京：高等教育出版社，2007．

Abstract:A new physical relation on density is given.And using these new relationships,the derivation process of the formulas of triple integral calculation is understood easily.

Keywords:Triple integral；New density relation；Derivation process

(責(zé)任編輯：李家云)

UsingInnovatingPhysicalRelationtoUnderstandCalculationFormulaofTripleIntegral

Gao Chaoyang

(Heilongjiang University of Science and Technology )

O172

A

1000-5617(2017)02-0049-02

2017-01-17