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        對(duì)一個(gè)征解題的探究

        2017-09-29 07:52:39魏國祥李鳳清張子衛(wèi)
        關(guān)鍵詞:半月刊遂寧魏國

        魏國祥,李鳳清,張子衛(wèi)

        (四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系,四川 遂寧 629000)

        對(duì)一個(gè)征解題的探究

        魏國祥,李鳳清,張子衛(wèi)

        (四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系,四川 遂寧 629000)

        本文對(duì)《數(shù)學(xué)通訊》上半月刊2015年第3期問題征解欄目第206號(hào)問題進(jìn)行了探究,得出了它的一個(gè)推廣:已知a,b,c,m為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1同時(shí)得出幾個(gè)有用的相關(guān)結(jié)論,最后提出了一個(gè)猜想:已知a,b,c,λ,m 為正實(shí)數(shù)且滿足 a b c=1,λ≥1,(1+m a)(1+m b)(1+m c).

        數(shù)學(xué)問題;不等式;推廣;猜想

        《數(shù)學(xué)通訊》上半月刊2015年第3期問題征解欄目第206號(hào)問題為:

        已知為a,b,c正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1,求證:

        我們對(duì)問題進(jìn)行探究,得到下面一些結(jié)論.

        從定理1的證明中可得下面結(jié)論.

        結(jié)論1已知a,b,c,m為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1,則(1+m a)(1+m b)(1+m c).

        結(jié)論2已知a,b,c,λ,m為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1,λ≥1,則

        (1+aλ)(1+bλ)(1+cλ)≥(1+a)(1+b)(1+c).

        證明(1+aλ)(1+bλ)(1+cλ)≥(1+a)(1+b)(1+c)等價(jià) 于(aλ+bλ+cλ)+[(a b)λ+(b c)λ+(c a)λ] ≥(a+b+c)+(a b+b c+c a).

        由冪平均不等式可知

        同理可知,(a b)λ+(b c)λ+(c a)λ≥a b+b c+c a

        故(aλ+bλ+cλ)+[(a b)λ+(b c)λ+(c a)λ]≥(a+b+c)+(a b+b c+c a),故結(jié)論2成立.

        推論 已知a,b,c,λ 為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1,λ≥2,則

        (1+aλ)(1+bλ)(1+cλ)≥(1+a2)(1+b2)(1+c2).

        由這個(gè)推論與結(jié)論1可得下面結(jié)論.

        結(jié)論 3已知 a,b,c,λ,m為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1,λ≥2則

        結(jié)論 4已知 a,b,c,λ,m為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1,m≥5,λ≥1,則

        證明 由 結(jié) 論 2 可 知 (1+aλ)(1+bλ)(1+cλ)≥(1+a)(1+b)(1+c),故只需證(1+a)(1+b)(1+c)≥(a+b+c)+[(1+m)3-8 m] (a b+b c+c a) ≥8 (m3+1)-2(1+m)3.若 m≥5,可知(1+m)3-8 m2>0,(1+m)3-8 m2>0與 4(m3+1)-(1+m)3≥0 均成立. 由于 a+b+c≥3,a b+b c+c a≥3故

        [(1+m)3-8 m](a+b+c)+[(1+m)3-8 m2](a b+b c+c a)≥3[2(1+m)3-8 m2-8 m]=6 m3-6 m2-6 m+6

        可知結(jié)論4成立.

        下面提出一個(gè)猜想.

        猜想已知a,b,c,λ,m為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1,λ≥1,則

        [1]佚名.第206號(hào)問題//問題征解[J]數(shù)學(xué)通訊(上半月刊),2015,(3).

        責(zé)任編輯:張隆輝

        O 122

        A

        1672-2094(2017)04-0165-02

        2017-05-08

        魏國祥(1971-),男,四川遂寧人,四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師。研究方向:數(shù)學(xué)教育。

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