張麗娜，唐芳，劉吉普，陳優(yōu)

基于EFG法散熱結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型設(shè)計(jì)研究

張麗娜1，唐芳2，劉吉普1，陳優(yōu)1

（1.湖南應(yīng)用技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，湖南常德415100；2.湖南理工職業(yè)技術(shù)學(xué)院風(fēng)能工程學(xué)院，湖南湘潭411105）

基于EFG法，提出了一種散熱結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法?；谠摲椒ǎㄟ^編程，進(jìn)行了散熱結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型設(shè)計(jì)。結(jié)果表明，該方法可以應(yīng)用于散熱結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型設(shè)計(jì)，并為工程散熱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

EFG法；散熱結(jié)構(gòu)；拓?fù)鋬?yōu)化；變密度法

功率電子器件、發(fā)動機(jī)等產(chǎn)品的散熱特性對其工作性能有重要影響，如計(jì)算機(jī)芯片的有效冷卻已成為影響個人計(jì)算機(jī)性能進(jìn)一步提高的瓶頸問題。傳統(tǒng)散熱結(jié)構(gòu)的傳熱設(shè)計(jì)一般是假定特定結(jié)構(gòu)，通過傳熱計(jì)算來進(jìn)行，然而不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式散熱器的傳熱效果顯然不同，如何尋找最佳傳熱拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，已成為工程傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵技術(shù)問題。

近年來，國內(nèi)外部分學(xué)者提出利用結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，對傳熱結(jié)構(gòu)的最佳拓?fù)溥M(jìn)行設(shè)計(jì)。當(dāng)前，傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究主要基于有限元法進(jìn)行。然而，由于有限元法采用基于單元的插值方法，溫度場及拓?fù)鋬?yōu)化中的單元相對密度場的連續(xù)性低，導(dǎo)致拓?fù)鋬?yōu)化過程中常出現(xiàn)如棋盤格和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象[1-2]，不利于工程應(yīng)用。

無網(wǎng)格Galerkin（Element-Free Galerkin，EFG）法作為一種新型數(shù)值分析方法，具有計(jì)算精度高、收斂快和穩(wěn)定性好等[3]優(yōu)點(diǎn)，在結(jié)構(gòu)大變形[4-5]、動態(tài)裂紋擴(kuò)展[6-7]和結(jié)構(gòu)優(yōu)化[8]等眾多計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。與有限元相比，EFG法采用基于離散點(diǎn)的逼近方法，可構(gòu)造出高階場函數(shù)，并且所得計(jì)算結(jié)果光滑連續(xù)，無需進(jìn)行光滑化處理[9]。因此，本文將EFG法應(yīng)用于傳熱分析，開展基于EFG法的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究，有望解決有限元法在傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化中存在的問題，并對工程中散熱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要指導(dǎo)意義。

1 EFG離散模型

EFG法利用移動最小二乘法構(gòu)造位移逼近函數(shù)，在二維熱傳導(dǎo)問題中，其溫度場Th（x）的逼近函數(shù)為：

式中φ（x）為形函數(shù)。若采用罰函數(shù)法來處理本質(zhì)邊界條件，對于固體熱傳導(dǎo)問題，則EFG法的離散形式可表述為：

式中，K為總體溫度剛度矩陣，由節(jié)點(diǎn)對溫度剛度矩陣KIJ組裝而成；T為節(jié)點(diǎn)溫度參數(shù)向量；P為總體熱載荷向量，由節(jié)點(diǎn)熱載荷向量FI組裝而成；α為罰因子。

式（3）與式（4）中均含有積分項(xiàng)，由于EFG法中積分項(xiàng)的被積函數(shù)并非簡單的多項(xiàng)式函數(shù)，因此需要利用高斯積分進(jìn)行計(jì)算。本文基于有限元背景積分網(wǎng)格，采用高斯積分進(jìn)行計(jì)算。

2 拓?fù)鋬?yōu)化模型

基于EFG法熱傳導(dǎo)問題的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型可表述為：

式中，ρ為設(shè)計(jì)變量矢量；C為結(jié)構(gòu)的散熱弱度；V（ρ）為優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)總體積；V0為初始實(shí)體材料狀態(tài)的結(jié)構(gòu)總體積；f為材料的最大體積保留率；為避免優(yōu)化過程中剛度矩陣的奇異，引入密度下限值ρmin，一般取0.001.

3 最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型設(shè)計(jì)

算例：如圖1所示，平板結(jié)構(gòu)的長寬均為20 m，厚度為1 m，平板材料的熱導(dǎo)率為10 w/cm·℃.平板的熱載荷及邊界條件如圖1所示。

圖1 中心熱源平板模型及邊界條件

本文采用規(guī)則排布的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散，得到圖2所示的節(jié)點(diǎn)布置方案，節(jié)點(diǎn)總數(shù)為441.為了計(jì)算離散格式中的積分項(xiàng)，需要采用背景積分網(wǎng)格，本文采用與離散節(jié)點(diǎn)相重合的有限元背景積分網(wǎng)格，網(wǎng)格總數(shù)為400.

需注意的是，采用EFG法進(jìn)行該結(jié)構(gòu)的傳熱分析時，只需要一系列的離散點(diǎn)來構(gòu)造溫度場的逼近函數(shù)，而無需有限元背景網(wǎng)格（僅用于計(jì)算離散格式中的積分項(xiàng)，與溫度場逼近函數(shù)無關(guān)），這是EFG等無網(wǎng)格方法與有限元法的本質(zhì)區(qū)別。

利用EFG散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化程序，對該模型進(jìn)行求解，得到了最優(yōu)拓?fù)洳季郑鐖D3所示。由圖6可知，在結(jié)構(gòu)體積滿足一定約束的條件下，為保證最佳的散熱效果，結(jié)構(gòu)的材料均布置在平板中心點(diǎn)與四個頂點(diǎn)的連線上。

圖4為原始平板結(jié)構(gòu)的溫度分布云圖。由圖4可知，在平板中心點(diǎn)與四個頂點(diǎn)的連線上，溫度變化最大，即溫度梯度最大，因此沿中心點(diǎn)與四個頂點(diǎn)的連線方向，散熱效率最高。這與本文方法所得到的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型一致。

圖2 初始節(jié)點(diǎn)排布

圖3 最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型

圖4 原始結(jié)構(gòu)溫度分布云圖

4 結(jié)論

本文提出了一種基于EFG法的散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。本文基于該方法編寫了計(jì)算程序，進(jìn)行了散熱結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型設(shè)計(jì)。結(jié)果表明了本文方法可以應(yīng)用于散熱結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型設(shè)計(jì)，并為工程散熱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

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Study on Topology Design of Heat Radiation Structure Based on EFG Method

ZHANG Li-na1，TANG Fang2，LIU Ji-pu1，CHEN You1
（1.School of Electrical and Mechanical Engineering，Hunan Applied Technology University，Changde Hunan 415100，China；2.School of Wind Engineering，Hunan Vocational Institue of Technology，Xiangtan Hunan 411105，China）

In this paper，a kind of topology optimization design method for heat radiation structure based on EFG method was established.According to the method，topology design of heat radiation structure was accomplished by using the EFG program.The result shows that the method can apply to topology design of heat radiation structure，and it is provided the guidance for optimization design of heat radiation structure.

EFG method；heat transfer body；topology optimization；SIMD

TH123

A

1672-545X（2017）07-0018-02

2017-04-05

湖南省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目（16C1173、16C0745）

張麗娜（1987－），女，河南鶴壁人，碩士，主要從事過程裝備仿真及優(yōu)化和節(jié)能與環(huán)保等研究；唐芳（1989－），女，湖南永州人，碩士，主要從事數(shù)值傳熱學(xué)及太陽能光熱利用技術(shù)研究。