馮 敬 海， 朱 駿 橋

( 大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116024 )

房?jī)r(jià)非線性回歸模型及期權(quán)定價(jià)

馮 敬 海*， 朱 駿 橋

( 大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116024 )

從宏微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度出發(fā)，依照國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站的數(shù)據(jù)選取多個(gè)可能影響房地產(chǎn)價(jià)格的變量建立了全國(guó)房地產(chǎn)平均價(jià)格模型．運(yùn)用R語言對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了多元線性回歸分析、多元非線性回歸分析、相關(guān)性分析、多重共線性分析、嶺回歸分析等統(tǒng)計(jì)分析，得出房?jī)r(jià)的線性與非線性多個(gè)模型并進(jìn)行了比較．結(jié)合隨機(jī)微分方程、實(shí)物期權(quán)等相關(guān)金融數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了房?jī)r(jià)模型的理論推導(dǎo)與實(shí)際估計(jì)，并對(duì)房?jī)r(jià)期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)．利用Matlab對(duì)模型進(jìn)行了大量的模擬并得到較好結(jié)果．

實(shí)物期權(quán)；房?jī)r(jià)模型；隨機(jī)微分方程

0 引 言

房地產(chǎn)行業(yè)與我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展始終相互影響，它的狀況也間接反映了我國(guó)人民的生活水平．進(jìn)入21世紀(jì)以來，我國(guó)經(jīng)濟(jì)全面發(fā)展，房地產(chǎn)作為我國(guó)經(jīng)濟(jì)的龍頭行業(yè)發(fā)展速度越來越快．國(guó)家政策始終在一定程度上影響著房地產(chǎn)價(jià)格．1990年5月，《中華人民共和國(guó)城鎮(zhèn)國(guó)有土地使用權(quán)出讓和轉(zhuǎn)讓暫行條例》的出臺(tái)，為土地使用權(quán)有償出讓提供了具體依據(jù)，為房地產(chǎn)市場(chǎng)形成和流轉(zhuǎn)房地產(chǎn)的建立奠定了基礎(chǔ)．2008年11月，4萬億元投資計(jì)劃的實(shí)施抵擋了國(guó)際金融危機(jī)的沖擊，阻止了GDP的下降，間接支撐了房地產(chǎn)行業(yè)的持續(xù)發(fā)展．諸如此類，數(shù)不勝數(shù)．近十年來，隨著經(jīng)濟(jì)和教育水平的不斷提高，房地產(chǎn)價(jià)格快速增長(zhǎng)的原因成為國(guó)內(nèi)各大高校學(xué)者熱議的話題，與此相關(guān)的論文也層出不窮．影響房地產(chǎn)價(jià)格的因素較多，前人的論文所針對(duì)的方向各有不同，選取變量的依據(jù)大都為宏觀或微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)原理加之一定的主觀傾向，但依據(jù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法如出一轍，得到的多元線性回歸模型都可以很好地解釋房地產(chǎn)價(jià)格的增長(zhǎng)．

本文選取可能影響房地產(chǎn)價(jià)格的近10個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，數(shù)據(jù)來源于國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站．通過R語言[1]對(duì)多個(gè)變量與房地產(chǎn)平均銷售價(jià)格進(jìn)行相關(guān)性分析、逐步回歸分析、非線性回歸分析、嶺估計(jì)等統(tǒng)計(jì)分析得到最優(yōu)的擬合結(jié)果[2]．結(jié)合隨機(jī)微分方程的相關(guān)知識(shí)對(duì)其進(jìn)行深入的探索，利用Matlab對(duì)隨機(jī)微分模型進(jìn)行模擬，結(jié)合實(shí)物期權(quán)的相關(guān)知識(shí)對(duì)房?jī)r(jià)期權(quán)進(jìn)行預(yù)測(cè)．

1 房?jī)r(jià)模型

1.1 房地產(chǎn)價(jià)格影響因素分析

經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)人的消費(fèi)理論有深度的研究[3]．影響我國(guó)房地產(chǎn)平均銷售價(jià)格的主要因素有很多，本文選取了以下幾個(gè)因素作為自變量：

x1：商品房年度銷售面積，104m2；x2：廣義貨幣M2，即交易貨幣以及定期存款與儲(chǔ)蓄存款，億元；x3：年末總?cè)丝?，萬人；x4：城鎮(zhèn)人口，萬人；x5：國(guó)民總收入，億元；x6：國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值，億元；x7：人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值，元；x8：城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入，元；x9：城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)，%

因變量y：全國(guó)商品房平均銷售價(jià)格，元．

1.2 數(shù)據(jù)歸一化

通過觀察原始數(shù)據(jù)表可以發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)據(jù)不僅單位有差異，并且數(shù)量級(jí)相差比較大．為優(yōu)化這種數(shù)據(jù)的處理，需對(duì)各個(gè)自變量進(jìn)行歸一化處理．具體處理辦法如下：

之所以采用這種歸一化方法，是因?yàn)闅w一化后所有數(shù)據(jù)均處于0～1，消除了單位不一致的缺點(diǎn)．本文中歸一化后的數(shù)據(jù)表示仍然采用歸一化之前的符號(hào)．

1.3 多元線性模型的建立與求解

根據(jù)這9個(gè)變量建立y的多元線性回歸模型：

y=β0+β1x1+β2x2+β3x3+β4x4+β5x5+β6x6+β7x7+β8x8+β9x9

首先，用R語言對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，step函數(shù)對(duì)其進(jìn)行逐步回歸，得到結(jié)果如表1所示(擬合后發(fā)現(xiàn)x9的P值最大，隨后的擬合結(jié)果顯示x8的P值最大，故將這兩個(gè)變量剔除)．?dāng)?shù)據(jù)結(jié)果依然存在不夠顯著的情況，個(gè)別自變量與因變量之間正負(fù)相關(guān)關(guān)系不符合實(shí)際情況且可能存在多重共線性問題，故繼續(xù)選擇變量進(jìn)行剔除，首先剔除不顯著的x5．國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值x6應(yīng)該與房?jī)r(jià)y呈正相關(guān)，隨后剔除變量x6，進(jìn)而將不顯著的x2剔除．得到結(jié)果如表2所示．

表1 線性回歸模型數(shù)據(jù)初步擬合

表2 線性回歸模型數(shù)據(jù)擬合

這已經(jīng)是一個(gè)比較好的結(jié)果，但是x4的系數(shù)β4仍然為負(fù)．城鎮(zhèn)居民人口越多，對(duì)房屋的需求量越大，導(dǎo)致房?jī)r(jià)變高．但是年末總?cè)丝趚3的系數(shù)很大．考慮非城鎮(zhèn)人口即鄉(xiāng)村人口對(duì)y是否有影響，設(shè)x10=x3-x4，x10表示鄉(xiāng)村人口總數(shù)(單位：萬人)．?dāng)M合后得到結(jié)果：

y=-0.355 17+0.422 95x1+0.591 79x7- 0.739 56x9+2.631 38x10

該模型(模型1)與實(shí)際值對(duì)比如圖1所示，將t與y的數(shù)據(jù)點(diǎn)、預(yù)測(cè)估計(jì)曲線、預(yù)測(cè)區(qū)間曲線和置信區(qū)間曲線畫在一張圖上，效果更加直觀．

(a) 對(duì)比

(b) 區(qū)間

圖1 模型1實(shí)際值與估計(jì)值對(duì)比

Fig.1 Comparison of actual and estimated values in Model 1

倘若不對(duì)變量x3和x4進(jìn)行相減處理，由于x3和x4都是與人口相關(guān)的變量，數(shù)據(jù)中一定存在多重共線性．衡量數(shù)據(jù)是否存在多重共線性的一個(gè)重要指標(biāo)就是矩陣XTX的條件數(shù)κ的大小，即

式中：X為數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣，λmin(XTX)和λmax(XTX)分別是矩陣XTX的最小特征值和最大特征值．條件數(shù)κ象征著XTX的特征值差異大小．利用R語言進(jìn)行多重共線性分析得到矩陣XTX的最小特征值和最大特征值：λmin(XTX)=0.004 072 048 和λmax(XTX)=3.808 502，100<κ=935.281 088<1 000證明數(shù)據(jù)中存在中等程度的多重共線性．

采用嶺估計(jì)的方法解決多重共線性的問題，對(duì)于多元線性模型y=Xβ+ε，嶺估計(jì)的回歸系數(shù)定義為β(k)=(XTX+kI)-1XTy，公式中k為大于0的可選擇的參數(shù)，稱之為嶺參數(shù)．當(dāng)k取不同值的時(shí)候，得到的估計(jì)結(jié)果也不同．若k=0，β(0)=(XTX)-1XTy即為普通的最小二乘估計(jì)．嶺跡圖如圖2所示．

圖2 嶺跡圖

嶺回歸的R語言函數(shù)還提供了兩種確定嶺參數(shù)的方法，計(jì)算后得出L-W=0.004 400 138和HKB=0.002 495 606，但這兩種方法對(duì)于本問題得到的參數(shù)很不理想．所以，采用觀測(cè)嶺跡圖的方法，當(dāng)k>0.4時(shí)，各變量的嶺跡趨于平穩(wěn)，代入k=0.4后得到結(jié)果如表3所示．

表3 線性回歸模型數(shù)據(jù)擬合(k=0.4)

其中x4的系數(shù)β4依然為負(fù)，但與其他變量系數(shù)相比較小，暫且得到模型2如下：

y=-0.338 23+0.228 29x1+2.141 08x3- 0.032 59x4+0.377 24x7

該模型與實(shí)際值的對(duì)比圖如圖3所示．

1.4 非線性模型的建立

通過觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，從1990年到2014年，大部分自變量及因變量y的值都顯著增大，以變量x2為例，其在25 a間擴(kuò)大了近100倍．不難看出，x2隨著t的變化大致呈指數(shù)關(guān)系增長(zhǎng)．假設(shè)它們之間的關(guān)系為x2=aebt，而后對(duì)等式兩側(cè)同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到lnx2=lna+bt，對(duì)lnx2和t進(jìn)行線性回歸，計(jì)算出結(jié)果a=-353.7，b=0.175 3．指數(shù)函數(shù)x2=aebt與實(shí)際值的對(duì)比圖4驗(yàn)證了本文的猜想．

圖3 模型2實(shí)際值與估計(jì)值對(duì)比

圖4 x2=aebt與實(shí)際值

故假設(shè)房?jī)r(jià)與各變量之間的非線性模型為

lny=β0+β1lnx1+β2lnx2+β3lnx3+β4lnx4+β5lnx5+β6lnx6+β7lnx7+β8lnx8+β9lnx9+β10lnx10

由于變量x3、x4、x10均為與人口相關(guān)的變量，x6和x7均為與生產(chǎn)總值相關(guān)的變量，考慮多重共線性的問題，從這兩組變量中各取一個(gè)變量并結(jié)合其他變量進(jìn)行擬合．利用R語言中l(wèi)m函數(shù)與step函數(shù)進(jìn)行擬合和變量篩選，并從多種組合中選取最優(yōu)解．于是得到模型的解：

lny=-0.490 56+0.238 95lnx1+ 0.871 15lnx2+0.713 15lnx9+ 1.634 10lnx10

恩格爾系數(shù)越高，說明人民生活相對(duì)艱苦，間接導(dǎo)致房?jī)r(jià)降低．盡管我國(guó)提出了計(jì)劃生育等一系列控制人口增長(zhǎng)速度的政策，我國(guó)總?cè)丝谝廊环€(wěn)中有升，隨著鄉(xiāng)村人口的不斷向城鎮(zhèn)遷移，城鎮(zhèn)人口逐年增加．而城鎮(zhèn)房?jī)r(jià)顯著高于鄉(xiāng)村房?jī)r(jià)，故鄉(xiāng)村人口應(yīng)與全國(guó)房地產(chǎn)平均價(jià)格呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)．故推測(cè)數(shù)據(jù)中仍然存在多重共線性的可能．100<κ=442.329 6<1 000表示數(shù)據(jù)中存在中等程度的多重共線性．圖5為4個(gè)變量的嶺跡圖，選取k=1.7，各變量趨于平穩(wěn)，得到多元非線性回歸方程如下，即模型3：

lny=0.287 60+0.202 96lnx1+ 0.392 11lnx2-0.026 91lnx9- 1.005 66lnx10

圖5 4個(gè)變量的嶺跡圖

估計(jì)值與實(shí)際值之間的對(duì)比圖如圖6所示．

圖6 模型3實(shí)際值與估計(jì)值對(duì)比

商品房年度銷售面積x1與廣義貨幣x2兩個(gè)變量與全國(guó)商品房平均銷售價(jià)格呈正相關(guān)．恩格爾系數(shù)x9、鄉(xiāng)村人口x10與全國(guó)商品房平均銷售價(jià)格呈負(fù)相關(guān)．其中，銷售面積之所以逐年增長(zhǎng)，是由于我國(guó)人民生活水平提高、對(duì)大面積住房的需求等多種因素所導(dǎo)致的．我國(guó)現(xiàn)階段樓盤大戶型越來越多，并且大部分地區(qū)戶型越大房?jī)r(jià)越高．這說明市場(chǎng)需求量在增加，故銷售面積的增加導(dǎo)致了房?jī)r(jià)的增加．人口的增長(zhǎng)也會(huì)導(dǎo)致房地產(chǎn)需求的增加，房?jī)r(jià)的提高在預(yù)期之內(nèi)．但城鎮(zhèn)人口占全國(guó)人口比重較低，其生活水平卻過高，對(duì)于房?jī)r(jià)的影響雖然顯著，但卻不符合常理．故選用更能接近全國(guó)平均消費(fèi)水平的鄉(xiāng)村人口作為變量研究，并且得到了很好的結(jié)果．

廣義貨幣的增加，說明人們的購(gòu)買力越來越強(qiáng)，增加了市場(chǎng)需求，從而引發(fā)了房?jī)r(jià)的上漲．隨著生活水平的提高和時(shí)代的進(jìn)步，人們的追求不僅限于房產(chǎn)，支配所擁有的財(cái)產(chǎn)的方式也越來越多．廣義貨幣的變動(dòng)也是國(guó)家貨幣政策的間接體現(xiàn)，從屬于貨幣政策的利率政策、貸款政策以及公開市場(chǎng)業(yè)務(wù)都對(duì)廣義貨幣x2有著顯著的影響．該變量將國(guó)家政策間接、細(xì)致地體現(xiàn)于每一年的數(shù)據(jù)當(dāng)中．模型中x2的系數(shù)β2較大也驗(yàn)證了國(guó)家政策對(duì)房?jī)r(jià)有著一定程度的影響．

由于模型1中x10與y呈正相關(guān)，模型2依然存在多重共線性，故選擇模型3作為最終模型．

2 期權(quán)分析

2.1 模型及假設(shè)

根據(jù)上述模型得到：

假設(shè)Xi為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，dXi(t)=μiXi(t)dt+σiXi(t)dBi(t)，初值為Xi(0)，其中{Bi(t),t≥0}為布朗運(yùn)動(dòng)，μi>0,σi>0，i=1,2,3,4，(B1(t)B2(t)B3(t)B4(t))T為4維相關(guān)布朗運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)i≠j時(shí)，相關(guān)系數(shù)ρij=ρBi(t)Bj(t),ρii=1．Y(t)表示全國(guó)商品房平均銷售價(jià)格,Xi表示影響Y(t)的變量．

命題1在引理1的假設(shè)下，Y(t)為幾何布朗運(yùn)動(dòng)．

于是Y(t)=Y(0)eμt+σW(t)．

□

2.2 房地產(chǎn)價(jià)格的模擬

μ^i=1ΔtjlnFi(t)+12σ^2

其中

lnFi(t)1n∑nj=1lnFi(tj)=(μ^-12σ^2)Δtj.

代入歸一化后的數(shù)據(jù)，n=24，Δtj=1，j=1,2,…,

最終計(jì)算得出μ=0.010 657，σ=0.006 993，得到關(guān)于Y(t)的隨機(jī)微分方程：

dY(t)=0.010 657Y(t)dt+0.006 993Y(t)dB(t)

用Matlab軟件模擬計(jì)算100 000次并取均值，發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果較好(圖7)．其中1998年前后國(guó)際金融危機(jī)導(dǎo)致的房?jī)r(jià)增速緩慢輕微影響了擬合結(jié)果．

圖7 隨機(jī)微分模型的實(shí)際值與估計(jì)值對(duì)比

2.3 期權(quán)定價(jià)

設(shè)Y(0)為0時(shí)刻的房?jī)r(jià)，Y(t)為t時(shí)刻的房?jī)r(jià)，K為敲定價(jià)格，買入歐式看漲期權(quán)，收益(Y(t)-K)+，用C(t,Y(t))表示t時(shí)刻的期權(quán)[5]價(jià)值(t

首先考慮對(duì)沖思想，假設(shè)某人以全國(guó)房地產(chǎn)平均價(jià)格Y(t)購(gòu)買了Δt處房產(chǎn)，并將剩余的資金存入銀行，則得到如下資產(chǎn)組合：

dΠt=ΔtdY(t)+r(Xt-ΔtY(t))dt

根據(jù)本文假設(shè)及引理1的證明可知，全國(guó)房地產(chǎn)平均價(jià)格滿足如下隨機(jī)微分方程：

由期權(quán)定價(jià)基本定理[6]得

其中t∈[0,T]，Y(t)≥0．該方程即為Black-Scholes-Merton方程．假設(shè)該期權(quán)為歐式期權(quán)，則終值條件C(T,Y(t))=(Y(t)-K)+．Black-Scholes-Merton方程的解為

C(t,Y(t))=Y(t)N(d+(T-t,Y(t)))-Ke-r(T-t)N(d-(T-t,Y(t)))； 0≤t0

其中N是N(0,1)的分布函數(shù)，其中

3 結(jié) 語

本文所得的3個(gè)房地產(chǎn)價(jià)格模型各有各的特點(diǎn)，且擬合效果均達(dá)到預(yù)期效果，最終選取多元非線性模型作為最佳選擇．對(duì)房?jī)r(jià)這一實(shí)物期權(quán)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，其意義在于不但增加了房地產(chǎn)交易的多樣性，對(duì)房地產(chǎn)行業(yè)的持續(xù)發(fā)展有所幫助，并且為購(gòu)買力較弱的居民提供了更大的選擇空間．

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Nonlinearregressionmodelandoptionanalysisofrealestateprice

FENG Jinghai*, ZHU Junqiao

( School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

Based on macro-micro economics, a national average real estate price model is established by selecting several variables which may affect real estate price according to the data of National Bureau of Statistics website. By using R language, multiple linear regression analysis, multiple nonlinear regression analysis, correlation analysis, multicollinearity analysis, ridge regression analysis are used, and a number of linear and nonlinear models are obtained and compared with each other. Combined with the stochastic differential equation and real option, and some relevant knowledge of financial mathematics, the theoretical deduction, practical estimate of real estate model and pricing of real estate price option are carried out. A lot of simulations are carried out by using Matlab to get a good result.

real option; real estate price model; stochastic differential equation

1000-8608(2017)05-0545-06

2017-01-08；

2017-07-20．

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371077，11571058)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(DUT15LK19).

馮敬海*(1970-)，男，教授，碩士生導(dǎo)師，E-mail:physics_7@163.com；朱駿橋(1992-)，男，碩士，E-mail:zjqqq1018@126.com.

O211.9

A

10.7511/dllgxb201705016