陳 東, 王芳貴, 胡 葵

( 1. 成都大學 信息科學與工程學院, 四川 成都 610106; 2. 四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066; 3. 西南科技大學 理學院, 四川 綿陽 621010)

G-內射模的直和與G-平坦模的直積問題

陳 東1, 王芳貴2*, 胡 葵3

( 1. 成都大學 信息科學與工程學院, 四川 成都 610106; 2. 四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066; 3. 西南科技大學 理學院, 四川 綿陽 621010)

證明在Artin環(huán)上,G-內射模的直和是G-內射模,G-平坦模的直積是G-平坦模.進一步證明在Noether環(huán)R上,若每個R-模的G-內射維數(shù)有限,則G-內射模關于直和封閉;在凝聚環(huán)R上,若每個R-模的G-平坦維數(shù)有限,則G-平坦模關于直積封閉.

G-內射模; G-平坦模; Noether環(huán); 直和; 直積

1 預備知識

1969年,M. Auslander等[1]首先對Noether環(huán)上的有限生成模引入了G-維數(shù)為零的模.1995年,E. E. Enochs等[2]把這一概念推廣到任意環(huán)和非有限生成模上,于是得到所謂的Gorenstein投射模的概念,同時也引入了Gorenstein內射模的概念.設M是R-模,若存在內射R-模的正合列

E:=…→E1→E0→E0→E1→…,

(1)

F:=…→F1→F0→F0→F1→…,

(2)

使得M≌(F0→F0),且對任意內射R-模I,該正合列在函子I?-的作用下仍是正合的.正合列(2)也叫做M的全平坦分解.2007年,D.Bennis等[4]又引入了強G-投射模、強G-內射模和強G-平坦模.模M稱為強G-內射模,是指存在正合列0→M→E→M→0,其中E是內射模,使得對任何內射模I,誘導序列0→HomR(I,M)→HomR(I,E)→HomR(I,M)→0仍是正合列;模M稱為強G-平坦模,是指存在正合列0→M→F→M→0,其中F是平坦模,使得對任何內射模I,誘導序列0→I?RM→I?RF→I?RM→0仍是正合列.內射模(或平坦模)是強G-內射模(或強G-平坦模),強G-內射模(或強G-平坦模)是G-內射模(或G-平坦模).像經(jīng)典的同調理論那樣,文獻[5-7]先后引入了模M的G-投射維數(shù)(G-pdRM)、G-內射維數(shù)(G-idRM)和G-平坦維數(shù)(G-fdRM),這里不作贅述.

由Cartan-Eilenberg定理,環(huán)R是Noether環(huán)當且僅當內射R-模的直和是內射模;由Chase定理,環(huán)R是凝聚環(huán)當且僅當平坦R-模的直積是平坦模.人們自然要問,G-內射模的直和是G-內射模是否還是Noether環(huán)的刻畫?相應地,G-平坦模的直積是G-平坦模是否還是凝聚環(huán)的刻畫?

2011年,L.W.Christensen等[8]證明了G-內射模的直和是G-內射模的環(huán)是Noether環(huán);然而對其逆命題(即Noether環(huán)上G-內射模的直和,以及凝聚環(huán)上G-平坦模的直積問題)直接地證明就顯得十分困難.2006年,L.W.Christensen等[9]證明了若R是具有有限krull維數(shù)的Gorenstein環(huán)的同態(tài)像,則R上的每個G-內射模的直和是G-內射模,每個G-平坦模的直積也是G-平坦模.2009年,LiuZ.K. 等[10]證明了左Artin環(huán)上,若每個單模的內射包有限生成,則每個G-平坦模的直積也是G-平坦模.2011年,D.Murfet等[11]證明了在Noether環(huán)R上,若對每個非極大的素理想p,Rp是Gorenstein環(huán),則G-平坦模的直積也是G-平坦模.本文證明了在交換Artin環(huán)上,G-內射模的直和是G-內射模,進一步證明了G-平坦模的直積也是G-平坦模;還證明了在Noether環(huán)R上,若每個R-模的G-內射維數(shù)有限,則G-內射模的直和是G-內射模;在凝聚環(huán)R上,若每個R-模的G-平坦維數(shù)有限,則G-平坦模的直積也是G-平坦模.

本文恒設R是交換環(huán),模均指R-模,E(M)表示模M的內射包.gl.dim(R)表示R的整體維數(shù),w.gl.dim(R)表示R的弱整體維數(shù),idRM與fdRM分別表示R-模M的內射維數(shù)與平坦維數(shù).

2 主要結果

首先討論在一類特殊的Noether環(huán)(Artin環(huán))上,G-內射模的直和與G-平坦模的直積問題.為討論方便,需要有如下2個引理:

引理 1[12]設R是Noether環(huán),E是非零的內射模;則E可以分解為不可分解內射模的直和,且每一不可分解的內射?？梢员硎緸镋(R/p),其中p是R的素理想.

引理 2[13]設R是Noether局部環(huán);則R有非零的有限生成內射模當且僅當R是Artin環(huán),當且僅當dim(R)=0.

命題 3 設R是Artin環(huán),E是非零的內射模;則E可以分解為有限生成內射模的直和.

證明 由文獻[14],Artin環(huán)可以分解為有限個Artin局部環(huán)的直積.記R=R1×R2…×Rs,其中R1,R2,…,Rs都是Artin局部環(huán).于是有E=E1×E2×…×Es,其中Ei是內射Ri-模.故不妨設R是Artin局部環(huán),其唯一素理想為m.由引理1,E是一些E(R/m)的直和.由引理2,R有有限生成的內射模E0.自然地,E0是有限個E(R/m)的直和,故E(R/m)一定是有限生成的,于是得到E是有限生成內射模的直和.

以下定理討論Artin環(huán)上G-內射模的直和問題.

E:=…→E1→E0→E0→E1→…,

⊕E:=…→⊕E1→⊕E0→⊕E0→⊕E1→….

由于Mi是G-內射模,故對任何下標i和j,有

于是得到

將看到,Artin環(huán)上G-平坦模的直積仍然是G-平坦模.

F:=…→F1→F0→F0→F1→…,

∏F:=…→∏F1→

∏F0→∏F0→∏F1→…,

由于Mi是G-平坦模,故對任何下標i和j,有

于是得到

對于Noether環(huán)上G-內射模的直和問題,以及凝聚環(huán)上G-平坦模的直積問題,討論起來很困難,至今未完全解決.2011年,文獻[8]把它作為公開問題.近年來,許多學者對該問題給了部分證明,參見文獻[9,11].下面討論Noether環(huán)上G-內射模的直和及凝聚環(huán)上G-平坦模的直積是否封閉,為討論方便,需引入一些概念.2013年,GaoZ.H.[15]引入了泛G-內射模的概念.模M稱為泛G-內射模,是指M有全內射分解

E:=…→E1→E0→E0→E1→…,

(3)

使得M≌ker(E0→E0).相應地,文獻[15]還引入了泛G-平坦模的概念.模M稱為泛G-平坦模,是指M有全平坦分解

F:=…→F1→F0→F0→F1→…,

(4)

使得M≌ker(F0→F0).自然地,G-內射模是泛G-內射模,G-平坦模是泛G-平坦模.

定義 6 設M是R-模.

1) 若有正合列0→M→E→M→0,其中E是內射模,則M稱為強泛G-內射模.

2) 若有正合列0→M→F→M→0,其中F是平坦模,則M稱為強泛G-平坦模.

顯然,強G-內射模是強泛G-內射模,強泛G-內射模是泛G-內射模;強G-平坦模是強泛G-平坦模,強泛G-平坦模是泛G-平坦模.容易看到,M是強G-內射模當且僅當M既是G-內射模,又是強泛G-內射模;M是強G-平坦模當且僅當M既是G-平坦模,又是強泛G-平坦模.以下定理,討論強泛G-內射模的直和與強泛G-平坦模的直積問題.

定理 7 若R是Noether環(huán),則強泛G-內射模的直和是強泛G-內射模;若R是凝聚環(huán),則強泛G-平坦模的直積是強泛G-平坦模.

證明 設M是強泛G-內射模,故存在以下內射模的正合列

使得M≌ker(f).由R是Noether環(huán),從而⊕E也是內射模,故又有正合列

使得⊕M≌ker(f′),其中Mi=M.因此,強泛G-內射模的直和是強泛G-內射模.同理,也可以證明在凝聚環(huán)上,強泛G-平坦模的直積是強泛G-平坦模.

引理 8 1) 若每個R-模有有限的G-內射維數(shù),則強泛G-內射模是強G-內射模.

2) 若每個R-模有有限的G-平坦維數(shù),則強泛G-平坦模是強G-平坦模.

證明 1) 設M是強泛G-內射模,故有正合列0→M→E→M→0,其中E是內射模.設G-idRM=n,拼接該正合列n次,得到正合列

0→M→E1→E2→…→En-1→En→M→0,

其中每個Ei=E.于是有M是G-內射模.故得到M是強G-內射模.

2) 設M是強泛G-平坦模,故有正合列0→M→F→M→0,其中F是平坦模.設G-fdRM=n,拼接該正合列n次,得到正合列

0→M→F1→F2→…→Fn-1→Fn→M→0,

其中每個Fi=F.于是有M是G-平坦模.故得到M是強G-平坦模.

證明 由文獻[4]的定理3.5,G-平坦模是強G-平坦模的直和加項,故可設Qi=Mi⊕Ni,其中Qi是強G-平坦模.于是

設0→Mi→Fi→Mi→0是正合列,其中Fi是平坦模.于是有正合列

用類似的方法可以證明:

證明 由文獻[4]的定理2.7,G-內射模是強G-內射模的直和加項,故可設Qi=Mi⊕Ni,其中Qi是強G-內射模.于是

設0→Mi→Ei→Mi→0是正合列,其中Ei是內射模.于是有正合列

近年來,Gorenstein環(huán)在研究Gorenstein理論中受到廣泛的關注.一個環(huán)R稱為Gorenstein環(huán),是指R是Noether環(huán),且R的自內射維數(shù)有限(idRR<∞).環(huán)R稱為n-Gorenstein環(huán),是指R是Noether環(huán),且R的自內射維數(shù)不超過n,其中n≥0.特別地,QF環(huán)就是0-Gorenstein環(huán).

推論 11 設R是n-Gorenstein環(huán),則每個G-內射模的直和是G-內射模.

證明 由文獻[16]的定理12.3.1,n-Gorenstein環(huán)上每個R-模M的G-內射維數(shù)有限(G-idRM≤n),再由定理10,G-內射模的直和是G-內射模.

1996年,Din N. Q.等[17]引入了n-FC環(huán)的概念.一個環(huán)R稱為n-FC環(huán),是指R是凝聚環(huán),且R的自FP內射維數(shù)小于等于n(FP-idRR≤n).特別地,0-FC環(huán)稱為FC環(huán),FC環(huán)也是IF環(huán).文獻[17]同時證明了環(huán)R是FC環(huán)當且僅當每個R-模是G-平坦模.2013年,Gao Z. H.[15]證明了環(huán)R是FC環(huán)當且僅當每個R-模是泛G-平坦模.

推論 12 設R是n-FC環(huán),則每個G-平坦模的直積是G-平坦模.

證明 由文獻[17]的定理7,n-FC環(huán)上每個R-模M的G-平坦維數(shù)有限(G-fdRM≤n),再由定理9,G-平坦模的直積是G-平坦模.

由G-內射模的定義知,每個內射模都是G-內射模,反之,G-內射模不一定是內射模.由文獻[5]知,對任意的G-內射模M,M是內射模當且僅當idRM<∞.下面給出G-內射模是內射模的一個充分條件.同時可以看到,在這個條件下,每個G-平坦模也是平坦模.

定理 13 1) 設M是G-內射模,若對R的任意非零理想I,有idRR/I<∞,則M是內射模.

2) 設M是G-平坦模,若對R的任意非零理想I,有idRR/I<∞,則M是平坦模.

容易看到,在定理13條件下,有Noether環(huán)上每個G-內射模的直和是G-內射模,凝聚環(huán)上每個G-平坦模的直積是G-平坦模.

[1] AUSLANDER M, BRIDGER M. Stable Module Theory[M]. Providence RI:Am Math Soc,1969,94(94):1-146.

[2] ENOCHS E E, JENDA O M G. Gorenstein injective and projective modules[J]. Math Z,1995,220(1):611-633.

[3] ENOCHS E E, JENDA O M G, TORRECILLAS B. Gorenstein flat modules[J]. 南京大學學報數(shù)學(半年刊),1993,10(1):1-9.

[4] BENNIS D, MAHDOU N. Strongly Gorenstein projective, injective and flat modules[J]. J Pure Appl Algebra,2007,210(2):437-445.

[5] HOLM H. Gorenstein homological dimensions[J]. J Pure Appl Algebra,2004,189(1):167-193.

[6] HOLM H. Rings with finite Gorenstein injective dimension[J]. Proc Am Math,2004,132(5):1279-1283.

[7] BENNIS D, MAHDOU N. Global Gorenstein dimensions[J]. Proc Am Math,2010,138(2):461-465.

[8] CHRISTENSEN L W, FOXBY H B, HOLM H. Beyond totally reflexive modules and back[C]. FONTANA M, KABBAJ S E, OLBERDING B, et al. Commutative Algebra. New York:Springer-Velarg,2011:101-143.

[9] CHRISTENSEN L W, FOXBY H B, HOLM H. On Gorenstein projective, injective and flat dimensions:a functorial description with applications[J]. J Algebra,2004,302(1):231-279.

[10] LIU Z K, YANG X Y. Gorenstein projective, injective and flat modules[J]. J Aust Math,2009,87(3):395-407.

[11] MURFET D, SALARIAN S. Totally acyclic complexes over Noetherian schemes[J]. Adv Math,2011,226(2):1096-1133.

[12] MATLIS E. Injective modules over Noetherian rings[J]. Pac J Math,1958,8(3):512-528.

[13] FAITH C, WALKER E A. Direct-sum representations of injective modules[J]. J Algebra,1967,5(2):203-221.

[14] 王芳貴. 交換環(huán)與星型算子理論[M]. 北京:科學出版社,2006.

[15] GAO Z H. Weak Gorenstein projective,injective and flat modules[J]. J Algebra Appl,2013,12(2):961-973.

[16] ENOCHS E E, JENDA O M G. Relative Homological Algebra[M]. Berlin:Walter De Gruyter,2000.

[17] DING N Q, CHEN J L. Coherent rings with finite self-FP-injective dimension[J]. Commun Algebra,1996,24(9):2963-2980.

2010 MSC:13E10

(編輯 余 毅)

The Problems on the Direct Sum of G-injective Modules and the Direct Product of G-flat Modules

CHEN Dong1, WANG Fanggui2, HU Kui3

(1.CollegeofInformationScienceandEngineering,ChengduUniversity,Chengdu610106,Sichuan; 2.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan; 3.CollegeofScience,SouthwestUniversityofScienceandTechnology,Mianyang621010,Sichuan)

It is proved that, over Artinian rings, the direct sum of Gorenstein injective modules is still Gorenstein injective and the direct product of Gorenstein flat modules is still Gorenstein flat. Moreover, it is proved that, if R is a noetherian ring on which every R-module has finite Gorenstein injective dimension, the class of Gorenstein injective modules is closed under arbitrary direct sums, and if R is a coherent ring on which every R-module has finite Gorenstein flat dimension, the class of Gorenstein flat modules is closed under arbitrary direct products.

G-injective module; G-flat module; Noetherian ring; direct sum; direct product

2016-12-21

國家自然科學基金(11671283)和教育部博士點專項科研基金(20125134110002)

O154

A

1001-8395(2017)04-0486-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.010

*通信作者簡介:王芳貴(1955—),男,教授,主要從事交換代數(shù)、同調代數(shù)與代數(shù)K-理論的研究,E-mail:wangfg2004@163.com