陳彥暉，劉 斌

(上海海事大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，上海 201306)

基于廣義等高線的灰色波形預(yù)測模型及其應(yīng)用

陳彥暉，劉 斌

(上海海事大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，上海 201306)

本文針對波動性上升或下降的時間序列,提出了一類基于廣義等高線的灰色波形預(yù)測模型。該模型通過擬合帶時間趨勢項的最小二乘估計確定等高線斜率，并基于此斜率在原始數(shù)據(jù)序列最小值和最大值之間選取一系列平行直線作為廣義等高線，進(jìn)而對等高時刻序列各元素橫坐標(biāo)進(jìn)行GM(1,1)建模和預(yù)測。通過對我國民航客運量及近期原油價格的預(yù)測對模型進(jìn)行檢驗，本文得出基于廣義等高線的灰色波形預(yù)測模型能夠?qū)崿F(xiàn)對波動性上升和下降的時間序列的預(yù)測，并提高了灰色波形預(yù)測模型預(yù)測此類數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。此外，由于灰色波形預(yù)測模型所需樣本量較小，本文提出的模型有助于對新興事物發(fā)展變化的預(yù)測。

灰色波形預(yù)測；廣義等高線；民航客運量；原油價格

1 引言

灰色系統(tǒng)預(yù)測是灰色系統(tǒng)理論研究中的一個重要領(lǐng)域，其主要方法是使用GM(1,N)模型或其擴(kuò)展形式對時間序列的變化規(guī)律進(jìn)行建模，從而對時間序列未來的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測。由于灰色系統(tǒng)預(yù)測模型具有建模所需數(shù)據(jù)小、不必考慮數(shù)據(jù)的分布等特點[1-3]，因此受到了眾多學(xué)者的青睞。例如吳振信和石佳[4]利用GM(1,1)模型預(yù)測了北京市的碳排放強(qiáng)度；花玲和謝乃明[5]考慮了政策沖擊的影響并利用灰色GM(1,1)模型對中國能源消費總量和單位GDP能耗進(jìn)行了模擬和預(yù)測；Wei Jiuchang和 Zhou Lei等[6]運用GM(1,1)模型預(yù)測了中國大陸高速交通事故，鐵路交通事故，礦山生產(chǎn)事故等生產(chǎn)事故的傷亡人數(shù)；錢吳永和黨耀國等人[7]構(gòu)建了含時間冪次項的灰色GM(1,1,t～α)模型,并對某沿海高速的軟土地基沉降進(jìn)行了擬合與預(yù)測；劉解放和劉思峰等人[8]提出了反向累加NHGM(1,1,k)模型，并對在研武器裝備的可靠度進(jìn)行預(yù)測；楊保華和趙金帥[9]運用離散灰色冪模型對中國網(wǎng)絡(luò)購物人數(shù)進(jìn)行預(yù)測。

然而由于GM(1,N)模型只適用于單調(diào)變化的時間序列[1-2]，研究者根據(jù)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律又對GM(1,N)模型進(jìn)行了改進(jìn)。對于波動性的時間序列，豐景春和楊建基[10]提出了GM(1,1,sinω)模型，錢吳永和黨耀國[11]提出了GM(1,1)振蕩序列模型。前者用一組具有灰頻率參數(shù)的正弦項表示時間序列的擺動部分，建立一個含有灰頻率參數(shù)正弦項的一階灰差分方程，從而實現(xiàn)對具有波動性質(zhì)的時間序列的預(yù)測，而后者通過加速平移變換將振蕩序列變?yōu)閱握{(diào)增加序列，然后再對加速平移變換后的序列進(jìn)行加權(quán)均值生成變換,再以加權(quán)均值生成變換得到的序列建立GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測。但是GM(1,1,sinω)模型和GM(1,1)振蕩序列模型的應(yīng)用研究卻十分局限，只有郭立春和吳偉等[12]應(yīng)用GM(1,1,sinω)模型預(yù)測沈陽市腎綜合征出血熱的流行趨勢，而GM(1,1)振蕩序列模型也只是通過算例進(jìn)行了有效性檢驗。這兩種模型均使用了精密了的數(shù)學(xué)理論，因此在應(yīng)用方面較難被人掌握。此外，這兩種模型僅適用于波動序列，對于具備增長趨勢或下降趨勢的波動序列的預(yù)測問題，這兩種模型依舊未能解決。

灰色波形預(yù)測就是灰色系統(tǒng)理論中針對周期性波動序列而提出的一種預(yù)測方法，它以數(shù)據(jù)序列波動圖形為基礎(chǔ)進(jìn)行預(yù)測，因而又稱灰色圖形預(yù)測或灰色拓?fù)漕A(yù)測。它從給定的一系列閾值出發(fā)，建立GM(1,1)群，利用多個GM(1,1)模型來對整個圖形的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測。該方法對頻頻波動且擺動幅度較大的時間序列的預(yù)測取得了良好的效果，如文獻(xiàn)[13-15]等?；疑ㄐ晤A(yù)測同時還具備灰色預(yù)測模型的一般優(yōu)勢，即運用較少的樣本數(shù)據(jù)對時間序列進(jìn)行中長期預(yù)測。如樊瑋和張沂華等人[15]采用了36個數(shù)據(jù)來建立預(yù)測模型，10個數(shù)據(jù)來檢測模型的預(yù)測效果。此外，灰色波形預(yù)測建模直觀，不涉及精密的數(shù)學(xué)理論，在運用上較GM(1,1, sinω)模型和GM(1,1)振蕩模型易被掌握。但是，對灰色波形預(yù)測模型的改進(jìn)研究依然十分有限，過往研究中只有Wan Qin等[16]和陳彥暉[17]對于波動幅度不規(guī)律的時間序列提出了灰色波形預(yù)測模型的改進(jìn)方法。然而過往研究所使用的數(shù)據(jù)在波動時并無明顯的上升或下降趨勢，因此針對隨時間增長的周期性波動序列需要對現(xiàn)有灰色波形預(yù)測模型做進(jìn)一步改進(jìn)。

本文針對波動性上升或下降的時間序列提出了基于廣義等高線的灰色波形預(yù)測模型。本文的創(chuàng)新點在于拓展了等高線的概念并提出通過擬合一個含簡單趨勢參數(shù)的普通最小二乘估計確定廣義等高線的斜率。在廣義等高線截距的確定上，提出首先通過時間序列樣本區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值確定最高一條和最低一條廣義等高線，然后采取等間距的方式確定其余若干條廣義等高線。在應(yīng)用分析中，本文選用我國民航客運量的月數(shù)據(jù)和近期原油價格的日數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行檢驗。

2 模型構(gòu)建

灰色波形預(yù)測是對一個變化不規(guī)則的數(shù)據(jù)序列的整體發(fā)展進(jìn)行預(yù)測，通過對等高線與數(shù)據(jù)序列波動圖形折線的交點坐標(biāo)進(jìn)行GM(1,1)建模，一般在系統(tǒng)波動比較頻繁的情況下應(yīng)用。灰色波形預(yù)測模型主要通過等高線選取，確定等高時刻序列，對等高時刻序列進(jìn)行GM(1,1) 建模三個步驟完成[1]。其中，等高線的選取及等高時刻序列的確定也可以看作是對數(shù)據(jù)圖形信息的抓取過程。它們的原理就是得到等高線與數(shù)據(jù)圖形交點的信息，并找到其規(guī)律性。

2.1 選取廣義等高線

原有的灰色波形預(yù)測模型選取水平的等高線，該方法對周期性水平波動的數(shù)據(jù)具有較好的預(yù)測效果。然而，許多經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)上升性波動的態(tài)勢，如果要應(yīng)用灰色波形預(yù)測模型對預(yù)測該類數(shù)據(jù)的未來發(fā)展趨勢，就需要考慮數(shù)據(jù)的時間增長趨勢，而水平的等高線，無法刻畫數(shù)據(jù)的時間增長趨勢。因此對于波動性上升的數(shù)據(jù)，需要設(shè)置廣義的等高線來抓取數(shù)據(jù)圖形信息(如圖1所示)。

定義1:設(shè)原始序列為：X=(x(1),x(2),…,x(n))，則稱

xk=x(k)+(t-k)[x(k+1)-x(k)]

為序列X的第k～(k+1)段線段。其中k∈[1,n]且為整數(shù)，t∈[k,k+1]為一未知參數(shù)。

稱：

{xk=x(k)+(t-k)[x(k+1)-x(k)]|k=1,2,…,n-1}

為序列X的折線，仍記為X，即：

X={xk=x(k)+(t-k)[x(k+1)-x(k)]|k=1,2,…,n-1}

定義2(廣義等高線的斜率)：設(shè)原始序列為：X=(x(1),x(2),…,x(n))，擬合一個含時間趨勢參數(shù)的線性回歸方程：

x(k)=a0+a1k+εt

圖1 無時間趨勢項和有時間趨勢項的周期性波動序列

其中εk是白噪聲過程，k∈[1,n]且為整數(shù)。則稱a1為廣義等高線的斜率。

定義3(廣義等高線)：設(shè)原始序列的最大值最小值分別為x(i)和x(j)，且i≠j。

1o原始序列最低和最高一條等高線分別為ξ0=α0+a1k，ξs=αs+a1k，其中α0=x(i)-a1i，αs=x(j)-a1j。

2o令ξ1=α0+(αs-α0)/s+a1k，ξ2=α0+2(αs-α0)/s+a1k，……，ξs-1=α0+(s-1)(αs-α0)/s+a1k。則稱(ξ0,ξ1,ξ2,…,ξs-1,ξs)所確定的斜線為原始數(shù)據(jù)的s+1條廣義等高線。

2.2 確定廣義等高時刻序列

確定等高時刻序列時應(yīng)根據(jù)上節(jié)所確定的等高線，按時間先后順序進(jìn)行。

定義4(廣義等高點)：稱方程組

的解為(tl,x(tl))(l=1,2,……)為ξi-廣義等高點。ξi-廣義等高點是折線X與ξi-等高線的交點。

命題1：若X的第(k)～(k+1)段折線上有ξi-廣義等高點，則其坐標(biāo)為；

證明：第t～(t+1)段折線的方程為：

xk=x(k)+(t-k)[x(k+1)-x(k)]

聯(lián)立

令

ξi(k)=αi+a1k，ξi(k+1)=αi+a1(k+1)

可得：

αi=ξi(k)-a1k，a1=ξi(k+1)-ξi(k)

代入聯(lián)立方程組可解得X的第(k)～(k+1)段折線與ξi-廣義等高線交點的橫坐標(biāo)為：

定義5(廣義等高時刻序列)：設(shè)Xξi=(P1,P2,…,Pmi)為ξi-廣義等高點序列，其中Pj位于第kj～(kj+1)段折線上，Pj點的坐標(biāo)為：

令：

j=1,2,…,m

2.3 GM(1,1)建模與預(yù)測

GM(1,1)建模需要至少四個數(shù)據(jù)才能完成[18, 19]。因此，在灰色波形預(yù)測方法中，對4個及4個以上元素的等高時刻序列進(jìn)行GM(1,1)建模。

命題2：設(shè)

為ξi等高時刻序列的GM(1,1)預(yù)測值。刪去所有等高時刻序列中的無效預(yù)測時刻[1]，并將其余的預(yù)測值從小到大重新排序，設(shè)該序列為：

3 應(yīng)用分析

3.1 對上升趨勢預(yù)測：以民航客運量的預(yù)測為例

自上世紀(jì)90年代以來我國一直處于經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的階段，民航運輸客運量一直處于穩(wěn)定增長的階段，但由于季節(jié)性影響，這類數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出波動性上漲的形態(tài)[20]。本文選取2011年1月到2015年2月我國民航客運量的月度數(shù)據(jù)進(jìn)行實證檢驗。

圖2 2011年1月到2015年2月我國民航客運量的月數(shù)據(jù)

如圖1所示，在此期間我國民航客運量呈現(xiàn)明顯的季節(jié)性波動上升趨勢，符合本文所提模型的使用條件。

本文將2011年1月到2015年2月共50個觀測值分為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)和樣本外數(shù)據(jù)兩部分，其中樣本內(nèi)數(shù)據(jù)36條(2011年1月到2013年12月)，用于確定等高線、等高時刻序列及進(jìn)行GM(1,1)建模；樣本外數(shù)據(jù)14條(2014年1月到2015年2月)，通過進(jìn)行14步預(yù)測的方式，對我國民航客運量的月數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。此外，本文全部的實證檢驗均通過MatlabR2010a編程計算得到。

依據(jù)灰色波形預(yù)測方法的步驟，本節(jié)首先進(jìn)行等高線的選取，當(dāng)s=9時，民航客運量的10條等高線方程的斜率為22.25，常數(shù)項分別為(α0,α1,…,α9)=(2118.50，2190.22，2261.94，2333.66，2405.39，2477.11，2548.83，2620.55，2692.27，2763.99)。等高線的分布如圖2所示。

圖3 廣義等高線選取(2011年1月到2013年12月)

由低到高確定十個等高時刻序列，分別如下：

預(yù)測精度如表1所示。

3.2 對下降趨勢預(yù)測：以近期原油價格的預(yù)測為例

自2014年下半年以來，由于投資者對全球經(jīng)濟(jì)放緩的擔(dān)心，加之頁巖油氣的異軍突起及歐佩克組織的未就減產(chǎn)達(dá)成一致意見，世界原油價格一直處于波動性下跌的走勢[21]。2015年下半年以來，由于全球經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇低于預(yù)期，且受2015年冬天暖冬影響，美國原油庫存遲遲難以消化[22]，這使得世界原油價格依然有下降趨勢(如圖4所示)。

圖4 2014年7月1日到2015年12月28日的WTI價格

為了驗證基于廣義等高線的灰色預(yù)測模型同樣適用于波動性下降的時間序列數(shù)據(jù)，本節(jié)采用2014年7月以來的美國西德克薩斯輕質(zhì)原油(WTI)進(jìn)行測試。在測試過程中本文采取20步預(yù)測的方式進(jìn)行預(yù)測。此外本節(jié)采取數(shù)據(jù)不斷向前推移的方式進(jìn)行了15組共計300個測試點。預(yù)測精度如表1所示。

3.3 預(yù)測結(jié)果比較

為了驗證本文提出的模型的優(yōu)越性，本文選用基于水平等高線的灰色波形預(yù)測模型作為對照模型，為了提高預(yù)測精度，本文在建立GM(1,1)模型群之前，采取參考文獻(xiàn)[17]的方法對等高時刻序列進(jìn)行篩選，僅對合格的等高時刻序列進(jìn)行預(yù)測。此外，本文還選取去時間趨勢的ARMA模型作為對照模型。在對預(yù)測精度的比較方面，本文選取了均方根誤差(Root Mean Squared Error，RMSE)、泰爾不平等系數(shù)(Theil’s inequality coefficient，TIC)和平均絕對誤差百分比(Mean Absolute Percentage Error，MAPE)對三種模型進(jìn)行比較。三種模型對我國民航客運量月數(shù)據(jù)和近期原油價格的預(yù)測精度比較如表1所示。通過對MSE、TIC和MAPE的比較可以得出，基于廣義等高線的灰色波形預(yù)測模型明顯優(yōu)于基于水平等高線的灰色波形預(yù)測模型。此外，基于廣義等高線的灰色波形預(yù)測模型也優(yōu)于去時間趨勢項的ARMA模型。過往研究中，曾有學(xué)者使用季節(jié)調(diào)整的ARMA模型對民航客運量進(jìn)行預(yù)測，由于實證研究得出對民航客運量預(yù)測時，季節(jié)調(diào)整項的階數(shù)為12[20]，這也就意味著季節(jié)調(diào)整的ARMA模型需要至少40條樣本內(nèi)數(shù)據(jù)才能擬合參數(shù)。由此可見，灰色系統(tǒng)預(yù)測方法可基于較少的樣本容量對事物的未來變化趨勢進(jìn)行預(yù)測的優(yōu)勢在灰色波形預(yù)測模型中也得到了體現(xiàn)。

表1 預(yù)測精度比較

4 結(jié)語

針對波動性增長的時間序列的預(yù)測問題，本文通過引入時間趨勢項，提出了基于廣義等高線的灰色波形預(yù)測模型。本文通過擬合帶時間趨勢項的最小二乘估計確定廣義等高線的斜率，通過選取原始序列最大值和最小值，確定最低一條和最高一條廣義等高線的常數(shù)項，然后選取這兩個常數(shù)項間的平均數(shù)作為其余s-1條廣義等高線的常數(shù)項。最后，通過對我國民航客運量的預(yù)測進(jìn)行實證檢驗，本文得出，在對具有增長趨勢的波動性時間序列進(jìn)行預(yù)測時，基于廣義等高線的灰色波形預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果優(yōu)于原有的灰色波形預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果，也優(yōu)于去時間趨勢的ARMA模型。此外，由于灰色波形預(yù)測模型預(yù)測時不需要像季節(jié)調(diào)整的ARMA模型一樣需要大量的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)才能確定模型參數(shù)，這對新興事物的發(fā)展變化預(yù)測起到了積極的幫助作用。

[1] 劉思峰，黨耀國，方志耕，等. 灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2010.

[2] Liu Sifeng， Lin Yi. Grey systems: Theory and applications[M]. Berlin,Germang:Springer Science & Business Media, 2010.

[3] Deng Julong. Introduction to grey system theory[J]. The Journal of Grey System, 1989, 1(1): 1-24.

[4] 吳振信, 石佳. 基于STIRPAT和GM(1,1)模型的北京能源碳排放影響因素分析及趨勢預(yù)測[J]. 中國管理科學(xué), 2012,20(S2): 803-809.

[5] 花玲, 謝乃明. 政策沖擊影響下中國能源消費預(yù)測分析及控制策略[J]. 中國管理科學(xué), 2014,22(7): 18-25.

[6] Wei Jiuchang, Zhou Lei, Wang Fangfei, et al. Work safety evaluation in Mainland China using grey theory[J]. Applied Mathematical Modelling, 2015, 39(2): 924-933.

[7] 錢吳永, 黨耀國, 劉思峰. 含時間冪次項的灰色GM(1,1,t～α)模型及其應(yīng)用[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2012,32(10): 2247-2252.

[8] 劉解放, 劉思峰, 吳利豐, 等. 分?jǐn)?shù)階反向累加NHGM(1,1,k)模型及其應(yīng)用研究[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2016,36(4): 1033-1041.

[9] 楊保華, 趙金帥. 優(yōu)化離散灰色冪模型及其應(yīng)用[J]. 中國管理科學(xué), 2016,24(2): 162-168.

[10] 豐景春，楊建基. 水利水電工程項目質(zhì)量控制系統(tǒng)灰色擺動模型[J]. 河海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 1999, 27(5): 57-62.

[11] 錢吳永，黨耀國. 基于振蕩序列的GM(1,1)模型[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2009, 29(3): 149-154.

[12] 郭立春，吳偉，郭軍巧，等. 應(yīng)用灰色擺動模型預(yù)測沈陽市腎綜合征出血熱的流行趨勢[J]. 中國醫(yī)科大學(xué)學(xué)報, 2008, 37(6): 839-842.

[13] 陳可嘉，季平，劉思峰，等. 灰色波形預(yù)測在經(jīng)濟(jì)周期波動中的應(yīng)用[C].2006年灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用學(xué)術(shù)會議，中國北京，2006年10月.

[14] 欒珺. 基于灰色理論的上證指數(shù)預(yù)測研究[J]. 知識經(jīng)濟(jì), 2009, (13): 23.

[15] 樊瑋，張沂華，慈祥，等. 基于灰色拓?fù)漕A(yù)測的航班訂座需求預(yù)測模型[C].2010 Internation at Conference on Services Science,Management and Engineering,中國天津，2010年12月26日.

[16] Wan Qin，Wei Yong，Yang Xiongqiong. Research on grey wave forecasting model[M].Liu Sifeng,Lin Yi.Advances ingrey systems research,Berlin-Heidelberh:Springer-Verlay,2010.

[17] 陳彥暉. 波羅的海干散貨指數(shù)預(yù)測的非等間隔灰色波形預(yù)測方法[J]. 大連海事大學(xué)學(xué)報, 2015,41(4): 96-101.

[18] 劉思峰，黨耀國，方志耕，等. 灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社, 2008.

[19] 鄭彥. 民航客運量季節(jié)調(diào)整實證研究[J]. 山東理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2011, (01): 64-67+71.

[20] 徐建山, 朱穎超,孫依敏. 國際油價下跌原因辨析[J]. 國際經(jīng)濟(jì)合作, 2015,(2): 61-65.

[21] 大連商品交易所. 原油簡評：擔(dān)心暖冬油品庫存高企，國際油價繼續(xù)下跌[Z].(2015-10-27) http://www.dce.com.cn/portal/info?cid=1329986114100&iid=[2016-01-04].1445905468100&type=CMS.NEWS.

Grey Wave Forecasting Model with Generalized Contour Lines and its Application

CHEN Yan-hui, LIU Bin

(School of Economics and Management Shanghai Maritime University, Shanghai 201306,China)

In this paper, a modified grey wave forecasting model with generalized contour lines is proposed to forecast time series which is increasing (or decreasing) and fluctuating with time. The modified model identifies the slope of contour lines through a linear regression model with time trend and estimates the regression model with ordinary least square method. And then a set of parallel lines between the minimum and maximum values of original data series are chosen as the generalized contour lines. In the last step, GM(1,1) models are established based on the elements in generalized contour time sequences. In the empirical analysis, the proposed model is used to forecast Chinese airline passenger volume, which fluctuates with increasing trend and crude oil price, which fluctuates with decreasing trend in the past several months. The result indicates that grey wave forecasting model with generalized contour lines can improve the accuracy of grey wave forecasting model with horizontal contour lines. Also it is useful to forecast the development of emerging things, since it just uses relatively few sample data.

grey wave forecasting; generalized contour lines; airline passenger volume; crude oil price

1003-207(2017)08-0134-06

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.08.014

2015-06-29；

2016-01-05

國家自然科學(xué)基金資助項目(71571117,71201054);國家社會科學(xué)基金資助項目(11BJY110);上海市基礎(chǔ)研究重點項目(15590501800)

陳彥暉(1984-)，女(漢族)，山西臨縣人，上海海事大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院講師，研究方向：數(shù)量經(jīng)濟(jì)、預(yù)測方法、管理科學(xué)與工程，E-mail:chenyh@shmtu.edu.cn.

F224

A