王帥利

摘 要：小概率事件又稱不可能事件。由于其發(fā)生概率極低，使得用傳統(tǒng)的蒙特卡洛方法預(yù)測概率比較困難。因此，尋找新的估計(jì)方法變得十分必要。本文將交互粒子系統(tǒng)方法運(yùn)用于復(fù)雜系統(tǒng)的小概率事件概率估計(jì)中，為小概率事件的估計(jì)提供了新的思路。本文首先通過建模將小概率事件轉(zhuǎn)化為閾值問題，并利用馬爾科夫鏈對其進(jìn)行模擬。其次，本文采用目前比較熱門的交互粒子系統(tǒng)方法，對小概率事件進(jìn)行估計(jì)，并分析了篩選度與篩選步長對概率估計(jì)的影響，進(jìn)而進(jìn)行優(yōu)化。最后，本文比較了交互粒子系統(tǒng)方法與蒙特卡洛方法的效率和精度。

關(guān)鍵詞：小概率事件 蒙特卡洛方法 交互粒子系統(tǒng)

中圖分類號：TP39 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）07（b）-0014-02

Abstract：Rare event has a quite low occurrence probability so that its hardly estimated by Monte Carlo method. It is necessary to provide new algorithms. In this contribute， interacting particle systems （IPS） is applied， in which， trajectories with more possibility to reach target event are multiplied and the others are killed. The rare event is firstly modeled by threshold exceedance problem and then simulated by Markov process. Moreover， we noticed that the performance of IPS is related to two parameters， selection degree and selection distance. An optimization will also be studied by adjusting the two parameters. Finally， we compare this method with Monte Carlo method about the efficiency and accuracy.

Key Words：Rare event probability； Monte Carlo； Interacting particle systems

小概率事件的估計(jì)在可靠性工程與系統(tǒng)安全中被廣泛研究，并在金融[1]、航空交通管制[2]、電信網(wǎng)絡(luò)、高可靠性系統(tǒng)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。近年來，小概率事件經(jīng)常會導(dǎo)致一些毀滅性事故，如衛(wèi)星碰撞等，因而引起了眾多研究者的注意。一般來說，小概率事件發(fā)生的可能性甚至更小，這使得蒙特卡洛方法只有在進(jìn)行巨大數(shù)量的實(shí)驗(yàn)時才有效。否則小概率事件有很大的可能性不會發(fā)生，從而無法估計(jì)小概率事件發(fā)生的概率，因此探索一種新的模擬算法變得十分必要。交互粒子系統(tǒng)方法最早由Del Moral和Garnier提出[3]，后經(jīng)JeromeMorio等人不斷完善[4]。其主要原理是根據(jù)模擬的事件觸發(fā)小概率事件的可能性對粒子進(jìn)行重新采樣，從而加大小概率事件的出現(xiàn)概率，大大節(jié)約了計(jì)算成本。

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 小概率事件建模

復(fù)雜時變系統(tǒng)的輸出僅和剛剛發(fā)生的狀態(tài)有關(guān)?；谠摃r序性特征，可以用馬爾科夫過程來模擬動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)量。通常情況下，小概率事件可以理解為一個閾值問題，即當(dāng)系統(tǒng)輸出超過某個閾值時視為小概率事件發(fā)生。因此，小概率事件發(fā)生的概率可以表述為馬爾科夫鏈輸出值超過閾值 的軌跡數(shù)與所有軌跡數(shù)之比。

利用交互粒子系統(tǒng)方法對20000個粒子進(jìn)行仿真，預(yù)測的平均概率為2.3711×10-5。該估計(jì)概率與理論值非常接近，證明了該方法在少量實(shí)驗(yàn)次數(shù)的情況下仍然可以準(zhǔn)確地估計(jì)小概率事件的概率。

此外，通過仿真我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)α非常大時，所有的粒子都會超過閾值；相反地，如果α很小，則沒有粒子會超過閾值，小概率事件不會發(fā)生。因此篩選度α對概率預(yù)測有著重要的影響。此外，交互粒子系統(tǒng)的預(yù)測結(jié)果與篩選步長也有著緊密的聯(lián)系，即粒子篩選的時間間隔也極大地影響概率的估計(jì)。通過研究概率估計(jì)精度對不同篩選度和篩選步長下的變化，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)α≈0.32，=10.5時該小概率事件的相對誤差（相對誤差=（估計(jì)誤差-理論誤差）/理論誤差）最小。

最后，為了能夠定量地分析交互粒子系統(tǒng)方法的高效性。我們將其與經(jīng)典蒙特卡洛方法進(jìn)行了對比。我們分別用大小為20000、200000和2000000的樣本，利用蒙特卡洛方法和交互粒子系統(tǒng)方法對事件（1）進(jìn)行模擬，結(jié)果如表1所示。我們發(fā)現(xiàn)在同樣的樣本數(shù)下，交互粒子系統(tǒng)方法比蒙特卡羅方法的精度要高50倍。而且如果要保證相同精度，蒙特卡洛方法則需要高于交互粒子系統(tǒng)方法50倍的計(jì)算成本。

3 結(jié)語

本文運(yùn)用交互粒子系統(tǒng)方法對小概率事件進(jìn)行估計(jì)，結(jié)合馬爾科夫過程對小概率事件進(jìn)行建模與模擬，并將其模擬結(jié)果與蒙特卡洛方法進(jìn)行比較。從模擬結(jié)果來看，交互粒子系統(tǒng)方法的偏差較小，比蒙特卡洛方法效率更高，精度更好。因此，交互粒子系統(tǒng)方法在小概率事件估計(jì)中的研究具有重要的意義，此方法今后能在更多的領(lǐng)域當(dāng)中發(fā)揮重要的作用。

參考文獻(xiàn)

[1] P.Embrechts，C.Kluppelberg，T.Mikosch：Modeling extremal events：for insurance and finance[J].Springer Verlag，2011.

[2] M.Prandini，J.Hu，J.Lygeros et al.A probabilistic approach to aircraft conflict detection[J].Intelligent Transportation Systems，IEEE Transaction on，2000，1（4）：199-220.

[3] P.Del Moral，J.Garnier，Genealogical particle analysis of rare events[J].The Annals of Applied Probability，2006，15（4）：2496-2534.

[4] J Morio，M Balesdent.Estimation of Rare Event Probabilities in Complex Aerospace and Other Systems[Z].endprint