毛麗霞

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鉛酸電池剩余放電時(shí)間的研究

毛麗霞

（西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710016）

針對(duì)鉛酸電池的電壓與剩余放電時(shí)間之間的關(guān)系，建立了指數(shù)函數(shù)模型來模擬整個(gè)放電過程。為盡量降低MRE，該方法應(yīng)用大量實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ妥鰯?shù)據(jù)擬合的過程。首先，根據(jù) MRE 的定義選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù),利用MATLAB 軟件給出電壓與剩余放電時(shí)間之間的指數(shù)模型；其次，找出電壓與剩余放電時(shí)間模型的系數(shù)與電流之間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而得到電壓與剩余放電時(shí)間和電流之間的函數(shù)模型；最后，用逐步迭代法建立電壓與剩余放電時(shí)間和衰減狀態(tài)之間的函數(shù)模型。通過對(duì)模型精確度的評(píng)估證明用指數(shù)模型來模擬放電過程是合理的,MRE都控制在2%之內(nèi)。

指數(shù)模型； MRE； 逐步迭代

鉛酸電池的充放電過程是一個(gè)很復(fù)雜的化學(xué)過程，鉛酸電池的剩余放電時(shí)間與多種因素有關(guān)并成高度非線性，因此建立鉛酸電池剩余放電時(shí)間的模型是非常困難的。文獻(xiàn)［1-3］等對(duì)其進(jìn)行了研究，本文在此基礎(chǔ)上，根據(jù)2016“高教社杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)模競(jìng)賽C題提供的數(shù)據(jù)和要求，通過建立指數(shù)模型，對(duì)鉛酸電池放電過程進(jìn)行了具體研究。本研究可為鉛酸電池的使用者提供可靠的參考依據(jù)。

1 問題的提出

鉛酸電池作為電源被廣泛用于工業(yè)、軍事、日常生活中。在鉛酸電池以恒定電流強(qiáng)度放電過程中，電壓隨放電時(shí)間單調(diào)下降，直到額定的最低保護(hù)電壓（u=9V）。從充滿電開始放電，電壓隨時(shí)間變化的關(guān)系稱為放電曲線。電池在當(dāng)前負(fù)荷下還能供電多長(zhǎng)時(shí)間是使用中必須回答的問題.電池通過較長(zhǎng)時(shí)間使用或放置，充滿電后的荷電狀態(tài)會(huì)發(fā)生衰減。根據(jù)要求討論以下問題：

（1） 用初等函數(shù)表示電壓與放電時(shí)間之間的模型，并分別計(jì)算各放電曲線的MRE；最后，在新電池中，當(dāng)電壓為9.8 V時(shí)，分別計(jì)算出當(dāng)電流強(qiáng)度為30、40、50、60 A和70 A時(shí)電池的剩余放電時(shí)間。

（2） 當(dāng)恒定電流強(qiáng)度在20~100 A之間時(shí)，建立電壓與放電時(shí)間和電流強(qiáng)度之間的模型，并利用MRE對(duì)模型精度進(jìn)行評(píng)估；最后，利用圖表分別給出電流強(qiáng)度為55 A時(shí)的放電曲線。

（3） 建立電壓與放電時(shí)間和衰減狀態(tài)之間的模型，并預(yù)測(cè)同一電池在衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間。

2 電壓與剩余放電時(shí)間的模型

問題1主要想要得出不同電流下電壓與放電時(shí)間之間的關(guān)系，即放電曲線，并根據(jù)附件1中給出的數(shù)據(jù)驗(yàn)證所得放電曲線的優(yōu)劣，即求MRE,MRE越小說明我們建立的放電曲線與實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)越吻合.為了求出MRE，分為以下三步：

2.1 建立曲線方程

考慮到鉛酸蓄電池放電原理與電容器放電原理類似（圖1），根據(jù)電容器放電原理：

圖1 電路示意圖

當(dāng)開關(guān)閉合時(shí)，由基爾霍夫定律可知，一個(gè)回路電壓的代數(shù)和為零，即

式中：—電壓，V；

—電流, A；

圖2 各種電流對(duì)應(yīng)的電壓與放電時(shí)間散點(diǎn)圖

觀察圖2知，需先對(duì)（2）式的圖像做原點(diǎn)對(duì)稱變換后，再將這個(gè)函數(shù)圖像向上平移A個(gè)單位，則有

（2） 非線性回歸分析；在MATLAB軟件中建立M函數(shù)，并將（3）式定義為回歸方程式，將電流對(duì)應(yīng)的電壓作為因變量，將電壓對(duì)應(yīng)的放電時(shí)間作為自變量，進(jìn)行非線性回歸分析，擬合出（5）式的參數(shù)，從而得到各類電流對(duì)應(yīng)的放電曲線。

1（）=10.339-0.044 20.009t

2.2 選取電壓樣本點(diǎn)

當(dāng)=3時(shí)，3=2+0.005=9.003 8+0.005=9.008 5，但3=9.011 3＞9.008 5，則

從而3+=4=3=9.011 3；

當(dāng)=5時(shí)，5=4+0.005=9.011 3+0.005=9.016 5，但4=9.019 4＞9.016 5，則

從而5+=6=4=9.019 4。

表1 各電流對(duì)應(yīng)的電壓樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

2.3 求放電曲線的平均相對(duì)誤差

RE

MRE=（4）

表2 各電流對(duì)應(yīng)的放電曲線方程及MREn

表3 各電流對(duì)應(yīng)的剩余放電時(shí)間

由表3可以看出，電流越大，放電越快，電池剩余放電時(shí)間越短。

3 電壓與放電時(shí)間和電流強(qiáng)度的模型

問題1得到各電流對(duì)應(yīng)的9個(gè)放電曲線，問題2要求任意恒定電流下的放電曲線，實(shí)際上是將問題1中的特殊情況推廣到一般，建立電壓與放電時(shí)間和電流強(qiáng)度之間的模型.具體求解步驟如下：

（6）

其中，1=0.000 019 38,1=-0.001 4,1=0.060 04;

其中，2=-0.000 000 257,2=0.000 077 24,2=-0.000 58。

MRE

表4 各電流對(duì)應(yīng)的放電曲線的MRE

（）=10.306 8-0.041 70.0029t

4 電壓與放電時(shí)間和衰減狀態(tài)的模型

首先，用MATLAB做出三種狀態(tài)下電壓隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖如圖3所示，觀察發(fā)現(xiàn)電壓與時(shí)間還是基本滿足問題1中的指數(shù)模型.于是，任然用非線性回歸確定三種狀態(tài)下電壓隨時(shí)間關(guān)系。

圖3 電池在不同狀態(tài)下的時(shí)間與電壓的散點(diǎn)圖

其次，根據(jù)附件二收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中的nlinfit命令擬合指數(shù)模型.做法與問題1相同，可得擬合系數(shù)如表5。

表5 不同狀態(tài)下電壓與剩余放電時(shí)間之間關(guān)系的系數(shù)

（10）

其中，2=2.283 6，2=-0.108 3

3=-0.666 7，3=0.001 0

（）=10.643 9+0.146 50.0027t（12）

綜上，這種做法得到的模型更具一般性，可以計(jì)算電池在任意衰減狀態(tài)下的剩余放電時(shí)間。

5 結(jié)束語

本文建立的指數(shù)模型，在擬合精度和預(yù)測(cè)結(jié)果上都較傳統(tǒng)方法有著更大的優(yōu)勢(shì)。我們利用MATLAB、EXCEL 等專業(yè)數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行運(yùn)算，使得結(jié)論更具有可靠性，同時(shí)以圖表的形式呈現(xiàn)處理結(jié)果，直觀易懂，提高了查詢效率。本模型還可以用于各類衰減模型，比如文物鑒定、元素周期等。

［1］朱松然. 蓄電池手冊(cè)[M]. 天津：天津大學(xué)出版社，1998.

［2］林瑞霖，郭輝. 最小二乘支持向量機(jī)在蓄電池剩余容量建模中的應(yīng)用研究[J]. 海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2010, 10.

［3］林成濤，王軍平，陳全世. 電動(dòng)汽車SOC估計(jì)方法原理與應(yīng)用[J].電池，2004, 10.

［4］姜啟源，謝金星，葉俊. 數(shù)學(xué)模型 [M]. 第三版.北京：高等教育出版社，2003-08.

［5］韓中庚. 數(shù)學(xué)建模實(shí)用教材[M]. 北京：高等教育出版社，2012-03.

Research on Remaining Discharge Time of Lead Acid Battery

（Xi'an Railway Vocational & Technical Institute, Shaanxi Xi’an 710016, China）

Based on the relationship between voltage and remaining discharge time oflead-acid battery, the exponential function model was established to simulate the discharge process. To reduce MRE as far as possible, the method used a large number of laboratory data and chose the appropriate model for data fitting. First, appropriate data was chosen according to the definition of MRE, and exponential model between the voltage and remaining discharge time was given byusing the MATLAB software; Second, the function relation between the current and the coefficient of the voltage and the remaining discharge time model was determined, and then the function model between voltage and the residual discharge time and current was obtained; Finally, the function model between voltage and residual discharge time and decay state was established by the stepwise iteration method. Theevaluation result of the accuracy of the model proved that simulating the discharge process bythe exponential model was reasonable, MRE was controlled within 2%.

Exponential mode; MRE; The stepwise iteration

TM911

A

1671-0460（2017）08-1556-04

陜西省教育科學(xué)‘十二五’規(guī)劃2014年度課題，項(xiàng)目號(hào)：SGH140948。

2016-12-15

毛麗霞（1983-），女，甘肅省平?jīng)鍪腥?，講師，碩士，2011年畢業(yè)于西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，研究方向：從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)建模。E-mail：mlx830503@163.com。