徐挺蔡光躍

一種優(yōu)化光柵系統(tǒng)的計算方法?

徐挺蔡光躍

（上海電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院上海201411）

在光柵系統(tǒng)的優(yōu)化中，其目標(biāo)函數(shù)往往是多自變量的復(fù)雜函數(shù)。單次或簡單重復(fù)運行遺傳算法程序通常無法使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值，函數(shù)參量的尋優(yōu)無法達(dá)到優(yōu)化要求。針對該問題，論文改進(jìn)了遺傳算法并提出一套運行該改進(jìn)型遺傳算法的流程。將該方法運用于優(yōu)化光柵系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)并求取最優(yōu)函數(shù)參量，計算結(jié)果證明該方法準(zhǔn)確有效。

計算；光柵；遺傳算法；優(yōu)化設(shè)計

Class NumberTP301.6

1引言

在常規(guī)光學(xué)和短波段光學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域中，光柵是一種重要的分光元件，其成像性能將直接決定整個光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量，所以對光柵成像性能的優(yōu)化十分重要。所謂優(yōu)化，指的是選取光柵元器件的某幾個幾何參量作為優(yōu)化的搜索變量，在一系列幾何尺寸和光學(xué)設(shè)計要求的約束下，尋求系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)（如：像差、像平面彌散斑大小、成像性能評價函數(shù)）的極小值，由此作為系統(tǒng)設(shè)計的重要依據(jù)。

優(yōu)化光柵系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)，無論是像差或基于像差系數(shù)、波像差系數(shù)的評價函數(shù)，其表達(dá)式均有以下特點：1）函數(shù)變量參數(shù)較多（一般為3個以上）；2）函數(shù)表達(dá)式十分冗長而復(fù)雜。對于此類函數(shù)的優(yōu)化問題，傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法如：最速下降法、擬Newton法、隧道法等對初值的依賴大且受算法本身對函數(shù)的限制條件影響，容易陷入局部極值，求得全局極值的概率不大；Monte-Garlo隨機(jī)試驗法、模擬退火方法等雖對函數(shù)限制要求少容易實現(xiàn)，但收斂較慢、效率低［1～2］。而遺傳算法對函數(shù)本身構(gòu)造依賴少、能較大概率求得全局最優(yōu)解、計算時間相對較少，對該類函數(shù)的優(yōu)化較有效［2］。

然而，遺傳算法在搜索后期易出現(xiàn)過早收斂現(xiàn)象，因此國內(nèi)外許多學(xué)者從編碼方法、遺傳操作算子、結(jié)合其它智能方法等不同方面對其進(jìn)行了改進(jìn)。本文在參考各種改進(jìn)型遺傳算法［3～4］后，針對光柵系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)的實際特點，提出了一種實用的優(yōu)化光柵系統(tǒng)的計算方法。

2算法設(shè)計

遺傳算法在光柵系統(tǒng)優(yōu)化的計算結(jié)果表明：剛開始進(jìn)化時種群尋優(yōu)的速度很快，但當(dāng)進(jìn)化代數(shù)N較大時（一般N＞300），單個種群內(nèi)的個體值已趨于收斂，依靠變異生成更優(yōu)個體使種群跳出局部收斂可能性極小，此時即使再成倍增大遺傳代數(shù)也作用甚微且耗時過長。然而，若多個種群各自獨立進(jìn)化，每個種群在進(jìn)化N代后都會收斂于不同的優(yōu)化值。此時若各自將其它種群的最優(yōu)個體引入自身種群再繼續(xù)進(jìn)化，則每個種群都會跳出自身的局部收斂并尋到更優(yōu)值。根據(jù)這一特征，算法程序（本文定義為G程序）的設(shè)計如圖1所示：

圖1 算法程序（G程序）流程圖

1）采用二進(jìn)制編碼隨機(jī)初始化多個種群（本文為3個），并設(shè)定交叉進(jìn)化次數(shù)為T。

2）各種群采用各自的交叉、變異概率獨立進(jìn)化N1代。N1取較大值，使每個種群內(nèi)個體都有較高的適應(yīng)度。

3）各自將其它種群的最優(yōu)個體替換掉自身對應(yīng)數(shù)量的最差個體，生成新的種群。

4）新種群采用各自的交叉、變異概率繼續(xù)獨立進(jìn)化N2代，N2取較小值且若10代內(nèi)最優(yōu)適應(yīng)值不變，自動增大變異概率。因為此時種群個體適應(yīng)度都較高種群容易發(fā)生收斂。

5）判斷交叉進(jìn)化的循環(huán)次數(shù)是否達(dá)到T，若未達(dá)到，返回步驟3）；若達(dá)到，輸出最優(yōu)個體和其適應(yīng)值。

算法程序的流程圖如圖1所示。

(3)要積極發(fā)展動力煤入洗，尤其是高硫、高灰動力煤必須全部入洗?；曳执笥?5%的商品煤，應(yīng)就近使用。積極發(fā)展動力煤的配煤，在煤礦、港口等煤炭集散地建設(shè)動力煤配煤選煤廠。煤礦、港口等煤炭集散地要有煤炭防塵措施，如設(shè)噴淋水等，同時煤炭的運輸要實現(xiàn)封閉運輸。

在實際光柵系統(tǒng)的優(yōu)化中，各光柵參量特別是相關(guān)角度參量的優(yōu)化精度要求一般較高。所以如果想保持較大的搜索范圍，若將G程序參量精度一次性設(shè)為所要求的精度，會使搜索空間過大而使搜索結(jié)果往往隨機(jī)收斂在最優(yōu)值附近的某個值，難以尋到最優(yōu)值。所以本文提出分M階段搜索，每階段逐步縮小精度并搜索m次，運行過程設(shè)計如下：

1）設(shè)種群中單個個體X有n維，則設(shè)置每一維xi(i=1，2，…，n)的初始上下限為ximax和ximin，以及每階段xi的搜索精度Δx(t)i(t=1，2，…，M)。

2）每一階段在所規(guī)定的精度設(shè)置下運行m次G程序，結(jié)果得到m個最優(yōu)個體X(j)，，其中j=1，2，…，m。

3）判斷本階段搜索是否為第M階段，若否，轉(zhuǎn)向第4）步；若是，算法結(jié)束，輸出最優(yōu)X。

4）確定下一階段各參量的搜索范圍，即xi下階段的上下限ximax和ximin。返回步驟2）。另外，因采用二進(jìn)制編碼，為防止xi在變化時溢出其搜索范圍，xi在范圍內(nèi)的取值個數(shù)應(yīng)正好等于2ki（ki為xi轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制編碼的位數(shù)）。所以下階段ximax和ximin求法如下：

ki取滿足下式的最小正整數(shù)：

其中0＜ξ≤1，一般m次數(shù)越大，ξ取值可以相應(yīng)越小。

算法運行過程流程如圖2所示。

圖2 算法運行過程流程圖

3仿真實驗

0和α。參考文獻(xiàn)［5］中定義的優(yōu)化光柵系統(tǒng)的評價函數(shù)（2），將其作為本文優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，求函數(shù)值最小時自變量r0、r'

0和α的值。

圖3 球面光柵的結(jié)構(gòu)示意圖

簡便起見，將該光柵的工作波長λ設(shè)為單一波長400 nm。

表1 球面光柵的固定參數(shù)（未注長度參量單位：mm）

根據(jù)本文的算法設(shè)計，設(shè)該優(yōu)化分2階段（M=2）搜索所要優(yōu)化參量的最優(yōu)解，搜索精度Δx(it)每階段依次設(shè)置為Δx1(1)=1，Δx(21)=1，Δx(31)=0.1; Δx1(2)=0.01，Δx(22)=0.01，Δx(32)=0.001。優(yōu)化參量的初始搜索范圍為r0=1～8129mm，r0'=1～8129mm，α=0～102.3°。每階段運行G程序搜索5次（m=5）。具體G程序參量設(shè)置與優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表2 G程序的參數(shù)設(shè)置與優(yōu)化結(jié)算

所以當(dāng)參量r0=493.52 mm，r'0=506.73 mm， α=6.800°時，目標(biāo)函數(shù)Ω取到最小，最小值為0。我們用計算機(jī)在規(guī)定精度下，將這三個變量在搜索范圍內(nèi)的所有組合都列出來并計算每個組合所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，然后進(jìn)行比較得出最小值。經(jīng)過長時間的運算，得出結(jié)果與本文實驗結(jié)果一致。當(dāng)然，由于本文目標(biāo)函數(shù)的特殊性，Ω為平方和的相加，所以Ω最小值不可能小于0。所以本文的優(yōu)化算法對Ω的最小值能尋到0時，一定是全局最值。

4結(jié)語

將變量在其搜索范圍內(nèi)的有所組合列出并計算每個組合所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，然后進(jìn)行比較得出最值也是一種計算多自變量函數(shù)的方法，并且理論上絕對準(zhǔn)確。然而當(dāng)自變量個數(shù)增多，搜索精度增大時，計算機(jī)運算的次數(shù)將成指數(shù)級上升，運算時間過長以至難以實現(xiàn)。

簡單遺傳算法與各種改進(jìn)型遺傳算法雖然在運算時間上較短［6～8］，但針對像光柵優(yōu)化［9～11］這類自變量參數(shù)多、函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜、搜索范圍大及搜索精度高的情況，一次運行或重復(fù)的多次運行依然會使目標(biāo)函數(shù)值過早收斂，尋優(yōu)能力無法達(dá)到優(yōu)化要求。

本文算法程序（G程序）中的多種群交叉進(jìn)化，針對計算復(fù)雜函數(shù)，能有效提高遺傳算法的尋優(yōu)能力；分多階段按規(guī)則逐步縮小搜索范圍和精度的方法能有效提高大范圍內(nèi)、高精度優(yōu)化函數(shù)參量的能力。該計算方法不但能運用在光柵優(yōu)化上，對任意多變量復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化與求極值都是一種有效可行的方法。

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A ComputationalMethod of Optimizing Grating System

XU Ting CAI Guangyue
（Shanghai TechnicalInstitute of Electronics&Information，Shanghai 201411）

When optimizing the grating system，its objective function is usually complex and multi-parameters.The objective function usually can not achieve the bestvalue when single or simple repeatthe GA program，the optimization for the parameters of function can not meet the optimized requirements.To cope with this question，this paper has improved the genetic algorithm and bought forward a set of process of running the improved genetic algorithm.The result turns to be accurate when this method is ap?plied to optimize the grating system and getthe bestoptimization parameters ofthe objective function.

computation，grating，genetic algorithm，design optimization

TP301.6

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.08.011

2017年3月17日，

2017年4月21日

徐挺，男，講師，研究方向：汽車電子控制系統(tǒng)的應(yīng)用開發(fā)。蔡光躍，男，講師，碩士，研究方向：電子測試儀器和職業(yè)教育。