李 茜 卓智海 汪毓鐸

（北京信息科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，北京 100101）

學(xué)術(shù)探討

基于分?jǐn)?shù)階小波變換與QR分解的盲數(shù)字水印算法

李 茜 卓智海 汪毓鐸

（北京信息科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，北京 100101）

通過(guò)對(duì)現(xiàn)有的盲數(shù)字水印算法的研究，本文提出一種新穎的基于分?jǐn)?shù)階小波變換(FRWT)和QR分解的盲數(shù)字圖像水印算法，相比于現(xiàn)有的基于DWT域數(shù)字圖像水印方法，該方法兼具分?jǐn)?shù)階小波變換(FRWT)和DWT的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)數(shù)字水印處理具有更高的靈活性。仿真結(jié)果表明嵌入水印后的宿主圖像的峰值信噪比均高于40dB，充分說(shuō)明該算法不僅可以很好地平衡水印的不可見(jiàn)性，而且對(duì)幾何攻擊具有較好的魯棒性。

數(shù)字圖像水??；分?jǐn)?shù)階小波變換(FRWT)；分?jǐn)?shù)階Fourier變換；QR分解

1 引言

隨著科技的發(fā)展，人們進(jìn)入了一個(gè)能夠迅速獲取和交流信息的數(shù)字化、網(wǎng)絡(luò)化時(shí)代，在給人們帶來(lái)便利的同時(shí)，一些有價(jià)值的信息容易遭到復(fù)制、篡改。因此，如何識(shí)別信息的真?zhèn)?、保護(hù)信息的版權(quán)等成了這個(gè)時(shí)代亟待解決的信息安全問(wèn)題。作為對(duì)信息版權(quán)保護(hù)的一種有效途徑，數(shù)字水印技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生，它分為空域水印技術(shù)和變換域水印技術(shù)。在變換域中嵌入水印不僅能提高水印的不可見(jiàn)性，而且其魯棒性要比空域的算法好，因此變換域水印技術(shù)更受關(guān)注。在變換域水印技術(shù)中，離散余弦變換(DCT)、離散小波變換(DWT)、離散傅里葉變換(DFT)、離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(DFRT)、極坐標(biāo)諧波變換(PHT)以及離散線(xiàn)性正則變換(LCT)等應(yīng)用廣泛，受到了很多學(xué)者的青睞[1-7]。DWT和其他變換相結(jié)合的水印方法既包含有DWT的多分辨率思想和時(shí)頻局域化等優(yōu)點(diǎn)，也兼?zhèn)淦渌儞Q的優(yōu)勢(shì)，所以它們成為數(shù)字圖像水印領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

近幾年出現(xiàn)了基于DWT和矩陣分解的水印技術(shù)，比如DWT和QR分解、奇異值分解(SVD)、LU分解、Schur分解等矩陣分解方法相結(jié)合，而且己經(jīng)被證明基于DWT和矩陣分解的水印技術(shù)可以在不可見(jiàn)性和魯棒性之間做一個(gè)很好的平衡，特別是具有明顯的抗幾何攻擊效果[11–15]。分?jǐn)?shù)階小波變換(FRWT)是經(jīng)典DWT和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FRFT)的結(jié)合，它兼具DWT和FRFT的優(yōu)點(diǎn)，具有在FRFT域多分辨表征圖像的能力[16,17]。這些良好的性質(zhì)使FRWT成為一個(gè)圖像處理領(lǐng)域重要的數(shù)學(xué)工具之一，它己經(jīng)被成功應(yīng)用于圖像融合和圖像去噪。因此，非常有必要研究FRWT在數(shù)字水印領(lǐng)域潛在的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)。

2 相關(guān)理論基礎(chǔ)

2.1 分?jǐn)?shù)階小波變換

分?jǐn)?shù)階小波變換的定義為[15]：

其中ψa,b(t)是傳統(tǒng)小波變換的母小波，a，b分別為尺度因子和時(shí)移因子。當(dāng)θ=π2時(shí)，F(xiàn)RWT退化為經(jīng)典的小波變換。

推廣一維FRWT到二維FRWT，其定義為：

2.2 QR分解

任意非奇異M×N階矩陣A可以分解為兩個(gè)矩陣的乘積，即

其中Q是M×N正交矩陣，R是N×N階非奇異上三角矩陣，而且除去相差一個(gè)對(duì)角矩陣因子外，QR分解是唯一的。由以上事實(shí)可知，對(duì)于雙精度圖像矩陣，無(wú)論是否為方陣，都可以進(jìn)行QR分解。

3 圖像水印方法

本節(jié)將給出水印嵌入和提取的程序。以下假設(shè)X是M× N的原始宿主灰度圖像，每個(gè)像素點(diǎn)處的像素值為x(m,n)(1≤m,n≤M)。同樣假設(shè)W是N×N的二值水印圖像，且W中每個(gè)像素點(diǎn)處的像素值為w(i,j)(1≤i,j≤N)。

3.1 水印的嵌入

算法的具體步驟如下：

(1)將宿主圖像矩陣X拉成一列向量X'M2×1，并對(duì)其元素按從小到大排序得到Y(jié)'M2×1，記錄每個(gè)元素在X'中的初始位置。記為向量E。

(2)恢復(fù)向量Y'，得到一個(gè)M×M的矩陣，記為Y。

(4)分?jǐn)?shù)域低頻子圖LLM/2×M/2劃分為不重疊的N2個(gè)方塊

(5)應(yīng)用QR分解到上述的每一個(gè)子塊得到矩陣Qij和Rij，[Qij,Rij]=qr(bij)，其中Rij是一個(gè)上三角矩陣。

(6)按照以下方法嵌入二值水印到Rij的第一行Rij(1，：)，

(8)利用LLw和步驟(3)中得到的3個(gè)分?jǐn)?shù)域高頻子圖，進(jìn)行逆LCWT得到嵌入水印后的置亂圖像Yw。

(9)利用步驟(1)中記錄下的位置向量E對(duì)Yw進(jìn)行還原得到嵌入水印的宿主圖像。

3.2 水印的提取

本小節(jié)將介紹水印提取的詳細(xì)步驟，其中會(huì)使用水印嵌入中得到的向量K和嵌入水印后的置亂圖像Yw，具體步驟如下：

(1)應(yīng)用1級(jí)FRWT到Y(jié)w得到分?jǐn)?shù)域的低頻子圖LL0和3個(gè)分?jǐn)?shù)域高頻子圖。

(3)對(duì)每一個(gè)方塊進(jìn)行QR分解得到2個(gè)矩陣QOij和ROij。

(4)利用ROij(1，：)矩陣的第一行ROij(1，：)，按如下方式提取水印圖像，

其中corrcoef(:，:)代表2個(gè)圖像的標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

使用MATLAB-2014a軟件分析水印的不可見(jiàn)性和魯棒性。選用5幅大小為512×512具有不同紋理特征的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像作為原始宿主圖像，如圖1(a)-(e)所示。使用大小為64×64的含有字符信息“USTB”的二值圖像作為嵌入的水印p=0.95。本文使用峰值信噪比(PSNR)、歸一化相關(guān)(NC)和結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)三個(gè)指標(biāo)從不同方面衡量本方法水印的不可見(jiàn)性以及魯棒性，其中PSNR用來(lái)衡量嵌入水印的宿主圖像的視覺(jué)質(zhì)量，PSNR值越大，說(shuō)明水印方法對(duì)圖像的破壞越小，也意味著水印的不可見(jiàn)性越好。它的定義為：

其中f和fw分別代表大小為M×N的原始宿主圖像和嵌入水印后的宿主圖像。

NC和SSIM用來(lái)衡量提取出的水印與原水印的相似度，值越大說(shuō)明兩者的相似度越高。他們的定義為：

其中w是原始水印圖像，w’是提取出的水印圖像。μw和μ'w是w和w'的期望，σw和σw'是w和w'的方差，σww'是w和w'的協(xié)方差，c1和c2是兩個(gè)保持除法成立的變量。

圖1 原始宿主圖像和水印圖像

4.1 水印的不可見(jiàn)性

水印在通常的視覺(jué)條件下是不可見(jiàn)的，所以水印的存在不會(huì)影響作品的視覺(jué)效果，水印的不可見(jiàn)性是考察水印方法優(yōu)劣的重要的一個(gè)方面。本小節(jié)從以下2個(gè)角度考慮水印的不可見(jiàn)性：

(1)計(jì)算嵌入水印后宿主圖像的PSNR值：通常只有PSNR值大于40dB時(shí)，才能保證水印不可見(jiàn)性[20]；

(2)當(dāng)保證嵌入水印后宿主圖像具有較高的PSNR值時(shí)，是否可以準(zhǔn)確地提取出水印圖像。

基于以上考慮，嵌入水印圖像到圖1所示的5幅標(biāo)準(zhǔn)宿主圖像，采用不同的嵌入強(qiáng)度λ=10-20，得到嵌入水印后宿主圖像的PSNR值，為了直觀地觀察數(shù)值變化趨勢(shì)，以λ為自變量，PSNR值為因變量繪制函數(shù)圖像，如圖2所示。從圖2中可以得到隨著λ的增大，PSNR值在減小，當(dāng)λ=20時(shí)，PSNR的值小于40dB，所以只要λ＜20都可以，所以實(shí)驗(yàn)中選取λ=15作為嵌入強(qiáng)度值，得到嵌入水印的宿主圖像后，計(jì)算其PSNR值。提取相應(yīng)的水印列舉在表1的第一行和第三行，并計(jì)算相應(yīng)的NC和SSIM值，見(jiàn)表1。分析表1中的圖像及數(shù)據(jù)，可以得到：一方面，嵌入水印后的宿主圖像視覺(jué)質(zhì)量很好，意味著水印的不可見(jiàn)性很好；另一方面，提取出的水印清晰，與原水印圖像比較并未有明顯誤差，這說(shuō)明水印提取的準(zhǔn)確性較高。從客觀數(shù)據(jù)方面，PSNR的值均高于40dB，符合要求。NC和SSIM值都為1，這說(shuō)明提取出的水印與原水印相似度很高，與視覺(jué)觀察得到的結(jié)果是吻合的。

圖2 基于不同測(cè)試圖像得到的峰值信噪

表1 嵌入水印的5幅宿主圖像以及相應(yīng)提取到的水印

4.2 算法的魯棒性

選用Lena圖像作為測(cè)試圖像，分別對(duì)圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、放縮來(lái)驗(yàn)證算法的魯棒性。為比較本文算法與文獻(xiàn)[13]和[16]所提算法的性能，同樣采用具有“USTB”字符意義的二值圖像作為水印圖像，驗(yàn)證不同算法2種典型攻擊的魯棒性。以下簡(jiǎn)記本文所提算法為FRWT+QR，文獻(xiàn)[16]所提算法為QR，文獻(xiàn)[13]所提算法為DWT+QR。

4.2.1 旋轉(zhuǎn)魯棒性

首先選取旋轉(zhuǎn)的角度從0o變化到90o，以5o為間隔，分別基于3種方法提取水印，得到的水印圖像分別見(jiàn)圖3的(a)，(b)和(c)。從圖3中可以看出，在旋轉(zhuǎn)攻擊下，3種水印方法均不能完全提取水印，但是基于本文所提出的水印方法得到的水印圖像的誤差僅出現(xiàn)于文字的四周，并不影響文字的觀察，而其它2種方法的誤差分布于整個(gè)圖片，影響文字的觀察。其次，為了更加精確地比較3種方法的性能，進(jìn)一步選取其中的10幅計(jì)算提取出的水印圖像與原水印圖像之間的NC和SSIM值，見(jiàn)表2。為了直觀地觀察隨著角度的增加NC和SSIM值的變化趨勢(shì)，以旋轉(zhuǎn)角度為自變量，NC和SSIM值分別為因變量繪制曲線(xiàn)，見(jiàn)圖4(a)和(b)。從圖4可以看出，隨著旋轉(zhuǎn)角度的增加，NC和SSIM值總體上具有對(duì)稱(chēng)性，本文所提方法NC值略高于其它2種方法，本文所提方法的旋轉(zhuǎn)魯棒性較好。

圖3 旋轉(zhuǎn)攻擊下不同方法提取出的水印

表2 旋轉(zhuǎn)攻擊下得到的NC和SSIM值

圖4 在旋轉(zhuǎn)攻擊下三種不同方法的性能比較

4.2.2 放縮魯棒性

首先選取放縮比例從0.1變化到1，以0.1為間隔，分別基于3種方法提取水印，得到的水印圖像如圖5所示。提取出的水印圖像與原水印圖像之間的NC和SSIM值，見(jiàn)表3。并且為了直觀地觀察隨著放縮比例的增加NC和SSIM值的變化趨勢(shì)，以放縮比例為自變量，NC和SSIM值分別為因變量繪制曲線(xiàn)，見(jiàn)圖6(a)和(b)。從圖5可以看出，在放縮攻擊下，當(dāng)放縮比例大于0.2時(shí)，基于本文所提方法提取到的水印清晰可見(jiàn)，而基于其它2種方法得到的水印模糊，無(wú)法辨認(rèn)水印內(nèi)容。從圖6和表3中可以得到，隨著放縮比例的變大，NC和SSIM值總體上在變大，當(dāng)放縮比例為1時(shí)，也就是說(shuō)沒(méi)有攻擊時(shí)，達(dá)到最高值1。本文所提方法NC和SSIM值上升的速度更快，而其它2種方法上升速度緩慢且每一個(gè)值均低于本文所提方法。綜合以上分析，相比于其它2種方法，本文所提方法的放縮魯棒性更好。

圖5 放縮攻擊下不同方法提取出的水印

表3 縮放攻擊下得到的NC和SSIM值

圖6 縮放攻擊下三種不同方法的性能比較

5 結(jié)論

由于FRWT具有的FRFT域多分辨表示圖像的能力，本文提出一種基于FRWT和QR分解的新穎數(shù)字圖像水印方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，嵌入水印后的宿主圖像的PSNR值均高于40dB，說(shuō)明該方法具有良好的水印不可見(jiàn)性，并且當(dāng)嵌入水印的宿主圖像遭到不同類(lèi)型的攻擊時(shí)，仍然可以快速有效地提取到清晰的水印圖像，綜合以上分析可知本方法很好地平衡了水印的不可見(jiàn)性和魯棒性，尤其對(duì)于幾何攻擊如旋轉(zhuǎn)和放縮具有較好的魯棒性。

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Blind Digital WatermarkingAlgorithm Based on FRWT and QR Decomposition

Li Qian Zhuo ZhihaiWang Yuduo
(Beijing Information Science and Technology University,Beijing 100101)

This paper presents a novel method based on the blind digital image watermarking methods of FRWT and QR decomposition.Compared with the existing DWT domain digital image watermarking method,this method combines the advantages of both FRWT and DWT,which has better flexibility.The simulation results show that the PSNR value of the host image embedded with the watermark is higher than 40dB,which fully demonstrates that the algorithm can not only balance the imperceptibility of the watermark,but also has better robustness against geometric attacks.

digital image watermarking;Fractional Wavelet Transform(FRWT);Fractional Fourier Transform;QR decomposition

TP391

B

1008-6609(2017)07-0001-06

李茜（1991-），女，河北保定人，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)據(jù)采集與信號(hào)處理、分?jǐn)?shù)域小波變換。

北京市支持中央在京高校共建項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：504160214；北京信息科技大學(xué)?；?，項(xiàng)目編號(hào)：1425011；北京信息科技大學(xué)2016年度教學(xué)改革立項(xiàng)資助，項(xiàng)目編號(hào)：2016KGYB20。