陳 誠，金 城，趙程程，王 潔，顏士開

（1．揚(yáng)州大學(xué) 水利與能源動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225009；2．鹽城響水船閘管理所，江蘇 響水224600；3．常熟市水利工程建設(shè)管理處，江蘇 常熟 215500）

科研與管理

立方拋物線形斷面收縮水深的牛頓迭代公式

陳 誠1，金 城2，趙程程3，王 潔1，顏士開1

（1．揚(yáng)州大學(xué) 水利與能源動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225009；2．鹽城響水船閘管理所，江蘇 響水224600；3．常熟市水利工程建設(shè)管理處，江蘇 常熟 215500）

建立立方拋物線形斷面收縮水深計(jì)算的牛頓迭代公式，誤差分析結(jié)果表明，其工程適用范圍內(nèi)的最大相對誤差絕對值小于6.07×10-5%，平均相對誤差絕對值僅小于1.11×10-5%。該迭代公式收斂速度快，且形式較為簡捷，大大提高了計(jì)算效率，為工程設(shè)計(jì)及水工設(shè)計(jì)手冊的編制提供參考。

立方拋物線；收縮水深；牛頓迭代；誤差分析

隨著大型襯砌機(jī)的出現(xiàn)和使用，曲線型渠道斷面的施工變得越來越容易。由于曲線型渠道斷面的拐點(diǎn)較少或沒有拐點(diǎn)，因應(yīng)力集中點(diǎn)導(dǎo)致的裂縫少，故相較于常見的梯型、矩型等斷面渠道，其滲漏量較少，同時(shí)由于其優(yōu)良的水力學(xué)特性和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，近年來得到越來越多的應(yīng)用［1］。通過計(jì)算證明當(dāng)拋物線斷面方程指數(shù)n=3.35時(shí)，對應(yīng)的最優(yōu)水力斷面為拋物線類渠道的最優(yōu)斷面型式［2-3］，因而立方拋物線形斷面是工程中常用的拋物線形斷面中水力性能最優(yōu)的。

泄水建筑物下游的收縮斷面水深（contracted water depth）是進(jìn)行下游水流銜接狀態(tài)分析、消能工程設(shè)計(jì)的一個(gè)重要水力要素，在工程中應(yīng)用十分頻繁且有較高的計(jì)算精度要求。立方拋物線形斷面收縮水深計(jì)算的實(shí)質(zhì)為一元高次方程的求解，數(shù)學(xué)上無解析解。現(xiàn)有研究所運(yùn)用的迭代公式收斂速度慢，計(jì)算精度提高不明顯［4-6］。本文擬引入牛頓迭代算法，得到一套高速收斂的牛頓迭代公式，且形式較為簡捷，可大幅提高計(jì)算效率，便于工程設(shè)計(jì)人員應(yīng)用。

1 牛頓迭代公式建立

如圖1所示，立方拋物線形斷面的曲線方程為：

根據(jù)水力學(xué)原理，由能量守恒方程推得的收縮水深基本方程為：

式中 E0為以收縮斷面底部為基準(zhǔn)面的過水建筑物上游總水頭（m）；hc為收縮斷面處的水深（m）；Q為過水流量（m3/s）；g為重力加速度，通常取9.81m/s2；φ為流速系數(shù)，一般取0.80～1.00；Ac為收縮斷面處的過水?dāng)嗝婷娣e（m2）。

引入無量綱收縮水深x和無量綱參數(shù)k：

由式（2），式（3），式（4），可推得立方拋物線形斷面無量綱收縮水深x的基本方程［4］：

根據(jù)式（6），令f（x）=x（1-x）3/8-1/k，則f（x）的一階導(dǎo)數(shù)為：

將f（x），f′（x）代入式（7）并整理，得關(guān)于無量綱收縮水深x的牛頓迭代公式：

2 誤差分析與精度評價(jià)

目前有關(guān)水利專家學(xué)者共計(jì)提出4套基于迭代法的立方拋物線形斷面收縮水深計(jì)算公式［4-6］，均通過引入無量綱參數(shù)來計(jì)算收縮水深，其中趙延風(fēng)等［5］公式和滕凱［6］公式是拋物線類斷面收縮水深計(jì)算的通用公式，將n=3代入得到針對立方拋物線形斷面收縮水深計(jì)算的公式形式。

各類計(jì)算公式如表1。其中λ，ψ，k′為計(jì)算過程中引入的中間變量，其他符號意義同前文所述。本文以陳誠等［7］公式作為迭代初值計(jì)算公式，在此基礎(chǔ)上引入牛頓迭代公式進(jìn)行計(jì)算。為驗(yàn)證牛頓迭代公式的精確性，在［0.01，0.50］區(qū)間內(nèi)以一定步長選取不同的xi，以此作為無量綱收縮水深的精確值x*，將其代入式（4）算得與之相對應(yīng)的k值，將k作為已知參數(shù)代入近似公式，算得無量綱收縮水深的近似值，并根據(jù)式（9）計(jì)算相對誤差δ（保留至小數(shù)點(diǎn)后第六位數(shù)字），計(jì)算結(jié)果如圖2和表2。

表2 各類公式相對誤差

圖2 各類公式相對誤差分布圖（迭代1次）

根據(jù)圖2和表2，在工程適用范圍內(nèi)，陳誠等［7］公式的最大相對誤差絕對值為0.117592%，經(jīng)過1次迭代之后，最大相對誤差絕對值僅小于6.07×10-5%，精度提高近2000倍；以0.0001為步長，計(jì)算其在〔0.01，0.50〕區(qū)間內(nèi)的4901個(gè)點(diǎn)的相對誤差，分別取絕對值之后計(jì)算平均值，得平均相對誤差絕對值小于1.11×10-5%，精度提高5000倍以上。

運(yùn)用本文推得的牛頓迭代公式計(jì)算立方拋物線形斷面的收縮水深，收斂速度和精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他各類迭代公式，可大幅提高計(jì)算效率。

3 結(jié)語

（1）從立方拋物線形斷面無量綱收縮水深的基本方程出發(fā)，基于牛頓迭代算法建立新的迭代公式，迭代1次之后的相對誤差絕對值小于6.07×10-5%，精度較迭代初值計(jì)算公式提高103以上，平均相對誤差絕對值僅小于1.11×10-5%。相比現(xiàn)有的通過對基本方程進(jìn)行恒等變形建立的迭代公式，該迭代公式收斂速度快，計(jì)算精度高，大幅提高了計(jì)算效率，且形式較為簡潔。

（2）由于半立方、平方、二分之五次方［8］和立方拋物線形斷面的收縮水深基本方程形式類似，該迭代方法均可適用，本文引入的牛頓迭代算法在拋物線類斷面收縮水深的計(jì)算中具有較好的實(shí)用推廣價(jià)值。

［1］Easa SM．Improved channel cross section with two-segment parabolic sides and horizontal bottom［J］．Journal of Irrigation and Drainage Engineering，2009，135（3）：357-365．

［2］張麗偉，滕凱．拋物線形斷面最優(yōu)水力參數(shù)及方程指數(shù)計(jì)算方法［J］．水利水電科技進(jìn)展，2014，34（5）：65-68．

［3］范子龍，趙明登．冪律形水力最佳斷面設(shè)計(jì)與正常水深計(jì)算方法［J］．中國農(nóng)村水利水電，2015（9）：157-159．

［4］冷暢儉，王正中．三次拋物線形渠道斷面收縮水深的計(jì)算公式［J］．長江科學(xué)院院報(bào)，2011，28（4）：29-31，35．

［5］趙延風(fēng)，王正中，劉計(jì)良．拋物線類渠道斷面收縮水深的計(jì)算通式［J］．水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2013，32（1）：126-131．

［6］代述兵，劉韓生，卞曉衛(wèi)，等．三種拋物線形斷面收縮水深的直接計(jì)算公式［J］．長江科學(xué)院院報(bào)，2015，32（9）：90-93．

［7］陳誠，龔懿，王潔，等．立方拋物線形斷面收縮水深的直接計(jì)算研究［J］．中國農(nóng)村水利水電，2017（2）：173-175，181．

［8］韓延成，徐征和，高學(xué)平，等．二分之五次方拋物線形明渠設(shè)計(jì)及提高水力特性效果［J］．農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2017，33（4）：131-136．

（責(zé)任編輯：尹健婷）

New ton’s iterative formula for contracted water depth in cubic parabolic cross-sections

CHEN Cheng1，JIN Cheng2，ZHAO Cheng-cheng3，WANG Jie1，YAN Shi-kai1
（1.College of Hydraulic，Energy and Power Engineering，Yangzhou University，Yangzhou 225009，China；2.Xiangshui Ship Lock Control Station of Yancheng，Xiangshui224600，China；3.Water Conservancy Project Construction Management Office of Changshu，Changshu 215500，China）

Newton’s iteration formula was established for the calculation of contracted water depth in cubic parabolic crosssections.Results of error analysis indicated that themaximum absolute relative error in practical range was less than 6.07× 10-5%and the average absolute relative error was less than only 1.11×10-5%.The proposed iterative formula has fast convergence rate and brief form，thus perfectly improving the calculating efficiency，which would be used for engineering design practice and for the compilation of hydraulic structure design handbooks.

cubic parabolic；contracted water depth；Newton’s iteration；error analysis

TV131.4

：A

：1672-9900（2017）04-0001-03

2017-04-28

江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（KYLX16_1397）

陳 誠（1993-），男（漢族），江蘇揚(yáng)州人，碩士，主要從事農(nóng)業(yè)水資源管理與環(huán)境保護(hù)研究，（Tel）18168650812。