李新國，王偉，翟哲，南來福，王競逸

（天津大學機械工程學院，天津 300350）

有機朗肯循環(huán)中的工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度及其特征

李新國，王偉，翟哲，南來福，王競逸

（天津大學機械工程學院，天津 300350）

有機朗肯循環(huán)中存在有極值功循環(huán)與無極值功循環(huán)，即存在一種凈功的轉(zhuǎn)折線與所對應的工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度，它對工質(zhì)的選擇與循環(huán)性能評價具有指標性的作用。基于梯形循環(huán)及其理論模型，本文建立工質(zhì)飽和線形狀（飽和液線斜率、飽和氣線斜率及其斜率比與臨界溫度）及物性為自變量的數(shù)學關(guān)系，并提出和定義線性飽和線工質(zhì)模型，建立循環(huán)性能與工質(zhì)物性之間的數(shù)學關(guān)系。分別推導出有機朗肯循環(huán)中工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度的經(jīng)驗公式，以及梯形循環(huán)下線性飽和線工質(zhì)的熱源轉(zhuǎn)折溫度理論公式及其修正。研究熱源轉(zhuǎn)折溫度及其對應的優(yōu)化工況的特征與一般性規(guī)律，得到21種工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度的有機朗肯循環(huán)數(shù)值計算與經(jīng)驗公式之間的偏差小于1.97%。線性飽和線工質(zhì)模型下，工質(zhì)的熱源轉(zhuǎn)折溫度為臨界溫度和蒸發(fā)器窄點溫差之和；熱源轉(zhuǎn)折溫度所對應的最高優(yōu)化工況（最高優(yōu)化蒸發(fā)溫度與最大凈功極值）隨斜率比單調(diào)增加，至干工質(zhì)時，最高優(yōu)化工況接近工質(zhì)的臨界點。

有機朗肯循環(huán)；梯形循環(huán)；線性飽和線工質(zhì)；工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度；最高優(yōu)化工況

有機朗肯循環(huán)（organic Rankine cycle，ORC）采用低沸點有機工質(zhì)發(fā)電，可以回收利用300℃以下的中低溫熱能，如太陽能、地熱能、工業(yè)余熱等。目前ORC的研究一般是針對具體工質(zhì)的數(shù)值計算或?qū)嶒炑芯俊Ｐ鞓s吉等[1]以R245fa為工質(zhì)，提出基于對數(shù)傳熱溫差的內(nèi)回熱器性能計算方法，并分析過熱溫度、過冷溫度對內(nèi)回熱ORC性能的影響，表明內(nèi)回熱減少了循環(huán)的蒸發(fā)負荷和冷凝負荷，提高了循環(huán)效率。韓中合等[2]針對煙氣余熱構(gòu)建無回熱和有內(nèi)回熱的ORC系統(tǒng)，通過熱源參數(shù)變化引起工質(zhì)吸熱量的變化，分析工質(zhì)在兩種系統(tǒng)中的初溫、凈功量、熱耗率及?損的變化規(guī)律，得出較優(yōu)工質(zhì)和各工質(zhì)對內(nèi)回熱器的匹配性。楊緒飛等[3]在給定熱源條件下，探討進口過熱度對膨脹機性能和系統(tǒng)性能的影響，表明隨膨脹機進口過熱度遞減，膨脹機機械效率遞增，等熵效率遞減，膨脹機軸功和實際運行效率呈先增后減的變化趨勢。王明濤等[4]建立能量平衡方程和?方程，研究蒸發(fā)壓力對不同烷烴類工質(zhì)的熱效率、單位質(zhì)量煙氣凈功、?效率等參數(shù)的影響規(guī)律，表明在保證膨脹機體積流量比不大于50情況下，環(huán)戊烷具有最高的熱效率和?效率。張軍輝等[5]以最大做功能力和?效率為目標函數(shù)，對10種工質(zhì)進行分析，表明每種工質(zhì)均存在一優(yōu)化蒸發(fā)溫度使循環(huán)凈輸出功最大，而且工質(zhì)臨界溫度越高，對應的優(yōu)化蒸發(fā)溫度也越高。賀超等[6]采用不同優(yōu)化目標，對亞臨界ORC進行蒸發(fā)溫度和冷凝溫度的優(yōu)化分析。在排煙溫度423.15K條件下，對干工質(zhì)，不同優(yōu)化目標下蒸發(fā)溫度和冷凝溫度優(yōu)化值差異較大；濕工質(zhì)R134a與R152a臨界溫度低于熱源初始溫度20K±2K時，系統(tǒng)存在優(yōu)化蒸發(fā)溫度。LI等[7]在熱源溫度120～200℃下，對5種有機工質(zhì)從安全、環(huán)保、經(jīng)濟效益方面進行分析，表明R123非常不安全，但它的熱經(jīng)濟效率最高，尤其熱源溫度較高時。YU等[8]研究表明，當ORC系統(tǒng)在近臨界溫度區(qū)域內(nèi)運行，即熱源進口溫度與工質(zhì)臨界溫度之差在適當范圍內(nèi)時，系統(tǒng)可獲得最大的輸出功。

也有學者從理論角度對有機朗肯循環(huán)進行分析。最早由嚴家祿[9]對兩種熱源形式的ORC，分別推導了工質(zhì)優(yōu)化蒸發(fā)溫度和冷卻水溫升的數(shù)學關(guān)系式和相應的修正系數(shù)，結(jié)果表明這些計算式精確性比較高。WANG等[10-11]建立了循環(huán)凈功的理論模型，推導理論計算公式，計算結(jié)果與ORC的數(shù)值計算結(jié)果也非常一致。HE等[12-13]建立了循環(huán)凈功與優(yōu)化蒸發(fā)溫度的解析表達式，表明優(yōu)化蒸發(fā)溫度的理論值與ORC數(shù)值計算之間的偏差僅為–0.86%～2.3%，平均偏差小于1%。CHEN等[14]綜述了ORC和超臨界朗肯循環(huán)以及工質(zhì)篩選標準，討論了工質(zhì)汽化潛熱、密度、液態(tài)比熱容對循環(huán)的影響和關(guān)于過熱的經(jīng)濟性，推導出工質(zhì)在膨脹機等熵膨脹過程中比焓變的關(guān)系式。另外，MAIZZA等[15]提出汽化潛熱越大、密度越高、液態(tài)比熱容越小的工質(zhì)越適合于ORC，而YAMAMOTO等[16]認為低汽化潛熱的工質(zhì)更好，因為膨脹機進口處工質(zhì)為飽和狀態(tài)時才達到優(yōu)化工況。LIU等[17]提出工質(zhì)的飽和氣線斜率公式，但未分析飽和氣線斜率對循環(huán)性能的影響。

綜上所述，常規(guī)有機朗肯循環(huán)一般是針對實際工質(zhì)的數(shù)值計算、實驗研究或應用，由于實際工質(zhì)的種類有限，且工質(zhì)物性是定量、非變量，使得有機朗肯循環(huán)的研究結(jié)果或結(jié)論往往是具體、局限的，不具有普遍性?；谇捌谘芯刻岢龅哪M有機朗肯循環(huán)的梯形循環(huán)及其理論模型[18]，本文建立工質(zhì)飽和線形狀（飽和液線斜率、飽和氣線斜率與臨界溫度）及物性為自變量的數(shù)學關(guān)系，即將實際工質(zhì)的物性變量化，應用梯形循環(huán)及其理論模型，進行梯形循環(huán)（或有機朗肯循環(huán)）的理論研究，從理論角度研究有機朗肯循環(huán)的普遍性熱力學規(guī)律。重點針對有機朗肯循環(huán)中有極值功向無極值功轉(zhuǎn)化的凈功轉(zhuǎn)折線，所對應的熱源轉(zhuǎn)折溫度及其最高優(yōu)化工況等特征進行研究。

1 工質(zhì)飽和線的數(shù)學模型

前期研究提出并建立了梯形循環(huán)（trapezoidal cycle，TPC）及其理論模型[18]。梯形循環(huán)是將基本的內(nèi)可逆ORC簡化為T-s圖中的梯形循環(huán)，如圖1所示。其中將ORC中的兩個過程作如下簡化：①用過程3–4代替ORC中的過程3–3′–4，這樣造成了液相區(qū)比功“Δw1”的減少（圖中3–3′–4–3圍成的面積）；②采用過程2′–2–2′代替ORC中干膨脹后的過熱冷卻過程2′–2′，這樣，對于干工質(zhì)或“干膨脹”，增加了比功“Δwsup.h”（圖1中2′–2–2′–2′圍成的面積），但對濕工質(zhì)與等熵工質(zhì)或“濕膨脹”，則無此功增量。計算表明[18]：TPC與ORC之間的偏差為：功率偏差為0.3%～–3.3%，熱效率偏差為0.59%～–2.94%，相對偏差的絕對值均小于5%，表明梯形循環(huán)完全可以模擬有機朗肯循環(huán)。

圖1 有機朗肯循環(huán)與梯形循環(huán)

基于梯形循環(huán)及其理論模型，建立工質(zhì)飽和線的數(shù)學模型。如圖2(a)、(b)、(c)，線段4–5為工質(zhì)飽和液線上蒸發(fā)溫度處的切線，斜率為kl，線段1–5為工質(zhì)飽和氣線上蒸發(fā)溫度處的切線，斜率為kg；并定義kl與kg之比為斜率比rk，rk=kl/kg。5點溫度定義為斜率切線的交點溫度Tcr'，其值可反映工質(zhì)臨界溫度的高低。6點溫度定義為頂點溫度Tm。Tcr'與Tm之間的差值為ΔTm。

（1）對濕工質(zhì)，如圖2(a)，由三角形相似得式(1) 。

式中，Δsr為蒸發(fā)溫度Te下兩相區(qū)的熵變。

（2）對干工質(zhì)，如圖2(b)，由三角形相似得式(3)。

（3）對于等熵工質(zhì)，Tcr'=Te+klΔsr，即公式(2)或公式(4)中kg→∞。

因此，干、濕及等熵工質(zhì)的切線交點溫度Tcr'表達式一致，公式(2)或公式(4)為通式。

圖2 頂點溫度與飽和線斜率及斜率切線交點溫度的關(guān)系

由此可推導出工質(zhì)的頂點溫度Tm表達式如式(5)。

2 工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度及其經(jīng)驗公式與偏差

研究表明：工質(zhì)循環(huán)的優(yōu)化工況（即凈輸出功極大值）只存在于蒸發(fā)器傳熱窄點位于工質(zhì)泡點處的情況[18]。基于梯形模型，傳熱窄點位于工質(zhì)泡點時的凈輸出功W表達式為式(6)。

如圖3所示，熱源轉(zhuǎn)折溫度Th,shift所對應的凈功為有極值功向無極值功的轉(zhuǎn)折；當熱源溫度低于該Th,shift時，工質(zhì)循環(huán)存在優(yōu)化工況，即存在凈功極大值與對應的優(yōu)化蒸發(fā)溫度；當熱源溫度高于該Th,shift時，工質(zhì)循環(huán)凈功不再具有極大值，而是隨蒸發(fā)溫度單調(diào)上升。表明亞臨界有機朗肯循環(huán)中存在著有極值功循環(huán)與無極值功循環(huán)，或功率由有極值向無極值的發(fā)展，如圖4所示。明顯地，熱源轉(zhuǎn)折溫度下的優(yōu)化工況為優(yōu)化工況的最高工況，即熱源轉(zhuǎn)折溫度Th,shift所對應的優(yōu)化蒸發(fā)溫度Te,opt_M與凈輸出功極值Wmax_M是優(yōu)化工況的最高值。

研究表明，除凈功的轉(zhuǎn)折線與對應的工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度，還存在另外兩條凈功特征線與對應的工質(zhì)熱源特征溫度[19]，如圖3所示：①熱源轉(zhuǎn)變點溫度Th,turn，蒸發(fā)溫度趨近于工質(zhì)臨界溫度時，凈功由一直下降出現(xiàn)向上增加趨勢，對應的熱源溫度定義為熱源轉(zhuǎn)變點溫度Th,turn；②熱源上限溫度Th,up，蒸發(fā)溫度趨近于工質(zhì)臨界溫度時，凈功由一直上升出現(xiàn)下降趨勢，對應的熱源溫度定義為熱源上限溫度Th,up。

表1給出了21種工質(zhì)在蒸發(fā)器傳熱窄點溫差5℃和冷凝溫度35℃下，有機朗肯循環(huán)中工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度，其中文獻[19]的計算精確度為0.1℃，本文為0.01℃。表2給出了R227ea的熱源轉(zhuǎn)折溫度隨窄點溫差（0～20℃）的變化。結(jié)果表明：①工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度隨蒸發(fā)器傳熱窄點溫差成近似的線性關(guān)系；②熱源轉(zhuǎn)折溫度所對應的最高優(yōu)化工況：最高優(yōu)化蒸發(fā)溫度Te,opt_M與最大凈輸功極值Wmax_M不隨蒸發(fā)器窄點溫差而變化。

圖3 工質(zhì)R227ea循環(huán)凈功特征線與對應的熱源水特征溫度

圖4 一定熱源水溫度，不同臨界溫度工質(zhì)的循環(huán)凈功比較

表1 工質(zhì)的熱源轉(zhuǎn)折溫度（ΔTp=5℃，Tc=35℃）

表2 R227ea在不同窄點溫差下的熱源轉(zhuǎn)折溫度及其最高優(yōu)化工況值

通過對大量工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度的計算與擬合，可推導出有機朗肯循環(huán)中工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度的經(jīng)驗公式，如式(9)。

表1給出了熱源轉(zhuǎn)折溫度經(jīng)驗公式與有機朗肯循環(huán)數(shù)值計算之間的偏差，二者的偏差較小，其中最大偏差為R600的1.97%。表明該經(jīng)驗公式可用于有機朗肯循環(huán)工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度的模擬計算。

3 線性飽和線工質(zhì)模型與熱源轉(zhuǎn)折溫度及其理論公式

為簡化分析，將工質(zhì)的飽和液線與飽和氣線簡化為直線，構(gòu)成線性飽和線工質(zhì)，如圖5。這樣，線性飽和線工質(zhì)的飽和液線斜率kl與飽和氣線斜率kg不隨溫度而變化，為常量。

圖5 線性飽和線工質(zhì)模型

此時，線性飽和線工質(zhì)的臨界溫度Tcr即為交點溫度Tcr'。所以，公式(2)可寫為式(10)。

蒸發(fā)溫度處的潛熱r=Te×Δsr，代入工質(zhì)流量得到式(11)。

當蒸發(fā)溫度Te達到頂點，即臨界溫度Tcr處，則為工質(zhì)的熱源轉(zhuǎn)折溫度（Th,shift_id），如式(14)。

式(14)表明：工質(zhì)的熱源轉(zhuǎn)折溫度與工質(zhì)的臨界溫度及蒸發(fā)器窄點溫差分別成線性關(guān)系，與前述的ORC分析結(jié)論相一致。

因此，由式(15)計算出的優(yōu)化工況則為最高優(yōu)化工況，即最高優(yōu)化蒸發(fā)溫度與最大凈功極值。

但是由于mw并不是Te的一元函數(shù)，還是rk和cp的函數(shù)，所以式(14)會有偏差。取線性飽和線工質(zhì)的臨界溫度Tcr范圍90～200℃，斜率比rk為–2～0.35，對公式(14)的偏差進行計算如下。

當rk=0（即等熵工質(zhì)）時，偏差范圍為0～00.15℃，可以不用修正，仍采用式(14)。

當rk＞0（即干工質(zhì)）時，偏差范圍為0.15～– 0.05℃，可以不用修正，仍采用式(14)。

當rk＜0（即濕工質(zhì)）時，修正為式(16)。

表3給出了臨界溫度Tcr150℃下，線性飽和線工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度Th,shift_id的梯形循環(huán)數(shù)值計算與理論公式(14)或修正式(16)的計算結(jié)果。大量計算表明：在斜率比rk為–2～0.35范圍內(nèi)，線性飽和線工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度的梯形循環(huán)數(shù)值計算與上述理論公式(14)或修正式(16)之間的最大偏差分別為：Tcr=100℃時為0.25%，Tcr=150℃時為0.24%，Tcr=200℃時為0.68%。

表3 線性飽和線工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度下的優(yōu)化工況與斜率比的關(guān)系（Tcr=150℃；ΔTp=5℃）

4 線性飽和線工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度下的優(yōu)化工況及其特征

由前述分析，工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度Th,shifit_id下的優(yōu)化工況為最高優(yōu)化工況，即最高優(yōu)化蒸發(fā)溫度Te,opt_M與最大凈功極值Wmax_M。

式(15)工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度下凈功計算式中無窄點溫差 ΔTp，表明熱源轉(zhuǎn)折溫度下的凈功與窄點溫差無關(guān)，由此可推論：熱源轉(zhuǎn)折溫度下的最高優(yōu)化工況參數(shù)（Te,opt_M、Wmax_M）也與窄點溫差無關(guān)，與前述ORC的分析結(jié)論相一致。

下面具體計算與分析熱源轉(zhuǎn)折溫度下的優(yōu)化工況隨斜率比的變化。假設計算條件為：熱源水進口溫度為工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度Th,shifit_id，熱源水流量mh為1kg/s，冷凝溫度Tc為35℃，蒸發(fā)器窄點溫差ΔTp為5℃；線性飽和線工質(zhì)的臨界溫度Tcr設為150℃，斜率比rk為–2～0.35，計算結(jié)果見表3。表明最高優(yōu)化工況隨斜率比rk單調(diào)增加，至干工質(zhì)時，最高優(yōu)化工況達到工質(zhì)的臨界點。由于蒸發(fā)溫度為Tcr時，熱源進出口已無溫差，可取比Tcr稍低的溫度，如Tcr–0.5進行計算。

5 結(jié)論

有機朗肯循環(huán)中存在有極值功循環(huán)與無極值功循環(huán)，即存在一種凈功的轉(zhuǎn)折線與所對應的工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度，它對工質(zhì)的選擇與循環(huán)性能評價具有指標性的作用?；谔菪窝h(huán)及其理論模型，本文建立工質(zhì)飽和線形狀（飽和液線斜率、飽和氣線斜率及其斜率比與臨界溫度）及物性為自變量的數(shù)學關(guān)系，并提出和定義了線性飽和線工質(zhì)模型，建立循環(huán)性能與工質(zhì)物性之間的數(shù)學關(guān)系。分別推導出有機朗肯循環(huán)中工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度的經(jīng)驗公式，以及梯形循環(huán)中線性飽和線工質(zhì)的熱源轉(zhuǎn)折溫度理論公式及其修正。研究熱源轉(zhuǎn)折溫度及其對應的優(yōu)化工況的特征與一般性規(guī)律。得到如下結(jié)論。

（1）計算表明，21種工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度的有機朗肯循環(huán)數(shù)值計算與經(jīng)驗公式之間的偏差小于1.97%。

（2）有機朗肯循環(huán)中，工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度與蒸發(fā)器窄點溫差成線性關(guān)系，熱源轉(zhuǎn)折溫度所對應的最高優(yōu)化工況（最高優(yōu)化蒸發(fā)溫度與最大凈功極值）不隨蒸發(fā)器窄點溫差而變化。

（3）線性飽和線工質(zhì)模型下，推導出工質(zhì)熱源轉(zhuǎn)折溫度Th,shift_id的理論公式，為臨界溫度與蒸發(fā)器窄點溫差之和，其中濕工質(zhì)要進行一定的修正。Th,shift_id下的最高優(yōu)化工況（最高優(yōu)化蒸發(fā)溫度Te,opt_M與最大凈功極值Wmax_M）隨斜率比單調(diào)增加，至干工質(zhì)時，最高優(yōu)化工況接近工質(zhì)的臨界點。

符號說明

c—— 比熱容，J/(kg·K)

Ja—— 雅克比數(shù)，J/J

k—— 斜率，K2·kg/J

m—— 質(zhì)量流量，kg/s

q—— 比吸熱量，J/kg

r—— 斜率比，kl/kg，量綱為1

s—— 比熵，J/(kg·K)

T—— 溫度，K或℃

W—— 凈輸出功，J

w—— 比功，J/kg

η—— 熱效率，%

上、下角標

c —— 冷凝

cr —— 臨界

e —— 蒸發(fā)

h —— 熱源

i —— 進口

m —— 頂點

max —— 極大值

opt —— 優(yōu)化

ORC —— 有機朗肯循環(huán)

p —— 壓力

shift —— 轉(zhuǎn)折

TPC—— 梯形循環(huán)

w—— 工質(zhì)

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Shift-temperature of heating fluid and its characteristics for working fluid in organic Rankine cycle

LI Xinguo，WANG Wei，ZHAI Zhe，NAN Laifu，WANG Jingyi
（School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300350，China）

The existence of the maximum power cycle and no maximum power cycle in organic Rankine cycle（ORC）means that there is a kind of shift-curve of net power output and its corresponding shift-temperature of heating fluid for the working fluids; which played an index function in the selection of the working fluids and the evaluation of the cycle performance. Based on trapezoidal cycle and its theoretical model，the relation and formulas of the saturated line shape（saturated liquid line slope，saturated gas line slope and its ratio and critical temperature）and thermal properties of the working fluids as variables were established. The model of working fluid with linear saturated line was proposed and defined. The mathematical model and relation between the cycle performance and properties of the working fluids were built. The empirical equations of the shift-temperature of heating fluid for the working fluid in ORC and the theoretical equations of the shift-temperature of heating fluid in working fluid with linear saturated line were derived，respectively. The characteristics and general principles of the shift-temperature of heating fluid and its corresponding optimum condition were investigated. Results showed that the deviation of shift-temperature of heating fluid with 21 working fluids between empirical equations and numerical simulations in ORC was less than 1.97%.The shift-temperature of heating fluid in model of working fluid with linear saturated line is the additionof the critical temperature of working fluid and the pinch point temperature difference of evaporator.The maximum optimal conditions（maximum optimal evaporation temperature and maximum net power output）corresponding to the shift-temperature of heating fluid increases with the ratio of the saturated line slope, which will be close to the critical point of the working fluid when it becomes the dry working fluid.

organic Rankine cycle；trapezoidal cycle；working fluid with linear saturated line；shift-temperature of heating fluid for working fluid；maximum optimum condition

TK123

：A

：1000-6613（2017）09-3223-08

10.16085/j.issn.1000-6613.2017-0056

2017-01-10；修改稿日期：2017-05-08。

國家自然科學基金項目（51276122）。

及聯(lián)系人：李新國（1965—），男，博士，教授，主要從事工程熱力學研究。E-mail：xgli@tju.edu.cn。