白金強

（河北省高碑店市教師發(fā)展中心）

一道數(shù)學(xué)題的一題多變
——深化價值引領(lǐng)，凸顯數(shù)學(xué)思考

白金強

（河北省高碑店市教師發(fā)展中心）

一題多解強調(diào)多角度審視問題；一題多變則強調(diào)對原題的題干和結(jié)論的不斷變化進行的深層次探索，兩者的有機結(jié)合對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維有重要的作用.從一道題目的多種解法出發(fā)，通過不斷改變習(xí)題的條件，進一步挖掘習(xí)題的思維價值，達到深化價值引領(lǐng)，凸顯數(shù)學(xué)思考.

價值引領(lǐng)；一題多解；一題多變

一題多解強調(diào)從多角度審視和分析問題，對開發(fā)解題潛能，提高解決綜合問題的能力有很重要的作用.而一題多變則可以使學(xué)生克服思維定勢的影響，不局限于某一方面的思考，多角度、多方位地創(chuàng)設(shè)問題、解決問題，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新意識.一題多變強調(diào)不能僅僅停留在對原習(xí)題的解法探索上，而應(yīng)適當(dāng)?shù)?、有機地對原習(xí)題的題干和結(jié)論進行深層次的探索，把解題方法遷移到新的情境中.

數(shù)學(xué)家波利亞認為，一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生挖掘題目的各個方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅相在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》中也指出，必須重視很多習(xí)題潛存著進一步擴展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性……

下面筆者以一道習(xí)題為例，探索如何從一題多解到一題多變，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從多層次、廣視角、全方位地認識、研究問題，以及創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.

原題：如圖1，點O將線段DA平分，分別以O(shè)D，OA為邊在線段DA的同側(cè)作等邊三角形OCD和等邊三角形AOB，連接AC，DB，這兩條線段交于點E，連接CB，求∠AEB.

圖1

針對這道題筆者總結(jié)出了三種解題思路，即分別是應(yīng)用三角形全等知識、四邊形相關(guān)知識、圓相關(guān)知識，其中運用圓相關(guān)知識解答最簡捷.

一道數(shù)學(xué)題，由于思考的角度不同可以得到多種不同的解法，尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展觀察、想象、探索及思維能力.而通過變化則可以進一步深化試題的價值引領(lǐng)，凸顯數(shù)學(xué)思考，一題多變則是課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)予以關(guān)注的重要一點.

首先從題目中的條件變化開始，思考特殊的條件，能不能不取特殊點呢？且看下面幾種變化情形.

一、分點改變，三角形不變

如圖2，點O為DA上任意一點（O不再是DA的中點），以O(shè)D，OA為邊在DA同側(cè)分別作等邊三角形OCD和等邊三角形AOB，連接AC，DB，這兩條線段交于點E，連接CB，求∠AEB.

解：因為△OCD和△OAB均為等邊三角形，

所以可證明△DOB≌△COA.

所以∠DBO=∠CAO.

所以∠AEB=∠BOA=∠COD=60°.

圖2

二、分點不變，三角形改變

1.頂角相等的等腰三角形

如圖3，O為DA中點，分別以O(shè)D，OA為腰在線段DA的同側(cè)作等腰三角形OCD和等腰三角形AOB，∠DOC=∠AOB，連接AC，DB，這兩條線段交于點E，連接CB，求∠AEB，∠COD和∠AOB之間的關(guān)系.

圖3

解：（方法1） 由OD=OC，OB=OA，∠DOC=∠AOB，可證△BOD≌△AOC.

所以∠DBO=∠CAO.

所以∠AEB=∠AOB=∠COD.

（方法2）以點O為圓心作圓，運用圓內(nèi)角和圓心角有關(guān)知識也能簡捷求解.

這時所求∠AEB為兩個等腰三角形頂角度數(shù)和的一半.

2.頂角不相等的等腰三角形

如圖4，點O將線段DA平分，分別以O(shè)D，OA為腰在線段DA的同側(cè)作等腰三角形OCD和等腰三角形AOB，連接AC，DB，這兩條線段交于點E連 接CB， 求 ∠AEB， ∠COD 和∠AOB之間的關(guān)系.

圖4

解：以點O為圓心，OD為半徑作圓，則利用圓內(nèi)角和圓心角的定義可求出∠AEB=∠ACB+∠CBD=.

這時所求∠AEB依然為兩個等腰三角形頂角度數(shù)和的一半.

三、分點、三角形均改變

1.分點任意，頂角相等的等腰三角形

如圖5，點O為DA上任意一點，分別以O(shè)D，OA為腰在線段DA的同側(cè)作等腰三角形OCD和等腰三角形AOB，∠DOC=∠AOB，連接AC，DB，這兩條線段交于點E，連接CB，求∠AEB，∠COD和∠AOB之間的關(guān)系.

圖5

解：由OD=OC，OB=OA，∠DOC=∠AOB，可證△BOD≌△AOC.

所以∠DBO=∠CAO.

所以∠AEB=∠AOB=∠COD.

所求∠AEB依然為兩個等腰三角形頂角度數(shù)和的一半.

2.分點任意，兩個相似三角形

如圖6，點O為DA上任意一點，滿足△DOC∽△BOA，連接AC，DB，這兩條線段交于點E，連接CB，求∠AEB，∠COD和∠AOB之間的關(guān)系.

圖6

又因為∠COD=∠AOB，

所以∠DOB=∠COA.

所以△DOB∽△COA.

所以∠ACO=∠ADE.

而 ∠AEB= ∠ADE+ ∠DAC， ∠COD= ∠DAC+∠ACO，

所以∠AEB=∠COD=∠AOB.

（方法2）由△DOC∽△BOA，可證點A，B，C，D共圓，繼而很容易求解.

這時所求∠AEB為兩個相似三角形有公共頂點的角的度數(shù)和的一半.

以上研究都是圍繞線段DA和分點展開，如果將三角形落在線段DA邊上的兩條邊，頂點不變分別向上旋轉(zhuǎn)，結(jié)論是否還成立呢？

四、OC，OA不在同一條直線上的情形

1.等邊三角形不變，OA，OB不再共線

如圖7，△AOD和△OBC為等邊三角形，OA=OB，且OA，OB不在同一線段上，求∠BEC，∠DOA和∠BOC之間的關(guān)系.

圖7

解：以點O為圓心，OA為半徑作圓，運用圓的有關(guān)知識不難求出∠BEC.

2.等腰三角形，OA，OB不再共線

如圖8，△AOD和△OBC為等腰三角形，OA=OD=OC=OB，且OA，OB不在同一線段上，求∠BEC.

圖8

解：以點O為圓心，OA為半徑作圓，同樣運用圓的有關(guān)知識不難求出∠BEC.

借助幾何畫板軟件這個工具可以把“兩個三角形在DA的同側(cè)”這個條件通過旋轉(zhuǎn)改變?yōu)椴辉谕瑐?cè)，符合前面條件的結(jié)論依然成立（有興趣的讀者可自行研究，限于篇幅，本文不再贅述）.

筆者以為，一道好的數(shù)學(xué)題的價值不只是體現(xiàn)在有多少種方法能求解，哪種方法簡捷上，如果只是單純的、孤立的去解答它，那么再好的解法充其量只不過是解決了一個問題.數(shù)學(xué)解題的價值在于培養(yǎng)學(xué)生從特殊中尋找一般規(guī)律的能力，因為一般性往往蘊含在特殊性中，既要重視一題多解，更要關(guān)注一題多變，在變中發(fā)現(xiàn)問題、引發(fā)思考，在思考中深化價值引領(lǐng).

［1］楊振德.關(guān)注價值引領(lǐng)凸顯數(shù)學(xué)思考［J］.基礎(chǔ)教育課程，2015（24）：17.

［2］任勇.任勇的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)主張［M］.北京：中國輕工業(yè)出版社，2012.

［3］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2017—06—05

白金強（1967—），男，中學(xué)高級教師，主要從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.