華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 鄭育玲 卓健民

“怎樣解題”表在離散型隨機(jī)變量問題中的運(yùn)用

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 鄭育玲 卓健民

波利亞“怎樣解題”表集中體現(xiàn)其探索法與元認(rèn)知思想,在函數(shù)、方程、立體幾何、解析幾何等方面的解題教學(xué)中應(yīng)用廣泛.目前關(guān)于離散型隨機(jī)變量問題的解題研究并不多,這可能是因?yàn)楦怕蕟栴}具有的“隨機(jī)性”特征與通常的函數(shù)、幾何問題不同.特此設(shè)計(jì)離散型隨機(jī)變量分布列的解題表(表1),在繼承波利亞“怎樣解題”表思路的同時(shí),體現(xiàn)離散型隨機(jī)變量問題的特殊性.本文將通過兩個(gè)典型例子來說明“怎樣解題”表在離散型隨機(jī)變量問題中的運(yùn)用.

表1 離散型隨機(jī)變量分布列的解題表

回顧反思,構(gòu)建知識(shí)遷移?你能檢查你的答案嗎?概率是非負(fù)數(shù)嗎?分布列的概率之和是否等于1??你可以換個(gè)角度看這個(gè)問題嗎?能不能用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果??如果改變了條件,你會(huì)解決這個(gè)問題的變式嗎?能否把題目或這種方法解決其他問題?

例1.(2015福建)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤,該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢時(shí),發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直到該銀行卡被鎖定.求:(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

弄清問題,確定隨機(jī)變量

盯住目標(biāo)!問題要求我們要求我們做什么?隨機(jī)變量是什么?

引導(dǎo)學(xué)生把注意力集中到未知數(shù)上—要求當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望,隨機(jī)變量X表示嘗試密碼的次數(shù).

與隨機(jī)變量相關(guān)的條件有哪些?隨機(jī)變量是X可能取值是什么?你可以列出來嗎?

尋找與未知數(shù)密切聯(lián)系的已知條件— 與隨機(jī)變量X相關(guān)的條件有:出現(xiàn)3次嘗試錯(cuò)誤銀行卡就會(huì)被鎖定,正確密碼是常用的6個(gè)密碼之一,不重復(fù)地隨機(jī)選擇一個(gè)進(jìn)行嘗試.因此,有可能嘗試一次就正確,有可能需要嘗試兩次,最多嘗試三次.對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量X的取值為1,2,3.

擬定計(jì)劃,探究概率分布

怎么求對(duì)應(yīng)取值的概率?具體說說隨機(jī)變量不同取值時(shí)代表什么意思?

組織問題特征,分析所有可能情形— “X=1”表示小王作出了第一次嘗試并且正確;“X=2”表示小王第一次嘗試錯(cuò)誤,作出第二次嘗試并且正確;“X=3”表示小王第一次和第二次嘗試均錯(cuò)誤,作出第三次嘗試,而第三次嘗試正確或者錯(cuò)誤均有可能.

我們先考慮“X=1”時(shí)的概率,你能引入符號(hào)表示第一次嘗試正確這一事件嗎?

引入符號(hào),具體分析每一情形— 記A表示“第一次嘗試并且正確”的事件.

此時(shí)將隨機(jī)變量取值為1的概率轉(zhuǎn)化為求事件A的概率,那么事件的概率怎么求?你能想到基本事件的概率公式嗎?

由古典概型的概率公式

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)為1,而基本事件總數(shù)為6,因此P(A)=對(duì)應(yīng)“X=1”時(shí)的概率是多少呢?

類似地,你能用符號(hào)表示“第二次嘗試并且正確”的事件嗎?此時(shí)“X=2”的概率怎么求?第三次呢?“X=3”的概率呢?

記B表示“小王第二次嘗試并且正確”的事件,由概率公式

并且由題目條件“小王不重復(fù)地隨機(jī)選取”知此時(shí)的基本事件總數(shù)為5,包含的基本事件數(shù)仍為1,則P(B)=依據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式我們可以得到

記C表示“小王第三次嘗試并且正確”的事件,由概率公式

并且由題目條件“小王不重復(fù)地隨機(jī)選取”知此時(shí)的基本事件總數(shù)為4,C包含的基本事件數(shù)仍為1,則P(C)=我們知道,不管第三次嘗試是否成功,都不可能再進(jìn)行下一次.依據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式我們可以得到

求出隨機(jī)變量各取值對(duì)應(yīng)的概率之后,根據(jù)公式便能求出隨機(jī)變量的期望.

執(zhí)行計(jì)劃,落實(shí)解題步驟

現(xiàn)在可以把你的解題計(jì)劃付諸實(shí)施了,你能清楚地看出每一步驟是正確的嗎?

落實(shí)與檢查每一步驟— 依題意得,X所有可能取值是1,2,3.

所以X的分布列為

X 1 2 3 P 1 1 2 6 6 3

所以

回顧反思,構(gòu)建知識(shí)遷移

你能檢驗(yàn)?zāi)愕拇鸢竼?每一步的推理是否合理的、有效的?計(jì)算是否正確?分布列的概率之和是否等于1?

學(xué)生基本上都能識(shí)別題目的背景實(shí)質(zhì)上就是不放回的隨機(jī)試驗(yàn),即從6個(gè)基本事件中不放回地逐個(gè)抽取,直到抽到目標(biāo)為止,隨機(jī)變量X則表示的是抽取次數(shù).與之相對(duì)的則是放回的隨機(jī)試驗(yàn),對(duì)于兩者的區(qū)分是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的薄弱之處,也是高考當(dāng)中的熱點(diǎn).因此,在這里教師明確指出并正確引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行區(qū)分與遷移是很有必要的.

例2. 為了解某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的體重情況,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出了頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的前三個(gè)小組的頻率之比為1:2:3,其中第2個(gè)小組的頻數(shù)為4.

(1)求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù);

(2)若從該校報(bào)考飛行員的同學(xué)中任選3人,設(shè)X為表示體重超過60 kg的學(xué)生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.根據(jù)頻率分布直方圖的知識(shí),學(xué)生不難求得該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)為16.

圖1

下面將結(jié)合波利亞怎樣解題的思想對(duì)第二問進(jìn)行分析.

弄清問題,確定隨機(jī)變量

問題要求我們做什么?隨機(jī)變量是什么?

引導(dǎo)學(xué)生把注意力集中到未知數(shù)上— 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.是從該校報(bào)考飛行員的同學(xué)中任選3人,體重超過60 kg的學(xué)生人數(shù).

與隨機(jī)變量相關(guān)的條件是什么?隨機(jī)變量的取值可以是多少?你可以列出來嗎?

進(jìn)一步了解問題的已知數(shù)和條件— 已知該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)為16人,其中體重超過60kg的有10人,不超過60 kg的有6人.隨機(jī)變量的取值可以為0,1,2,3.

擬定計(jì)劃,探究概率分布

你想起一個(gè)求隨機(jī)變量分布列的熟悉問題嗎?在那里你是怎樣解決的?

激活求離散型隨機(jī)變量分布列的一般模式— 要求X的分布列,需要知道隨機(jī)變量每一個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率.

隨機(jī)變量為1是什么意思?你可以求出隨機(jī)變量為1時(shí)的概率嗎?這里有沒有一些隱含的條件?

組織問題特征,分析特殊情形— 隨機(jī)變量為1指的是從60名學(xué)生中選得的3名學(xué)生中,有1名體重超過60kg,其余2名體重不超過60 kg.其中,前1名學(xué)生來自體重超過60 kg的10人,后兩名學(xué)生來自體重不超過60 kg的6人.容易聯(lián)想到古典概型的計(jì)算公式,

而16名學(xué)生任選3名隱含著古典概型等可能性與有限性的條件.

你可以求出隨機(jī)變量為其它值時(shí)的概率嗎?你是否能夠想到一個(gè)熟悉的概率模型?

歸納一般情形,識(shí)別概率模型— 在這里學(xué)生也許已經(jīng)能夠發(fā)現(xiàn)超幾何分布是本題背后的概率類型,但也有可能繼續(xù)沿著上面的思路,分析隨機(jī)變量為其它特殊值的情形,然后才注意到超幾何分布的模型特征.無論是哪一種情況,它們都經(jīng)歷從特殊到一般的探索思路.這種分析問題的策略有助于充實(shí)問題的條件,促使產(chǎn)生解決問題的啟發(fā).

執(zhí)行計(jì)劃,落實(shí)解題步驟

現(xiàn)在可以把你的解題計(jì)劃付諸實(shí)施了.你能清楚地看出每一步驟是正確的嗎?落實(shí)與檢查每一步驟— 為了真正掌握離散型隨機(jī)變量分布列問題求解的一般方法,學(xué)生有必要自主落實(shí)與檢查每一步驟.當(dāng)學(xué)生滿意地看出最終的思路—本題確實(shí)滿足超幾何分布的條件、隨機(jī)變量的取值與實(shí)際相符、概率與期望公式運(yùn)用正確,他們也不那么容易忘記.

回顧反思,構(gòu)建知識(shí)遷移

你能檢驗(yàn)?zāi)愕拇鸢竼?分布列的概率之和是否等于1?數(shù)學(xué)期望的計(jì)算結(jié)果是否合理?

如果改變了條件,你會(huì)解決這個(gè)問題的變式嗎?

(2?)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù),若從全省報(bào)考飛行員的同學(xué)中(人數(shù)很多)任選3人,設(shè)X表示體重超過60 kg的學(xué)生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

變式明確要求“以這所學(xué)校的樣本來估計(jì)總體數(shù)據(jù)”,其含義是用頻率估計(jì)概率,即運(yùn)用16人中每個(gè)人超過60 kg的頻率代替全省每位學(xué)生體重超過60 kg的概率.原題從16人中任選3人可以看做復(fù)合試驗(yàn),先在16人中任選1人,再從剩余的15人中選1人……每次試驗(yàn)的條件均不相同;而變式題是從全省報(bào)考飛行員的同學(xué)中(人數(shù)很多)抽取3人,考查體重超過60 kg的學(xué)生人數(shù),隨機(jī)試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的且每次成功概率不變,因此滿足二項(xiàng)分布的條件.

隨機(jī)變量的分布列為:

X 0 1 2 3 P 27 135 225 125 512 512 512 512

通過變式題,學(xué)生不僅能夠注意到二項(xiàng)分布與超幾何分布的差異,細(xì)心的學(xué)生還能夠發(fā)現(xiàn)兩者之間存在著某種聯(lián)系— 兩道題目的期望相同.這為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究、深化對(duì)離散型隨機(jī)變量理解創(chuàng)造了一個(gè)良好的機(jī)會(huì).

本文結(jié)合波利亞怎樣解題的思想與離散型隨機(jī)變量的問題特點(diǎn),通過典型例子來談離散型隨機(jī)變量分布列的解題教學(xué),對(duì)問題多次表征,引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別概率模型,通過回顧反思,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移.