廣東北江中學(xué)(512026) 葉浩山

含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題解法探究及推廣應(yīng)用

廣東北江中學(xué)(512026) 葉浩山

本文通過(guò)一個(gè)含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題,分析學(xué)生解決這類(lèi)問(wèn)題思維受阻的原因,指出處理這類(lèi)問(wèn)題雖然有分離參數(shù),數(shù)形結(jié)合等解題思路,但實(shí)際操作中往往進(jìn)行不下去的原因.提出解決這類(lèi)問(wèn)題的思路,得出處理含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的策略.

參數(shù) 不等式 恒成立 函數(shù)極值

一.問(wèn)題的提出

筆者在給高三理科學(xué)生復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用時(shí),給學(xué)生布置如下的一道作業(yè)題:

題目 已知函數(shù)f(x)=aex?x+b,g(x)=x?ln(x+1),(a,b∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),且曲線y=f(x)與y=g(x)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線相同.

(1)求f(x)的最小值;

(2)若x≥0時(shí),f(x)≥kg(x)恒成立,試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

此題選自一份高考模擬試卷的壓軸題.筆者批改這道作業(yè)題時(shí),發(fā)現(xiàn)有超過(guò)的學(xué)生,第二問(wèn)是空白的,全班54位同學(xué),能正確解出答案的只有7人!

通過(guò)了解情況得知,學(xué)生解這道題思維受阻主要有如下兩方面的原因:(1)對(duì)于第二問(wèn),首先想到分離參數(shù),由f(x)≥kg(x),得:ex?x?1≥k[x?ln(x+1)],注意到x≥ ln(x+1)(當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)),于是,當(dāng)x＞ 0時(shí),k≤若記將f(x)≥kg(x)恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k≤hmin(x),即歸結(jié)為求函數(shù)h(x)的最小值問(wèn)題.此時(shí),絕大部分學(xué)生都放棄這種思路,因?yàn)閔(x)太復(fù)雜了,一階、二次導(dǎo)數(shù)都難以處理!

(2)對(duì)于第二問(wèn),由f(x)≥ kg(x),得:ex?x?1≥k[x?ln(x+1)],于是得:ex?x?1?k[x?ln(x+1)]≥0,記F(x)=ex?x?1?k[x?ln(x+1)],將f(x)≥kg(x)恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為Fmin(x)≥0,于是只要求出F(x)=ex?x?1?k[x?ln(x+1)]的最小值,由于F′(x)=至此,學(xué)生毫無(wú)頭緒!有些學(xué)生嘗試二次求導(dǎo),還是找不到處理的思路,于是選擇了放棄!

筆者找到這道題目命題者給出的參考答案:第(1)問(wèn)略;(2)由(1)知,f(x)≥ 0,即ex≥ x+1,從而x≥ ln(x+1),即g(x)≥0.設(shè)F(x)=f(x)?kg(x)=ex+k ln(x+1)? (k+1)x ? 1,則 F′(x)=ex+?(k+1)≥x+1+?(k+1),

(1)當(dāng)k=1時(shí),因?yàn)閤 ≥ 0,所以 F′(x)≥ x+0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立)此時(shí),F(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,從而F(x)≥ F(0)=0,即f(x)≥kg(x).

(2)當(dāng)k＜ 1時(shí),由于g(x)≥ 0,所以g(x)≥ kg(x),又由(1)知,f(x)?g(x)≥ 0,所以f(x)≥ g(x)≥ kg(x),故F(x)≥0,即f(x)≥kg(x).(此步也可以直接證k≤1)

(3)當(dāng)k ＞ 1時(shí),令h(x)=ex+則顯然 h′(x)在 [0,+∞)上單調(diào)遞增,又 h′(0)=1 ? k ＜ 0,所以 h′(x)在上存在唯一零點(diǎn)x0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h′(x)＜ 0,所以h(x)在[0,x0)上單調(diào)遞減,從而h(x)＜h(0)=0,即F′(x)＜0,所以F(x)在[0,x0)上單調(diào)遞減,從而當(dāng)x0∈(0,x0)時(shí),F(x)＜F(0)=0,即f(x)＜kg(x),不合題意.綜上,實(shí)數(shù)k的取值范圍為(?∞,1].

閱讀解法之后,筆者有兩點(diǎn)疑問(wèn),一.如果不熟悉經(jīng)典不等式ex≥x+1,x≥ln(x+1)(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立),是怎么想到將k分為k=1;k＜1;k＞1三種情況來(lái)討論?二.命題者提供的解法具有特殊性,解法不自然,學(xué)生可能能看懂,但只是限于看懂這道題,換個(gè)同類(lèi)型的題目,可能又不會(huì)了!含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的一般解法是什么?

二.問(wèn)題的解決

筆者經(jīng)過(guò)研究,發(fā)現(xiàn)此題用分離參數(shù)的方法確實(shí)是運(yùn)算量過(guò)大.上述思路將若x≥0時(shí),f(x)≥kg(x)恒成立,轉(zhuǎn)化為F(x)=ex?x?1?k[x?ln(x+1)],當(dāng)x≥0時(shí),F(x)=ex?x?1?k[x?ln(x+1)]≥0,即Fmin(x)≥0.這種思路還是有跡可循的!并不是生硬的k分為k=1;k＜1;k＞1三種情況來(lái)討論.由F(x)=ex?x?1?k[x?ln(x+1)],知F(0)=0(此發(fā)現(xiàn)太關(guān)鍵了!)要F(x)=ex?x?1?k[x?ln(x+1)]≥0在[0,+∞)恒成立.只要研究函數(shù)F(x)在x=0附近的單調(diào)性就可以了!而又F′(0)=0,于是要研究的正負(fù),只要研究在x=0附近的單調(diào)性就可以了!而只要對(duì)F′′(0)=1?k的正負(fù)進(jìn)行討論,就可以解決問(wèn)題了!

若 F′′(0)=1 ? k ≥ 0,即 k ≤ 1 時(shí),F′′(x)=所以在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,于是F′(x)≥ F(0)=0,所以函數(shù)F(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,于是F(x)≥F(0)=0,即f(x)≥kg(x)成立.

若 F′′(0)=1 ? k ＜ 0,即 k ＞ 1 時(shí),F′′(x)=由于 k ＞ 1,所以所以函數(shù) F′′(x)在區(qū)間上有零點(diǎn)x0,于是函數(shù)(k+1)在區(qū)間 [0,x0]上單調(diào)遞減,得當(dāng)x∈[0,x0]時(shí),F′(x)≤ F′(0)=0,所以函數(shù) F(x)在區(qū)間 [0,x0]上單調(diào)遞減,得當(dāng)x∈[0,x0]時(shí),F(x)≤F(0)=0,與f(x)≥kg(x)矛盾!舍去.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(?∞,1].

上述思路清晰明了,筆者研究發(fā)現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題具有一般性.對(duì)于不等式f(x)≥ k,在[x0,+∞)上恒成立問(wèn)題,可將f(x0)與k的大小比較作為分類(lèi)討論的依據(jù).而本文中出現(xiàn)的問(wèn)題,還將不等式f(x)≥k,在[x0,+∞)上恒成立問(wèn)題特殊化,有f(x0)=k.這時(shí)只要先求出函數(shù)f(x)在[x0,+∞)上單調(diào)遞增時(shí),參數(shù)的取值范圍為集合A,再說(shuō)明參數(shù)不可能在集合A之外.

三.推廣應(yīng)用

特殊化之后的這類(lèi)含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題,在高考中多次出現(xiàn)!

1.(2006年全國(guó)高考II卷理科第20題)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1).若對(duì)所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2.(2007年全國(guó)高考I卷理科第20題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?e?x.

(I)證明:f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)≥ 2;

(II)若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范圍.

3.(2008年全國(guó)高考I卷理科第20題)設(shè)函數(shù)f(x)=

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)如果對(duì)任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范圍.

4.(2010年全國(guó)新課標(biāo)卷理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2.

(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;若當(dāng)x≥ 0時(shí)f(x)≥0,求 a的取值范圍.

5.(2011年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y?3=0.

(I)求 a、b的值;

6.(2013年高考新課標(biāo)I理科)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過(guò)點(diǎn) P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.(I)求a,b,c的值;(II)若x≥?2時(shí),f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

上述六道高考題,用本文的提出解決含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的一般思路,都能輕松解決!筆者以2013年的高考題為例,運(yùn)用上述解法解決這類(lèi)問(wèn)題.第一問(wèn)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義能輕松求得a=4,b=c=d=2.對(duì)于第二問(wèn),由于記F(x)=kex(2x+2)?x2?4x?2,要f(x)≤kg(x),只要F(x)=kex(2x+2)?x2?4x?2 ≥ 0即可. 而 F′(x)=(kex? 1)(2x+4),F(?2)=?2e?2k+2. 若 F(?2)= ?2e?2k+2 ≥ 0,即 k ≤ e2.由于 x≥ ?2,所以 F′(x)=(kex?1)(2x+4)的正負(fù)取決于函數(shù)h(x)=kex?1在x≥?2時(shí)函數(shù)值的正負(fù).又 h(?2)=ke?2? 1,若 h(?2)=ke?2? 1 ≥ 0時(shí),即k≥e2,結(jié)合前面F(?2)=?2e?2k+2≥0,此時(shí)k=e2,F′(x)=(kex?1)(2x+4)≥ 0,此時(shí)函數(shù)F(x)在[?2,+∞)單調(diào)遞增,所以F(x)≥F(?2)=0,即f(x)≤kg(x)成立.

若 h(?2)=ke?2?1＜ 0時(shí),即 k ＜ e2,若k ≤ 0,h(x)=kex?1＜ 0,從而F′(x)=(kex?1)(2x+4)≤ 0,所以函數(shù)F(x)在[?2,+∞)單調(diào)遞減,所以F(x)≤F(?2).此時(shí)F(x)=kex(2x+2)?x2?4x?2≥0不可能恒成立,即f(x)≤kg(x)不恒成立.

若0＜k＜e2,此時(shí)存在x0=ln使得 x ∈ (?2,x0)時(shí),h(x)=kex?1＜0;x∈(x0,+∞)時(shí),h(x)=kex?1.

所以函數(shù)F(x)在(?2,x0)單調(diào)減,在(x0,+∞)單調(diào)遞增.從而即x0≤0,或x0=ln≤0,所以k≥1,所以1≤k＜e2,此時(shí)f(x)≤ kg(x)成立.若F(?2)= ?2e?2k+2＜ 0,即k＞e2,F(x)=kex(2x+2)?x2?4x?2≥0不可能恒成立,即f(x)≤kg(x)不恒成立.綜上所述,當(dāng)0≤k≤e2時(shí),f(x)≤kg(x)成立.

對(duì)比所給的參考答案發(fā)現(xiàn),上述解法思路清晰自然,學(xué)生容易接受,將這一類(lèi)含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題難度降低.