廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 吳統(tǒng)勝

有關(guān)切點(diǎn)弦問(wèn)題的說(shuō)題感悟與拓展

廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 吳統(tǒng)勝

本文從一次有關(guān)切點(diǎn)弦問(wèn)題的說(shuō)題展開,不斷將已知條件、結(jié)論等進(jìn)行變式拓展,并結(jié)合由變式拓展得到的高考題,較詳細(xì)地歸納總結(jié)了有關(guān)切點(diǎn)弦問(wèn)題的高考基本題型、解決這類問(wèn)題的基本策略及有關(guān)切線方程、切點(diǎn)弦問(wèn)題的一般化的結(jié)論.

說(shuō)題題目 設(shè)P為直線l:x?y?2=0上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C:x2=4y的兩條切線PA、PB,其中A、B 為切點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程.

圖1

一.學(xué)生情況分析

我校是廣東省重點(diǎn)中學(xué),學(xué)生素質(zhì)相對(duì)較高,但解析幾何中求軌跡問(wèn)題雖在新課中有所涉及,但題型、方法方面學(xué)生掌握還不夠熟練、系統(tǒng)!

二.題目分析

這是一道以拋物線為載體利用參數(shù)法求軌跡方程的問(wèn)題,主要考查了曲線與方程、直線和拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)、求軌跡方程的基本方法、方程化簡(jiǎn)的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力,該題同時(shí)還涉及了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,是一道很不錯(cuò)的題目!直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是高考命題的熱點(diǎn),解析幾何的基本思想就是利用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題.

因此在解題過(guò)程中計(jì)算占較大的比重,對(duì)運(yùn)算求解能力的要求較高,其解法主要涉及函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合的思想.求軌跡方程問(wèn)題是解析幾何中的一類重要題型,有時(shí)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查直線與曲線的位置關(guān)系,具有典型性和代表性.解析幾何的解答題往往是中高檔題,常常涉及的內(nèi)容是求軌跡方程、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、對(duì)稱、最值、范圍等.在知識(shí)交匯處命題是解析幾何命題的顯著特征,常與平面向量、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、立體幾何等知識(shí)結(jié)合,考查綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及運(yùn)算求解能力.

求軌跡常用方法有直譯法、定義法、代入法、參數(shù)法、交軌法等,2010年廣東理20(1)考查的是交軌法求軌跡方程,2011年廣東考查的是定義法求軌跡方程.該題原型為2013年廣東理科20題第(II)問(wèn):

題目 已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)

(I)求拋物線C的方程;

(II)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;

(III)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求|AF|·|BF|的最小值.

三.解題分析

設(shè)直線l:x?y?2=0上的定點(diǎn)P(x0,y0),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C:x2=4y的兩條切線PA、PB,其中A、B為切點(diǎn).求兩切點(diǎn)所在直線AB的方程.

求軌跡常用方法有直譯法,定義法,代入法,參數(shù)法,交軌法等,但根據(jù)該題已知條件不可能是直譯法、定義法、交軌法、代入法(即相關(guān)點(diǎn)法),故可考慮參數(shù)法,若采用參數(shù)法,關(guān)鍵是如何引入?yún)?shù),若以切線斜率為參數(shù),設(shè)P(x0,y0),y0=x0?2,再由點(diǎn)斜式設(shè)出設(shè)先分別設(shè)出切線PA、PB方程:y?(x0?2)=k1(x?x0),y?(x0?2)=k2(x?x0),還要利用相切條件,聯(lián)立拋物線C:x2=4y利用判別式等于零去解,求出A、B坐標(biāo)再利用兩點(diǎn)式求直線方程,思路雖清晰簡(jiǎn)單,但顯然過(guò)程太繁瑣,且運(yùn)算量大,不易消元,不妥!

換個(gè)思路,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)A(x1,y1),B(x2,y2),(x1/=x2),以x,x為參數(shù),利用導(dǎo)數(shù)幾何意義,可12表示出切線PA、PB方程,再利用P(x0,y0)在兩切線上,將y0=x0?2代入切線方程看看,邊做邊觀察,邊調(diào)整,設(shè)切線AP的方程為:

切線BP的方程為:

再將P(x0,y0)代入得:y2.如何消去參數(shù)x1,y1,x2,y2?細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)A(x1,y1),B(x2,y2),(x1/=x2)其實(shí)都滿足方程:即都在同一條直線上,故直線AB的方程為:即x0x?2y?2y0=0.

點(diǎn)評(píng) 本題解題關(guān)鍵在于恰當(dāng)引入坐標(biāo)參數(shù)x1,x2,進(jìn)而表示出兩條切線方程,將給出的相切的幾何條件(切線斜率)恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為代數(shù)條件(切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值),再利用P(x0,y0)在兩切線上得y0=x0?2,設(shè)而不求,整體消元得直線AB方程,大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算量.要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納提煉,優(yōu)化解題思維,簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

一般規(guī)律總結(jié):求在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程只需將曲線方程中的x,y,x2,y2分別以,xx0,yy0代換即可得所求切線方程;若過(guò)曲線外一點(diǎn)P(x0,y0)分別作曲線的兩條切線PA,PB,A,B為切點(diǎn),類似地,只需將曲線方程中的x,y,x2,y2分別以xx0,yy0代換即可得切點(diǎn)弦AB所在的直線方程.掌握這個(gè)一般規(guī)律,可以快速準(zhǔn)確地解決有關(guān)切點(diǎn)弦的問(wèn)題.

四.變式拓展

1.將 P(x0,y0)由定·點(diǎn)·變?yōu)橹本€ AB 上的動(dòng)·點(diǎn)·,在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,同時(shí)考查定點(diǎn)問(wèn)題.

拓展1 求證:直線AB恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

解析 將y0=x0?2代入直線AB的方程:x0x?2y?2y0=0,整理得x0(x?2)?2(y?2)=0.令

即直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(2,2).

2.將已知條件中的拋物線改為橢圓

拓展2 設(shè)P為直線l:x?y?2=0上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作橢圓C:+y2=1的兩條切線PA、PB,其中A、B為切點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程并求證直線AB恒過(guò)定點(diǎn).

解析 利用上述總結(jié)的一般規(guī)律將橢圓方程中的x2,y2分別以x0x,y0y代換即可得切點(diǎn)弦AB所在的直線方程+y0y=1,即xx0+3yy0?3=0.再將y0=x0?2代入AB方程得:x0x+3(x0?2)y?3=0,即x0(x+3y)?3(2y+1)=0,令

3.將已知條件中的拋物線改為圓,考查直線與圓、切線長(zhǎng)、最值問(wèn)題

拓展3 設(shè)P為直線l:x?y?2=0上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓C:x2+y2=1的兩條切線PA、PB,其中A、B為切點(diǎn),設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O.

(1)當(dāng)點(diǎn)P為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;

(2)當(dāng)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)時(shí),

①求證:直線AB恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo);

②求切線長(zhǎng)PA、PB的最小值;

③求四邊形PAOB面積的最小值;

④求△AOB面積的最大值.

4.增加圓x2+y2=1的已知條件

拓展4 拋物線y=x2的動(dòng)弦AB所在直線與圓x2+y2=1相切,分別過(guò)點(diǎn)A、B的拋物線的兩條切線相交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程.

又x1+x2=k,x1x2=?b,過(guò)點(diǎn)A的拋物線的切線方程為:y?x21=2x1(x?x1),即

同理過(guò)點(diǎn)B的拋物線的切線方程為:

點(diǎn)評(píng) 增加圓x2+y2=1的已知條件后,在考查拋物線簡(jiǎn)單性質(zhì)的同時(shí)又考查了直線與圓相切、直線與拋物線相交和軌跡問(wèn)題,綜合性強(qiáng),運(yùn)算求解難度大,還考查了思維的嚴(yán)密性,是一道相當(dāng)好的改編題!

5.增加條件:AB是過(guò)拋物線x2=2py(p＞0)焦點(diǎn)F動(dòng)弦

拓展5已知AB是過(guò)拋物線x2=2py(p＞0)焦點(diǎn)F的動(dòng)弦,O是坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線,若兩切線相交于點(diǎn)P.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;

圖2

(2)求證:PA⊥PB.

將拓展5中的條件結(jié)論互換又可得:

拓展6 已知P是拋物線x2=2py(p＞0)準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作此拋物線的切線PA,PB,A,B為兩切點(diǎn)

(1)求點(diǎn)AB過(guò)拋物線焦點(diǎn)F;(2)求證:.PA⊥PB.

拓展7 考查軌跡問(wèn)題及平面幾何證明問(wèn)題

(2005年江西理科22)如圖,設(shè)拋物線C:y=x2的焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)P在直線l:x?y?2=0上運(yùn)動(dòng),過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,且與拋物線C分別相切于A,B兩切點(diǎn).

圖3

(1)求△APB的重心G的軌跡方程;

(2)證明:∠PFA= ∠PFB.

圖4

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若點(diǎn)P(x0,y0)為圓x2+y2=a2+b2上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線分別為PA,AB,A,B為切點(diǎn),求證:PA⊥PB.

若將拓展8中第(2)問(wèn)條件結(jié)論互換可得拓展9,即為2014廣東高考第20題:

拓展9(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.

拓展10 考查定值、面積問(wèn)題

拓展11 考查定點(diǎn)、定值、范圍問(wèn)題

圖5

(3)若存在點(diǎn)P使得△PMN為正三角形,試求橢圓離心率e的取值范圍.

圖6

連接ON,OM,OP,若存在點(diǎn)P使△PMN為正三角形,則在Rt△OPN 中,OP=2ON=2r=c,所以(關(guān)鍵之處!數(shù)形結(jié)合!)a2b2≤c2(a2+b2),a2(a2?c2)≤c2(2a2?c2),得e4?3e2+1≤0.因?yàn)?＜e＜1,所以

點(diǎn)評(píng) 該題可以較好地考查直線、圓、橢圓基礎(chǔ)知識(shí)和定值、范圍等問(wèn)題,考查了考生運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,可以較好地檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

五.感悟反思

從國(guó)際視野的角度看,當(dāng)今的數(shù)學(xué)教育趨勢(shì)就是以理解為價(jià)值取向!以問(wèn)題解決為價(jià)值取向!以數(shù)學(xué)探究為價(jià)值取向!因此,科學(xué)、合理、現(xiàn)代的數(shù)學(xué)高考就是要考數(shù)學(xué)理解!考數(shù)學(xué)問(wèn)題解決!考數(shù)學(xué)探究!教師要抓好課堂教學(xué),在重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的同時(shí),注重提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平.教師要精選習(xí)題,多設(shè)計(jì)能考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容、體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的題目,反映數(shù)、形運(yùn)動(dòng)變化的題目,研究型、探索型或開放型的題目,讓考生獨(dú)立思考,自主探索,發(fā)揮主觀能動(dòng)性,研究問(wèn)題的本質(zhì),尋求合適的解題工具,梳理解題程序,為考生展現(xiàn)創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)揮創(chuàng)造能力創(chuàng)設(shè)廣闊的空間!選題要注重基礎(chǔ)性、典型性、綜合性、啟發(fā)性、開放性和探究性,且要注重一般性的解題規(guī)律和方法(即通性通法);要精選一些一題多變、一題多解、多題歸一、有層次、有拓展的題目開闊學(xué)生思路,使學(xué)生能有新的體會(huì)和收獲;要重視課本中的典型例題、習(xí)題和最近幾年的高考題、高考模擬題,多些對(duì)課本例題、習(xí)題和高考題的進(jìn)行改編與拓展.課堂教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生重視對(duì)函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的感悟及解題規(guī)律的總結(jié)與提升,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

題海無(wú)涯,感悟是岸!數(shù)學(xué)好學(xué)、好用、好玩,要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好、用好、玩好數(shù)學(xué)!