揚州大學數(shù)學科學學院(225002) 茆福星 濮安山

一道含參函數(shù)問題的若干種解法及其應用

揚州大學數(shù)學科學學院(225002) 茆福星 濮安山

最近,筆者的老師給我們上了一節(jié)關(guān)于一題多解的教學案例分析課.課上,老師先要求我們對案例中的題目獨自去解決,然后把我們所有人的解法進行歸類講解,最后帶著我們一起去研讀教學案例.在筆者的中小學階段,從未有過對一道題目如此深入的解答的經(jīng)歷.這次課令筆者對一題多解的價值有了切身的體會,也激發(fā)了筆者課后繼續(xù)對這道題的探究.下面是對這道題的解法以及個人一點淺薄的反思和解法在高考題中的應用.

題目 已知函數(shù)f(x)=(m?2)x2?4mx+2m?6的圖像與x軸的負半軸有公共點,求實數(shù)m的取值范圍.

解法一 討論方程的根

解析①當m?2=0,即m=2時,此時f(x)=?8x?2是一次函數(shù).令f(x)=0,得x=?故 m=2滿足要求.

②m?2/=0,即m/=2時,此時f(x)是二次函數(shù).因為函數(shù)f(x)的圖像與x軸的負半軸有交點?方程f(x)=0有負根,所以本題可以轉(zhuǎn)換為討論方程f(x)=0有負根.若方程f(x)=0有負根,則?≥0,即m≥1或m≤?6,且方程f(x)的兩個根 x1、x2,其中有一根小于0,不妨設x1＜0,而另外一根x2＜0或x2=0或x2＞0.

a.當x1＜0,x2＜0時.x1+x2＜0,x1x2＞0,則1≤m＜2.

b.當x1＜0,x2=0時.f(x2)=f(0)=0則m=3.又x1+x2=12,故x1=12＞0,矛盾.

c.當x1＜0,x2＞0時.x1·x2＜0.則2＜m＜3.綜合①②,得1≤m＜3.

點評 二次項前的系數(shù)含有參數(shù),需要對系數(shù)是否為零進行討論,不要缺失.當系數(shù)為零函數(shù)就是一次函數(shù).系數(shù)不為零時,函數(shù)是二次函數(shù).在高中數(shù)學教材中明確指出函數(shù)圖像與x軸有交點,函數(shù)有零點和相應的方程有實數(shù)根這三句話是兩兩互相等價.解法一將本題轉(zhuǎn)換為方程根的問題,然后用判別式與韋達定理處理.

應用高考 (2014年安徽卷(理))設函數(shù)f(x)=1+(1+a)x?x2?x3,其中a＞0.

(I)討論 f(x)在其定義域上的單調(diào)性;

(II)當 x∈[0,1]時,求f(x)的最大值和最小值時的x的值.

解析 (I)f(x)的定義域為(?∞,+∞),

(II)因為a＞0,所以x1＜0,x2＞0.

①當a≥4時,x2≥1.由(I)知,f(x)在[0,1]上遞增.所以f(x)在x=0和x=1分別取得最小值和最大值.

②當0＜a＜4時,x2＜1,由(I)知,f(x)在[0,x1]上遞增,f(x)在[x1,1]上遞減.所以f(x)在x=x2=處,取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以當0＜a＜1時,f(x)在x=1處取得最小值;當a=1時,f(x)在x=0處和x=1處同時取得最小值;當1＜a＜4時,f(x)在x=0處取得最小值.

解法二 結(jié)合圖像求解

解析①當m?2=0,即m=2時,滿足要求.當m?2/=0即m/=2時,此時f(x)是二次函數(shù),將函數(shù)整理為頂點式:

a.當m?2＞0,即m＞2時,函數(shù)圖像開口向上.又當m＞2時,

即函數(shù)圖像的頂點在直角坐標系的第四象限.則若二次函數(shù)f(x)的圖像與x軸的負半軸有交點,只要滿足f(0)=2m?6＜0,即m＜3,故2＜m＜3.

b.當m?2＜0,即m＜2時,函數(shù)圖像開口向下.若函數(shù)圖像與x軸有交點,則函數(shù)圖像的頂點必須在x軸或者在x軸的上方,于是有頂點的縱坐標

點評 數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學中常見的數(shù)學思想,“數(shù)形結(jié)合”處理問題,往往能較便捷地解答出問題.二次函數(shù)圖像是拋物線,能形象直觀地顯示出函數(shù)的性質(zhì).解法二根據(jù)函數(shù)圖像的開口方向和頂點位置來討論函數(shù)與x軸交點情況.因為決定開口方向的m?2和頂點坐標有同一個參數(shù),所以當開口方向確定時,頂點坐標也有了限制.

應用高考 (2016年全國卷 III(理科))設函數(shù)f(x)=αcos2x+(α?1)(cosx+1),其中α＞0,記|f(x)|的最大值為A.

(I)求f(x);(II)求A;(III)略.

解析 (I)略;(II)當α ≥1時,|f(x)|≤ α+2(α?1)=3α?2=f(0).因此A=3α?2.當0＜α＜1時,將f(x)變形為

令

則A 是 |g(t)|在 [?1,1]上的最大值,g(?1)= α,g(1)=3α?2,且當,g(t)取得極小值,極小值為

解法三 函數(shù)零點的存在性定理

解析①當m=2時,滿足要求.當m/=2時,此時f(x)是二次函數(shù).根據(jù)題意,函數(shù)f(x)的零點中有負數(shù).

綜合①②得1≤m＜3.

點評 高中所研究絕大部分函數(shù)都是連續(xù)的,因此在處理函數(shù)零點問題時,函數(shù)零點的存在性定理也是常有方法.解法三還利用了二次函數(shù)無窮大和無窮小的性質(zhì).

應用高考 (2015年廣東卷(理))設a＞1,函數(shù)f(x)=(1+x2)ex?a.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明:f(x)在(?∞,+∞)上僅有一個零點;

(3)略.

解析 (1)f(x)單調(diào)區(qū)間為(?∞,+∞)(過程略).

(2)取 x1=lna,則

取x0=0,則f(x0)=1?a＜ 0.因為由題設及(1)知,f(x)的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,它單調(diào)遞增,f(x1)＞0,f(x0)＜0.所以f(x)在區(qū)間[x0,x1]上僅有一個零點.所以f(x)在區(qū)間(?∞,+∞)上僅有一個零點.

解法四 分離參數(shù)

解析 令f(x)=0并分離參數(shù)得

令

則函數(shù)f(x)的圖像與x軸的負半軸有交點?函數(shù)y=m的圖像和函數(shù)y=g(x)在(?∞,0)有交點.令g(x)=0得x1=?2,則函數(shù)g(x)在(?∞,?2)內(nèi)單調(diào)遞減,在(?2,0)內(nèi)單調(diào)遞增,在x= ?2處g(x)取最小值.又g(0)=3,g(?2)=1,故1≤m ＜ 3.

點評 解法四這種分離參數(shù)求參數(shù)的取值范圍方法,在處理含參不等式、函數(shù)、方程等問題也是常有的,通過構(gòu)造參數(shù)另一邊的函數(shù),研究其單調(diào)性或值域等性質(zhì),也能求出參數(shù)的范圍.

應用高考 (2016全國卷I(理科))已知函數(shù)f(x)=(x?2)ex+a(x?1)2有兩個零點.

(I)求a的取值范圍;(II)略.

圖1

反思

含參函數(shù)是每年高考必考知識,各種題型都會涉及,也是考生的難點.因此對一道題目多角度的探究它的解法,一方面有助于學生對處理函數(shù)問題的知識思想方法的理解與運用,并在一題多解,對比和反思每個方法的過程中,促進學生遷移能力的形成,發(fā)散思維能力的提高,良好認知結(jié)構(gòu)的形成[1].另一方面也希望多種解法能調(diào)動學生學習的興趣,培養(yǎng)主動探究的精神[2].通過研究高考卷發(fā)現(xiàn),高考中對函數(shù)考查主要集中在兩個方面,在知識方面一般考查函數(shù)的最值,函數(shù)的零點、單調(diào)性等問題;在思想方法上一般考查分類討論、函數(shù)與方程和數(shù)形結(jié)合的思想.

波利亞說:“拿一個有意義又不復雜的題目,去幫助學生發(fā)掘問題的各個方面,使得通過這道題,就好像通過一道門戶,把學生引入一個完整的領域.”考慮到學生的解題能力和思維的差異,從基礎題開始學習研究數(shù)學知識、數(shù)學方法,更容易讓學生理解數(shù)學知識方法.

練習

1.用正難則反法優(yōu)化解法一;用主元變換法找出函數(shù)過的定點,優(yōu)化解法二.

(I)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,并求此時曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(II)若f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),求a的取值范圍.(提示:討論方程的根.)

3.(2014年江蘇卷)已知函數(shù)f(x=x2+mx?1),若對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)＜0成立,則實數(shù)m的取值范圍是___.(提示:結(jié)合圖像解答.)

答案:

4.(2015年四川(理))已知函數(shù)f(x)=?2(x+a)lnx+x2?2ax?2a2+a,其中a＞0.

(I)設g(x)是f(x)的導函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性.

(II)證明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)唯一解.(提示:第二問函數(shù)零點存在性定理)

5.(2014年江蘇卷)已知函數(shù)f(x)=ex+e?x,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);

(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e?x+m?1在(0,+∞)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;(提示:第二問分離參數(shù))

(3)略.

[1]濮安山.例談“一題多解”的數(shù)學教育價值[J].現(xiàn)代中小學教育,2016(7):57–60.

[2]王千.如何認識“一題多解”的教育功能[J].數(shù)學通報,2004(9):10–13.