陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(720000) 劉再平

陜西省鎮(zhèn)巴中學(xué)(723600) 羅新兵

例談數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“三法”觀

陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(720000) 劉再平

陜西省鎮(zhèn)巴中學(xué)(723600) 羅新兵

解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié)之一,掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題,從某種程度上來說,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強有效的解題訓(xùn)練.而如今,解題在眾多專業(yè)數(shù)學(xué)期刊和課堂上呈現(xiàn)出鮮明的一題多解態(tài)勢,有的問題甚至給出了幾十種解法之多,其中不凡一些極為詭異的解法,讓人嘆為觀止、佩服不已!然而在佩服的同時筆者心生疑慮:如此多的解法都有必要鋪天蓋網(wǎng)的呈現(xiàn)給學(xué)生嗎?盲目的一題多解對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的激發(fā)與解題能力的提高真的有很大幫助嗎?面對一題多解我們又該如何取舍呢?下文,筆者根據(jù)自身多年的解題教學(xué)經(jīng)驗,結(jié)合具體實例談?wù)勱P(guān)于解題教學(xué)中的“通法、適用方法、巧法”的一些拙見.

解題教學(xué)中的“三法”:

通法 是處理某一類問題的常規(guī)方法,也是運用基本知識與基本技能直接就可以達(dá)到問題解決的方法,更是解題初學(xué)者最容易想到的方法.因此通法的教學(xué)是夯實基礎(chǔ)知識、形成基本技能與提高解題能力的核心環(huán)節(jié).通法對于多數(shù)學(xué)生來說容易掌握,但通法有時比較繁瑣,不一定是最簡單與最適用的方法.

適用方法 是相對比較簡潔,利于學(xué)生操作,用時較少,效率比較高,但獲得難度往往比通法大的方法.適用方法立足于通法,又高于通法,學(xué)生最好在掌握“雙基”與通法之后,才展開適用方法的解題教學(xué).適用方法是學(xué)生參與高考等解題活動的最理想方法.

巧法 是最為簡潔,效率最高,能充分展示數(shù)學(xué)奇異美,然而又最難掌握的方法.巧法的獲得往往不僅需要學(xué)生具備較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng),而且還要一定的創(chuàng)新思維.適當(dāng)?shù)臐B透巧法對激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、開拓學(xué)生數(shù)學(xué)思維有一定的幫助,然而過度的展開巧法教學(xué),特別是在沒有掌握通法和適用方法時就冒然呈現(xiàn)巧法,反而會大大降低解題教學(xué)的有效性,不僅不利于學(xué)生對基礎(chǔ)知識與基本技能的理解,而且還有違課堂教學(xué)面向全體性的原則.

說明

1.某些問題的通法、適用方法與巧法可能不止一種,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識儲備與實際數(shù)學(xué)水平合理滲透.

2.數(shù)學(xué)解題的實質(zhì)是發(fā)生數(shù)學(xué),而不僅僅是“規(guī)則的簡單重復(fù)”或“技巧的生硬執(zhí)行”,教師在解題教學(xué)中,不論是對通法、適用方法還是巧法的教學(xué),都應(yīng)該充分展示解題過程和暴露解題思維.

3.教師在展開對通法、適用方法與巧法的教學(xué)時,面對一題多解應(yīng)該積極的向?qū)W生滲透多解歸一的思想,以優(yōu)化學(xué)生的解題思維,展示數(shù)學(xué)問題多解的辯證統(tǒng)一美.

(1)求橢圓的方程;

(2)求動點C的軌跡E的方程;

(3)設(shè)直線AC(C點不同于A,B)與直線x=2交于點R,D為線段RB的中點,試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

圖1

分析 此道圓錐曲線試題的前兩小問較為簡單,其答案:(1)橢圓方程為(2)軌跡E的方程為x2+y2=4.第(3)問將圓錐曲線、圓、直線綜合,稍有難度.然而,考慮到要證圓與直線相切,首先就會想到只需證明圓心到直線的距離等于半徑,于是獲得通法;若從向量視角出發(fā),即證可以得到其適用證法;解析幾何與平面幾何聯(lián)系緊密,若立足于平面幾何,不難得到此題的平面幾何證明巧法.

通法 設(shè)點C(m,n),點R(2,t),由題設(shè),A,C,R三點共線,所以平行.

而m2+n2=4,即m2?4=?n2,所以所以直線CD的方程為

化簡得 mx+ny?4=0.則圓心O到直線CD的距離

圖2

故直線 CD與曲線E相切.

巧法 在圖2中,連結(jié)OC、BC,則∠ACB=90?,由題D為線段RB的中點,所以CD=RD,即∠R=∠DCR.因為∠R+∠BAR=90?,即 ∠DCR+∠BAR=90?.又OA=OC,所以 ∠BAR= ∠OCA,則 ∠DCR+ ∠OCA=90?,即∠OCD=90?.故直線CD與曲線E相切.

例2.(2014年陜西理科壓軸題)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1),g(x)=xf′(x),x ≥ 0,其中 f′(x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(I)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈Z+,求gn(x)的表達(dá)式;

(II)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

(III)設(shè)n ∈ N?,比較g(1)+g(2)+···+g(n)與n?f(n)的大小,并加以證明.

分析 此題屬于導(dǎo)數(shù)綜合性壓軸題,綜合了函數(shù)、恒成立、不等式等重要考點考察學(xué)生分析問題、解決問題的能力與靈活運用分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的技能.具體來說,第(I)、(II)問較為簡單,第(III)問本質(zhì)是證明數(shù)列和不等式”是真正的壓軸點,證明時順著命題者的意圖,結(jié)合第(II)問結(jié)論,可以直接獲得其解決通法;觀察要證不等式的結(jié)構(gòu)特點,聯(lián)系到數(shù)學(xué)歸納法的適用范疇,于是得到其適用方法數(shù)學(xué)歸納法;挖掘此題的高等數(shù)學(xué)背景,結(jié)合定積分等相關(guān)知識,可以得到其巧法.

故得證.

即此時成立.故對一切n∈N?結(jié)論都成立.

圖3

例3.(《數(shù)學(xué)通報》2146征解題)若 n ∈ N?,證明:

分析 此題是一道雙邊不等式問題,無疑放縮法是證明很多不等式的通法,該題也不例外;觀察要證不等式的結(jié)構(gòu)特點,聯(lián)系到數(shù)學(xué)歸納法的適用范疇:常用于證明與正整數(shù)n有關(guān)的恒等式或不等式,于是得到其適用方法數(shù)學(xué)歸納法;分析不等式主體的各個因式分子與分母的特點,通過奇偶變換構(gòu)造對偶式,再結(jié)合“糖水不等式”可以獲得證明原不等式的構(gòu)造巧法.

通法 要證原不等式,先證明如下一個簡單的雙邊不等式:

要證①式的左邊,即證:即①式左邊得證.

要證①式的右邊,即證:

即①式右邊得證.

由①式,

綜上所述,原不等式得證.

成立,下面證明當(dāng)n=k+1時的情況:

由假設(shè)得

另一方面,

所以,n=k+1時不等式也成立.綜上所述,對n∈N?原不等式成立.不等式左邊得證.綜上所述,原不等式得證.

關(guān)于解題方法,中科院院士、著名數(shù)學(xué)教育家張景中教授提出了經(jīng)典的解題“中巧說”,即大巧法無定法,要靠個人領(lǐng)悟,難以言傳,小巧一題一法,對于數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言,則希望用一個方法解決一類題目,循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)有章可循的解題通法.所以,在解題教學(xué)中我們首要的任務(wù)是夯實通性通法,然而通法往往是基于教材的基本方法,這些方法不一定簡潔,還可能較為繁瑣,為了縮短解題長度,提高解題效率,我們有必要滲透一些適用的方法,以提高學(xué)生的解題能力.章建躍先生認(rèn)為解題教學(xué)主要有四大目的:“加深理解和掌握雙基;培養(yǎng)和發(fā)展能力;查漏補缺;培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣,學(xué)會思考.”當(dāng)這四個目的達(dá)到后,我們可以考慮介紹一些巧法,以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,開拓學(xué)生眼界,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展,更重要的是還能展示數(shù)學(xué)的奇異美,讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)美的享受.

最后,不論教師在展開通法、適用方法,還是巧法的解題教學(xué)時,都應(yīng)該避免解題方法來的從天而降,務(wù)必要充分展示解題過程和暴露解題思維.因為,羅增儒教授對此多次提及:“分析典型題的解題過程,暴露數(shù)學(xué)解題思維是學(xué)會解題的有效途徑.至少在沒有找到更好的途徑之前,這是一個無以替代的好主意.”

[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論(第二版)[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,2008.9.

[2]劉再平.2014年陜西理科壓軸題的另證與延伸[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2015(3):39–40.