廣東省惠州市惠東縣惠東中學(xué)(516300) 李秉權(quán)

解密錯位相減法

廣東省惠州市惠東縣惠東中學(xué)(516300) 李秉權(quán)

錯位相減法在數(shù)列求和部分是必會的一個方法,屬于常規(guī)方法,但是也是一個易錯點.這類題目難度不大,多數(shù)學(xué)生都能按部就班進行錯位相減,但是學(xué)生在錯位相減后化簡整理上容易出錯,結(jié)果總是不對,導(dǎo)致整道題拿不到分.本文就對這個問題解密錯位相減法,尋找錯位相減法的通法,并能運用到答題中,讓學(xué)生敢自信的說:“我的結(jié)果肯定沒問題!保證得滿分”.

一.什么樣的數(shù)列求和適用于“錯位相減法”?

通過總結(jié)不難知道型如:cn=an·bn,且{an},{bn}分別為等差、等比數(shù)列的求和問題可用錯位相減法.即cn=等差×等比,如cn=n·2n;或者cn=等差/等比,如依然是“等差×等比”型.

等差數(shù)列的通項公式一般為關(guān)于n的一次函數(shù)型,等比數(shù)列的通項公式一般為指數(shù)型.所以,作一般化的推廣和概括如下:

設(shè) a=b1d,b=b1a1?b1d,則 cn=(an+b)qn?1(q/=1)所以,適合采用“錯位相減法”求和的數(shù)列,其通項長成下面這個樣子:cn=(an+b)qn?1(q/=1).

二.如何實施“錯位相減法”?

下面我們以2014年全國I卷文科為例.

例題 (2014全國I卷文科第17題)已知{an}是遞增的等差數(shù)列,a2,a4是方程x2?5x+6=0的根.

(1)求{an}的通項公式;

則

①?②得

這是錯位相減法的常規(guī)解法,多數(shù)學(xué)生經(jīng)過模仿和重復(fù)訓(xùn)練,基本能能夠掌握以上錯位相減法解題的固定步驟如下:

(1) 寫出 Sn=c1+c2+···+cn;

(2)等式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比q,即qSn=qc1+qc2+ ···+qcn;

(3)兩式錯位相減轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求和;

(4)兩邊同除以1?q,化簡和整理求出Sn.同時注意對q是否為1進行討論.

但是,多數(shù)學(xué)生的“痛點”在于最后的化簡和整理,計算量大,耗時長,易出錯.“我會做,可是我不敢保證得分”,這是我們學(xué)生共同的心聲.

三.尋找錯位相減法的通法

那么,如何撫平錯位相減法的這個“痛點”呢?我們能夠確定的是一旦數(shù)列的通項公式給定,那么采用“錯位相減法”計算的結(jié)果也被確定了.也就是說,結(jié)果是由通項里的相關(guān)量決定的,即有通法可以求出前n項和Sn,下面我們來探究一下錯位相減法的通法.

若cn=(an+b)qn?1(q/=1),我們采用錯位相減法求和.記

③?④得

故

由此,和的形式都可以概括為:Sn=(An+B)·qn+C,即我們發(fā)現(xiàn)和的形式也是有規(guī)律的,即錯位相減法的通法:

若cn=(an+b)qn?1(q/=1),則Sn=(An+B)·qn+C,其中

于是,我們在以后的解題過程中,只需要研究A,B,C分別是多少,然后代入公式中即可.但要注意在上式中通項的格式是有嚴(yán)格要求的,即cn=(an+b)qn?1,且A是獨立計算出來的,所以應(yīng)該先計算A,然后再計算B,最后計算C,順序不能亂,它們之間是相互依賴的.

下面我們就用上面2014全國I文科數(shù)學(xué)17題來驗證:

從而,

與上面結(jié)果相符.

當(dāng)然,通法增加了一些記憶量,但是相比結(jié)果的正確性,這點代價微不足道.且記憶有兩個要領(lǐng):

(1)形式的記憶

從通項 an=(an+b)qn?1(q/=1)到和式 Sn=(An+B)qn+C的變化:形式上是小寫的an+b到大寫的An+B,q的指數(shù)增加1,然后在后面增加一個常數(shù)項即可.

(2)數(shù)據(jù)的記憶

A,B,C與a,b,q的關(guān)系要清楚,A,B,C的計算順序不能變.即

公式的記憶學(xué)生要在實際練題中強化,數(shù)次之后即可熟練掌握.

四.如何書寫解題的格式

數(shù)列求和通常為解答題,在實施“錯位相減法”求和過程中,基本的解題步驟要保留四步中的前三步,即

(1) 寫出 Sn=c1+c2+ ···+cn;

(2)等式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比q,即

(3)兩式錯位相減轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求和;

(4)兩邊同除以1?q,化簡和整理求出Sn.

的前三步保持不變,這是解題的過程,需要讓改卷的老師看到,而把最后一步‘④→兩邊同除以1?q,化簡和整理求出出Sn”用我們上面的通法的小公式計算出的結(jié)果來代替.即例題的答題只需如下書寫:

例 (2014全國I卷文科第17題)已知{an}是遞增的等差數(shù)列,a2,a4是方程x2?5x+6=0的根.

(1)求{an}的通項公式;

解析 (1)略解得{an}的通項公式為

(省去這步后面繁瑣的化簡整理).

這樣既得到了過程分,又保證了結(jié)果的正確性.

[1]大不六文章網(wǎng)http://www.wtoutiao.com高考數(shù)學(xué)左老師錯位相減法的痛點.