山東省單縣第一中學(274300) 衛(wèi)小國

對《割線斜率和區(qū)間中點處切線斜率關(guān)系的探究》的思考

山東省單縣第一中學(274300) 衛(wèi)小國

文[1]中對曲線的割線斜率與區(qū)間中點處切線斜率的關(guān)系,通過選取幾個基本函數(shù)及其線性組合展開研究;獲得很好的結(jié)論,并選例展示結(jié)論的具體應用.筆者研讀,獲益匪淺,進而繼續(xù)探究,偶得結(jié)論在一般函數(shù)中的推廣;其推廣的結(jié)論適用面更廣,解答時更簡潔.現(xiàn)整理成文,與大家共享,以期拋磚引玉!

一.對“背景揭示”的一般推廣

結(jié)論推廣 設函數(shù)f(x)連續(xù)且二階導數(shù)存在,且?x1,x2,x1＜ x2,證明 令

同理可證:若 f′′(x)單調(diào)遞減,則

若 f′′(x)為常數(shù),則

二.對“試題分析”幾例的證明

原文中列出5道例題,目的是展示結(jié)論的應用;其文中例2、例3屬于在線性組合中的使用,筆者現(xiàn)選擇其中的另外3道例題給出更簡潔的證明.

例1[1](2011年高考遼寧理科21題)已知函數(shù)f(x)=lnx?ax2+(2?a)x.

(III)函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x0,證明:f′(x0)＜0.

例4[1](2014年南京三模)已知函數(shù)f(x)=lnx?mx,(x∈R)(3)若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點x1,x2,求證:x1·x2＞ e2.

故x1·x2＞e2.

例5[1](2014年南京二模)設函數(shù)f(x)=ex?ax+a,(a∈R),其圖像與x軸交于A(x1,0),A(x2,0)兩點,且x1＜ x2.(2)證明:

證明 二階導函數(shù)f′′(x)=ex單調(diào)遞增,則

而

以上幾例中曲線上兩點都在軸上,通常變式可以如下題(河南省豫北名校聯(lián)盟2017屆高三上學期精英對抗賽)

已知函數(shù)f(x)=x?alnx,(a∈R).

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)?kx2有兩個零點x1,x2,試判斷的符號,并證明.

三.推廣結(jié)論的應用舉例

其實推廣結(jié)論對該類曲線上一般情形下的兩點都成立,且有更多的應用,以下僅再列出在函數(shù)不等式、極值點偏移和數(shù)列不等式等問題中的應用,并提供同類問題以供研習.

3.1 函數(shù)不等式

題目1(2011年高考全國卷理科22題)(I)設函數(shù)

證明:當x＞0時,f(x)＞0.

證明 函數(shù)

單調(diào)遞增,故函數(shù)圖像上兩點A(x,g(x)),B(0,g(0)).由結(jié)論可知滿足則當x＞ 0時,f(x)＞0.

簡評 不等式的恒成立問題,含有形如ex,lnx等函數(shù)時,借助導數(shù)研究;運算量大,思維難度大.基于推廣結(jié)論而“化曲為直”進行放縮,將使得問題解答簡捷;依此法可解2011年高考新課標卷理科21題.

3.2 極值點偏移

題目2(2016年全國1卷理科21題)已知函數(shù)f(x)=(x?2)ex+a(x?1)2有兩個零點.

(I)求a的取值范圍;

(II)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2＜2.

證明 (II)由

可得二階導函數(shù)遞增,且有顯然x1+x2＜2.

簡評 極值點偏移通常研究的是函數(shù)的兩零點x1,x2之和與極值點x0的2倍的關(guān)系,或者是的符號確定,化歸為中點處切線斜率或者橫坐標,與推廣結(jié)論“不謀而合”.特別是問題條件中,遇含有如ex,lnx等函數(shù)時,效果更明顯;如2010年高考天津卷理科21題.

3.3 數(shù)列不等式

題目3(2012年廣東卷第19題)設數(shù)列{an}的前n項和為 Sn,滿足 2Sn=an+1?2n+1+1(n ∈ N?),且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.(3)證明:對一切正整數(shù)n,有

簡評 數(shù)列不等式的證明,其中涉及放縮處理時,難度較大;綜合知識多,往往不易證明,常常需要巧妙構(gòu)造函數(shù)(如2013年大綱卷理科22題);而利用推廣結(jié)論進行轉(zhuǎn)化構(gòu)造,簡直是“神來之筆”.試題有(2015年高考廣東卷理科21題)數(shù)列{an}滿足

(I)求數(shù)列{an}前n項和Tn;

明:數(shù)列{bn}的前n項和Sn,滿足Sn＜2+2lnn.

提示 簡化待證的Sn＜2+2lnn為證

曲線上在某些點處斜率的大小聯(lián)系,備受命題者的青睞;緣于其不等式的代數(shù)特征,提供了放縮的依據(jù),幾何特點為中點處斜率的問題研究創(chuàng)造條件.以上僅是筆者推廣結(jié)論在高考中的三類應用,其更廣泛的使用,待大家繼續(xù)研究!

[1]劉鴻春.割線斜率和區(qū)間中點處切線斜率關(guān)系的探究[J].中學數(shù)學,2015(8):69–71.

[2]岳峻.主元法破解極值點偏移問題[J].中學教學,2016(12):54–56.