山東省東營市煙臺路勝利第一中學(257027) 李加軍 吳盛盛

賞析2016年北京大學自主招生數(shù)學試題

山東省東營市煙臺路勝利第一中學(257027) 李加軍 吳盛盛

近日偶得2016年北京大學自主招生考試全部數(shù)學試題,相比2015年的5道選擇題和5道填空題,2016年試題形式變?yōu)?0道選擇題,數(shù)量增加一倍,結(jié)構(gòu)全部為主觀題,內(nèi)容涉及函數(shù)、方程、多項式、三角、數(shù)列、不等式、平面幾何、復數(shù)、排列組合、數(shù)論等,覆蓋面廣泛,風格迥異,內(nèi)容靈活,給人耳目一新的感覺.試題難度雖然不是太大,但需要基本功扎實,思維靈活,且具備一定的課外延伸能力.下面筆者給出試題的詳細解答,與各位讀者共同欣賞.

2.點P位于△ABC所在的平面內(nèi),使得△PAB、△PBC、△PCA的面積相等,則點P有( )

A.1個 B.3個

C.5個 D.前三個答案都不對

解 如圖1,考慮到平面內(nèi)使△PAB和△PBC的面積相等的點的軌跡為直線BM以及過點B且與AC平行的直線,其中M為邊AC的中點.因此滿足題意的點P有4個:△ABC的重心,或者由P,A,B,C四點所構(gòu)成的平行四邊形的頂點.故答案選D.

圖1

3.圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=136,BC=80,CD=150,DA=102,則它的外接圓直徑為( )

A.170 B.180

解 根據(jù)四點共圓,其對角互補,由余弦定理得

即

4.正方體的八個頂點中任取3個構(gòu)成三角形,則三角形是等腰三角形的概率是( )

5.已知f(x)=3x2?x+4,g(x)為整系數(shù)多項式,f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+a(a為常數(shù)),則g(x)各項系數(shù)之和為( )

A.8 B.4 C.2 D.前三個答案都不對

解 由題意可設(shè)g(x)=x2+bx+c(b,c∈Z),則f(g(x))=3(x2+bx+c)2?(x2+bx+c)+4=3x4+6bx3+(3b2+6c?1)x2+(6bc?b)x+4?c+3c2,與f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+a比較系數(shù)得6b=18,3b2+6c?1=50,6bc?b=69,解得b=3,c=4,于是g(x)=x2+3x+4,各項系數(shù)之和為8,故答案選A.

7.實系數(shù)方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根都不是實數(shù),其中兩個根的和為2+i,另兩個根的積為5+6i,則b等于( )

A.11 B.13

C.15 D.前三個答案都不對

于是

故答案選C.

8.54 張撲克牌,將第1張扔掉,第2張放到最后;第3張扔掉,第4張放到最后,依次下去,最后手上只剩下一張牌,則這張牌在原來的牌中從上面數(shù)的第( )張.

A.30 B.32

C.44 D.前三個答案都不對

解 每一輪剩下的牌依次是2,4,6,..., 52,54;4,8,12,..., 52;4,12,20, ...,44,52; ...;12,28,44;12,44;44.故最后剩下的那張牌是原先的第44張牌.故答案選C.

9.(2+1)(22+1)···(22016+1)的個位數(shù)字為 ( )

A.1 B.3 C.5 D.前三個答案都不對

解 因為22+1=5,且對于任意正整數(shù)k,都有2k+1為奇數(shù),所以 (2+1)(22+1)···(22016+1) ≡ 5(mod 10),故答案選C.

10.設(shè)S為有限集合,A1,A2,...,A2016為S的子集且對每個i,都有|Ai|≥|S|,則一定有S中某個元素在至少( )個Ai中出現(xiàn)?

A.403 B.404

C.2016 D.前三個答案都不對

解 設(shè)集合S中有n個元素,子集A1,A2,...,A2016中每一個都含有不少于個元素,即所有這些子集的元素個數(shù)和不少于由抽屜原理,一定有S中某個元素在至少+1=404個A中出現(xiàn),故答案選B.i

11.四個半徑為1的球兩兩相切,則它們外切正四面體的棱長為( )

D.前三個答案都不對

12.空間點集An定義如下:An={(x,y,z)∈R3:|3x|n+|8y|n+|z|n≤ 1},A=則由A中的點P組成的圖形的體積等于( )

C.1 D.前三個答案都不對

解 當n→ ∞時,由|3x|n+|8y|n+|z|n≤1,只需要3x,8y,z∈(0,1)即可.因此所有滿足要求的點P所形成的空間幾何體為一個不包括邊界的長方體,體積為

A.0 B.1001

C.2002 D.前三個答案都不對

14.已知對任意x1,x2,...,x2016,方程2016a在[0,4]上都至少有一個根,則a等于( )

A.1 B.2 C.3 D.前三個答案都不對

15.已知關(guān)于x的方程x2+ax+1=b有兩個不同的非0整數(shù)根,則a2+b2有可能等于( )

A.一個素數(shù) B.2的非負整數(shù)次冪

C.3的非負整數(shù)次冪 D.前三個答案都不對

解 設(shè)方程的兩個根為x1,x2,則由韋達定理知x1+x2=?a,x1x2=1?b,于是于是a2+b2不是一個素數(shù),又1+x2≡1或2(mod 3),所以不被3整除,而當x1=1,x2=?1時,a2+b2=22,故答案選B.

16.令an表示距離最近的正整數(shù),其中n∈N?,若則正整數(shù)n的值為( )

A.1015056 B.1017072

C.1019090 D.前三個答案都不對

解 設(shè)an=k,那么有即進而k2?k+1≤n≤k2+k.所以恰有2k個數(shù)等于k.于是且n=2m,解得1017072.故答案選B.

17.已知對于實數(shù)a,存在實數(shù)a,b滿足a3?b3?c3=3abc,a2=2(b+c),則這樣的實數(shù)a的個數(shù)為( )

A.1 B.3

C.無窮個 D.前三個答案都不對

解 a3?b3?c3=3abc?(a?b?c)(a2+b2+c2+ab?bc+ca)=0,而故a=b+c,或a= ?b= ?c,代入a2=2(b+c)得a=0,2,?4,故答案選B.

18.三角形ABC的三個頂點分別對應(yīng)復數(shù)z1,z2,z3,已知=1+2i,則三角形ABC的面積與其最長邊長的平方的比等于( )

19.將1,2,...,100這100個數(shù)分成3組,滿足第一組中各數(shù)之和是102的倍數(shù),第二組中各數(shù)之和是203的倍數(shù),第三組中各數(shù)之和是304的倍數(shù),則滿足上述要求的分組方法數(shù)為( )

A.1 B.3 C.6 D.前三個答案都不對

解 假設(shè)這樣的分法存在,設(shè)三組數(shù)的和分別為102x,203y,304z,x,y,z ∈ N?,則 102x+203y+304z=5050,即101(x+2y+3z)+x+y+z=101×50,于是101|(x+y+z),因此x+y+z≥101.此時102x+203y+304z＞102(x+y+z)＞5050,矛盾.故答案選D.20.已知則(x?2016)(y?2016)(z?2016)=( )

A.0 B.1

C.不能確定 D.前三個答案都不對

所以

故答案選A.