邢利英, 孫三祥，張國珍

(1.蘭州交通大學(xué)環(huán)境與市政工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.南陽師范學(xué)院土木與建筑工程學(xué)院，河南 南陽 473061)

基于梯度正則化聯(lián)合重構(gòu)河流水質(zhì)模型多項參數(shù)

邢利英1,2, 孫三祥1，張國珍1

(1.蘭州交通大學(xué)環(huán)境與市政工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.南陽師范學(xué)院土木與建筑工程學(xué)院，河南 南陽 473061)

為識別河流水質(zhì)模型參數(shù)，首先采用Crank-Nicolson有限差分格式離散控制方程，其次通過附加終端觀測值，設(shè)計梯度正則化算法重構(gòu)河流水質(zhì)模型的多項參數(shù)。結(jié)果表明，不管是順直河流的常系數(shù)模型，還是天然的線性相關(guān)或者線性無關(guān)的變系數(shù)模型，梯度正則化方法均能快速有效識別模型參數(shù)；初值和測量誤差對參數(shù)重構(gòu)影響較小，充分證明梯度正則化算法是一種有效穩(wěn)定地反演河流水質(zhì)模型參數(shù)的方法。

水質(zhì)模型；模型參數(shù)；參數(shù)重構(gòu)；Crank-Nicolson；梯度正則化

隨著社會經(jīng)濟的快速發(fā)展，河流污染日趨嚴(yán)重。及時查找河流污染的具體原因，建立河流的水質(zhì)模型，掌握河流污染物濃度的時空變化，對于水環(huán)境預(yù)測、水污染控制治理和生態(tài)修復(fù)等諸多方面有重要的意義。其中水質(zhì)模型參數(shù)估計是建立水質(zhì)模型的一個非常重要環(huán)節(jié)，而水質(zhì)模型應(yīng)用的成敗很大程度上取決于參數(shù)估計是否正確[1-5]。通常模型參數(shù)可以通過模型試驗或經(jīng)驗值法確定，然而模型試驗往往工作量較大、效率較低，而經(jīng)驗值法很難保證其普適性。目前較為常用的方法是參數(shù)調(diào)試，實際上是根據(jù)實測的數(shù)據(jù)來調(diào)試參數(shù)，使得預(yù)測結(jié)果與實測數(shù)據(jù)吻合，即是基于初始邊界條件識別控制方程的參數(shù)[6-7]。

參數(shù)識別對于實際測量中污染源的位置、污染物排放時間、污染物擴散系數(shù)的測量等具有一定的理論參考和實際應(yīng)用價值。目前在河流污染水質(zhì)模型中，參數(shù)反演已經(jīng)取得一定的成功。參數(shù)反演方法主要有隨機性優(yōu)化算法和確定性算法[8]，隨機性優(yōu)化算法主要包括遺傳算法、基于馬爾科夫鏈的貝葉斯法(Bayesian-Markov ChainMonte Carlo，B-MCMC)、模擬退火法、單純形法等；確定性算法有共軛梯度法、時空全域函數(shù)配點法(Globalspace-time Multi-quadric，MQ)、Landweber迭代法、Tikhonov正則化法等。朱嵩等[9]提出了有限體積法結(jié)合混合遺傳算法的參數(shù)識別算法。薛紅琴等[10]采用有限差分法結(jié)合單純形法的參數(shù)識別算法來反演天然河流的水質(zhì)參數(shù)。江思珉等[11]分別利用單純形模擬退火法和Hooke-Jeeves吸引擴散粒子群混合算法求解地下水污染源反演的模擬—優(yōu)化模型。邢利英等[12]應(yīng)用改進的共軛梯度法識別地下水污染源。Li等[13-14]提出基于時空全域MQ函數(shù)配點法構(gòu)造反演模型，求解地下水污染源識別初值反問題。李功勝等[15]成功地應(yīng)用一種最佳迭代正則化算法反演污染源項，數(shù)值結(jié)果表明在測量數(shù)據(jù)存在干擾時，這種算法仍可以精確穩(wěn)定地反演源項。范小平等[16]結(jié)合最佳攝動思想的遺傳算法確定了淄博灃水南部地區(qū)的地下水硫酸污染源強度。

上述研究中，參數(shù)識別方法均能有效地識別河流水質(zhì)模型的某項參數(shù)，而對于多個參數(shù)的聯(lián)合識別研究較少。劉進慶等[17]應(yīng)用梯度正則化方法重構(gòu)地下水污染強度，該算法精度高，收斂速度快，穩(wěn)定性好。本文應(yīng)用具有二階精度的Crank-Nicolson格式離散控制方程，采用梯度正則化方法進行河流污染水質(zhì)模型的參數(shù)識別，分別聯(lián)合重構(gòu)常系數(shù)和變系數(shù)河流水質(zhì)模型中的多項參數(shù)，并且考慮參數(shù)之間的耦合和非耦合情況。

1 Crank-Nicolson格式對控制方程的離散化

1.1 河流污染的控制方程及反問題

假定河流中污染物按一級動力學(xué)衰減，河流一維水質(zhì)模型控制方程為

(1)

式中：Q為研究區(qū)域，Q=[0,L]×[0,T]；ρ(x,t)為測點(x,t)處的污染物濃度；u為河流的平均流速；Ex為x方向擴散系數(shù)；K為綜合降解系數(shù);f(t)為邊值條件。

如果上述方程中的各參數(shù)u、Ex、K、f(t)均已知，方程(1)則構(gòu)成了一個正問題，可以通過模型試驗和數(shù)值模擬方法預(yù)測河流下游污染物濃度ρ(x,t)，從而可以推斷河流的污染情況。然而大多數(shù)情況下，u、Ex、K往往不能準(zhǔn)確地測得，因此上述問題也就轉(zhuǎn)化為參數(shù)識別反問題，即如何確定一組〈ρ(x,t),u,K,Ex〉滿足方程(1)。求解上述反問題，需要附加終端觀測值

ρT(x)=φ(x)

(2)

式中：ρT(x)為T時刻的終端觀測值；φ(x)為終端觀測函數(shù)。

由此，式(1)和(2)構(gòu)成一個關(guān)于河流水質(zhì)模型參數(shù)識別問題，可以應(yīng)用迭代的方法求解。

1.2 Crank-Nicolson離散控制方程

xi=iΔxi=0,1,…,M

(3)

tn=nΔtn=0,1,…,N

(4)

Crank-Nicolson格式是一種加權(quán)隱式格式，其截斷誤差為O(Δx2+Δt2)，即具有二階精度，被廣泛地應(yīng)用在偏微分方程的求解中[1,19]。上述河流污染的控制方程建立Crank-Nicolson差分格式為

(5)

經(jīng)過簡化，式(5)可轉(zhuǎn)化為

(6)

方程(6)的矩陣表達式為

Gρn+1+Z=Bρn+Qn=1,2,…,N

(7)

其中

(8)

(9)

(10)

(11)

G和B是典型的三對角矩陣

(12)

(13)

對于所有的內(nèi)部節(jié)點都可列出方程(7), 利用初邊界條件可得到一個主對角元占優(yōu)的三對角方程組，可以應(yīng)用追趕法求解上述方程組。

1.3 Crank-Nicolson差分方程的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是判斷反問題是否適定的條件之一，本文應(yīng)用極值原理證明Crank-Nicolson差分格式的穩(wěn)定性[20-21]。方程(6)可變形為

(14)

(2-2s+2KΔt)‖ρn‖∞+(r+s)‖ρn‖∞

0≤i≤M-1,0≤n≤N-1

(15)

(16)

(17)

當(dāng)0≤i≤M-1則有

‖ρn+1‖∞≤(1+KΔt)‖ρn‖∞

(18)

式(16)對于任意的0≤i≤M得

‖ρn‖∞≤(1+KΔt)‖f‖∞

(19)

(20)

(21)

基于上述穩(wěn)定性的證明，同理有

‖εn‖∞≤(1+KΔt)‖Ψ‖∞0≤i≤M

(22)

2 梯度正則化法

a. 建立迭代過程：

Dn+1(x)=Dn(x)+δDn(x)

(23)

其中，攝動量δDn(x)是由下列非線性最優(yōu)化問題來確定：

αE[δDn]

(24)

式中：α為正則化參數(shù)；E[δDn]為[δDn]的穩(wěn)定化泛函；A為導(dǎo)數(shù)矩陣；Jα為非線性泛函。

b. 對上述最優(yōu)化問題進行離散，采用線性化方法求得δDn(x)的數(shù)值解，即求解非線性化最優(yōu)化問題的局部極小值。

根據(jù)以上的算法，梯度正則化法的具體迭代步驟[3,15]如下：

步驟1：確定正則化參數(shù)，步長及初始值，(x,t)的離散點以及求解精度EPS；

步驟2：根據(jù)已知參數(shù)求解方程(1)，得到ρ(xi,T,Wj)；

步驟3：設(shè)在計算區(qū)間有M個離散點xm(m=1,2,…,M)，由

步驟4：計算δWi=(ATA+a)-1AT(V-D), 其中V為附加數(shù)據(jù)；

3 常系數(shù)模型的多參數(shù)重構(gòu)

選取3個典型的數(shù)值算例驗證梯度正則化算法的有效性和普適性，采用孿生實驗，即設(shè)定準(zhǔn)確參數(shù)，利用同一模型生成觀測數(shù)據(jù)，設(shè)參數(shù)未知進行識別試驗。

3.1 正問題的求解

設(shè)一均勻河段長30 km，計算時間取1 h，離散的空間步長取1.5 km，時間步長取1/15 h，污染物的質(zhì)量濃度邊界值ρ0取1 mg/L，河流的平均流速u取5 km/h，彌散系數(shù)Ex取2 km2/h，污染物的一級降解速率K取0.015 h-1，算例數(shù)據(jù)引自文獻[9]。此種離散情況下，Peclet數(shù)為3.75，屬于非對流占優(yōu)問題，對流項采用中心加權(quán)差分格式是比較精確的，數(shù)值彌散與振蕩不明顯。采用Crank-Nicolson的有限差分格式求解的計算結(jié)果見圖1，可以看出，計算結(jié)果較為光滑，這是由于Crank-Nicolson是二階精度，截斷誤差為O(Δx2+Δt2)。

3.2 多參數(shù)重構(gòu)

常系數(shù)模型參數(shù)估計結(jié)果見表1，其中求解精度EPS取10-3，初值相同，真值為u=5 km/h，Ex=2 km2/h，K=0.015 h-1，與相關(guān)文獻的共軛梯度法[12]和混合遺傳算法[9]的反演結(jié)果相比，發(fā)現(xiàn)梯度正則化方法比其他2種方法更快、更有效地重構(gòu)河流污染的模型參數(shù)，因此下面的模型參數(shù)識別中，均采用梯度正則化方法重構(gòu)模型參數(shù)。

表1 幾種方法常系數(shù)模型參數(shù)估計結(jié)果

3.3 初值對參數(shù)重構(gòu)的影響

選取不同初值，應(yīng)用梯度正則化方法重構(gòu)參數(shù)的結(jié)果見表2，其中x*為精確值，從表中數(shù)據(jù)可以看出，初值對于模型參數(shù)的反演結(jié)果影響不大。當(dāng)選取初值偏差達到50%時，污染物的降解系數(shù)K與真值相當(dāng)接近，相對誤差僅為0.7%；而當(dāng)初值偏差達到100%時，K的反演誤差為8.6%，在允許的誤差范圍內(nèi)，充分說明初值對于梯度正則化反演模型參數(shù)影響較小。

3.4 測量誤差對參數(shù)重構(gòu)的影響

即使是精密儀器測量的觀測數(shù)據(jù)也會有誤差，為了更真實地重構(gòu)模型參數(shù)，考慮不同隨機噪聲對反演結(jié)果的影響。采用下述形式表示含有測量誤差的觀測數(shù)據(jù)[21]：

表2 不同初值下常系數(shù)模型參數(shù)重構(gòu)結(jié)果

ρδ(x,T)=ρ(x,T)[1+δrandom(x)]

(25)

式中：ρδ(x,T)為帶有測量誤差的觀測數(shù)據(jù)；random(x)為一隨機函數(shù)。初值取u=10 km/h，Ex=6 km2/h，K=0.02 h-1，試驗30次的平均結(jié)果見表3。

不同噪聲水平的常系數(shù)模型參數(shù)重構(gòu)結(jié)果表明，當(dāng)測量誤差δ為5%時，降解系數(shù)K均值的相對誤差為0.4%，標(biāo)準(zhǔn)差為0.002 6；當(dāng)噪聲水平δ為20%時，降解系數(shù)K反演結(jié)果均值的相對誤差為20%，標(biāo)準(zhǔn)差為0.005 5，反演結(jié)果在合理的范圍內(nèi)，并且迭代次數(shù)對于反演結(jié)果影響不大，故梯度正則化對于一維常系數(shù)河流模型多參數(shù)重構(gòu)是有效的。

4 變系數(shù)模型的多參數(shù)重構(gòu)

4.1 線性相關(guān)的變系數(shù)模型多參數(shù)重構(gòu)

對于順直河道，水質(zhì)模型中的參數(shù)往往都為常數(shù)，然而對于天然河道，水質(zhì)模型參數(shù)都是變化的，并且參數(shù)之間可能存在較強的耦合性。假設(shè)河道的平均流速為空間位置的線性函數(shù)(如明渠漸變流)u=ax+b，而根據(jù)費希爾的估算公式，彌散系數(shù)為河道平均流速的二次函數(shù),即Ex=βu2。如果平均流速函數(shù)已知，則需要重構(gòu)的模型參數(shù)有系數(shù)β和污染物的降解速率K，河流污染模型其他參數(shù)參考常系數(shù)模型的參數(shù)值。采用孿生實驗，假設(shè)u=0.2x+5，β=0.08，采用Crank-Nicolson的有限差分格式求解的結(jié)果(圖2)作為終端觀測值基礎(chǔ)。

圖2 Crank-Nicolson格式求解的變系數(shù)模型不同時刻濃度

4.1.1 初值對參數(shù)重構(gòu)的影響

選擇不同的初值，求解精度EPS取10-4，變系數(shù)模型多參數(shù)重構(gòu)的結(jié)果見表4，其中x*為精確值。從表4中可以得出，不同的初值和迭代次數(shù)對反演結(jié)果的影響較小。究其原因可能是反演的參數(shù)本身數(shù)量級較小，對于重構(gòu)結(jié)果影響不大。

4.1.2 測量誤差對參數(shù)重構(gòu)的影響

由于觀測數(shù)據(jù)可能存在一定的測量誤差，應(yīng)用梯度正則化迭代結(jié)果也會產(chǎn)生相應(yīng)的誤差。為確定測量誤差對參數(shù)重構(gòu)的影響，選擇初值β=0.12,K=0.03 h-1，表5為不同測量誤差下變系數(shù)模型參數(shù)重構(gòu)結(jié)果。當(dāng)測量誤差為20%時，重構(gòu)參數(shù)的均值為β=0.082 0，K=0.1 587 h-1；均值的相對誤差分別為2.5%、5.8%；標(biāo)準(zhǔn)差也較小，分別為0.006 2、0.001 2，充分說明梯度正則化方法有較大的容錯性，適用于天然河道污染水質(zhì)線性相關(guān)模型參數(shù)重構(gòu)。

表3 不同測量誤差下常系數(shù)模型參數(shù)重構(gòu)結(jié)果

表4 不同初值下線性相關(guān)變系數(shù)模型參數(shù)重構(gòu)結(jié)果

表5 不同測量誤差下線性相關(guān)的變系數(shù)模型參數(shù)重構(gòu)結(jié)果

表6 不同初值下線性無關(guān)的變系數(shù)模型參數(shù)重構(gòu)結(jié)果

4.2 線性無關(guān)的變系數(shù)模型多參數(shù)重構(gòu)

如果變系數(shù)模型參數(shù)之間不存在耦合性，假設(shè)河流的平均流速為u=ax+b，河流污染物的擴散系數(shù)為Ex=cx2+dx+e，污染物的降解速率K=0.015,求解精度EPS取10-4，應(yīng)用梯度正則化方法研究線性無關(guān)的變系數(shù)模型多參數(shù)重構(gòu)。

4.2.1 初值對參數(shù)重構(gòu)的影響

表6列出了不同初值下線性無關(guān)的變系數(shù)模型參數(shù)的重構(gòu)結(jié)果，從表6中可以看出，初值對反演結(jié)果的影響不大。

4.2.2 測量誤差對參數(shù)重構(gòu)的影響

類似地，考慮測量誤差的影響。初值選擇u=0.5x+5，Ex=0.02x2+0.3x+1.0,不同測量誤差下線性無關(guān)變系數(shù)模型參數(shù)重構(gòu)結(jié)果見表7。從表中可以得出，當(dāng)測量誤差為5%時，河流平均流速u=0.399x+2.98，污染物彌散系數(shù)Ex=0.0167x2+0.243x+0.905；當(dāng)測量誤差為20%時，平均流速u=0.398x+3.04，彌散系數(shù)Ex=0.017 1x2+0.23x+0.915，均與真實解u=0.4x+3，Ex=0.016x2+0.24x+0.9很接近。可見，測量誤差的影響很小，進一步地證明梯度正則化法穩(wěn)定性好。

表7 不同測量誤差下線性無關(guān)的變系數(shù)模型參數(shù)重構(gòu)結(jié)果

5 結(jié) 論

應(yīng)用Crank-Nicolson格式離散一維河流水質(zhì)方程，比較梯度正則化法、共軛梯度法以及混合遺傳算法重構(gòu)順直河流水質(zhì)模型參數(shù)的結(jié)果，得出梯度正則化法是一種有效地參數(shù)重構(gòu)方法，進而應(yīng)用梯度正則化方法重構(gòu)順直和天然河流水質(zhì)模型的多參數(shù)。結(jié)果表明，不管是順直常系數(shù)河道還是天然變系數(shù)(線性相關(guān)或線性無關(guān))河道，梯度正則化方法均能有效地聯(lián)合重構(gòu)多參數(shù)。此外，模擬結(jié)果表明，初值和測量誤差對模擬結(jié)果影響較小，進一步證明梯度正則化方法是一種快速有效的重構(gòu)河流水質(zhì)模型參數(shù)的方法。

梯度正則化方法不但適用于一維河流水質(zhì)模型參數(shù)的重構(gòu)，而且可以推廣到二維情形，具有較強的通用性。具體問題應(yīng)用成功的關(guān)鍵在于河流水質(zhì)模型正問題的求解和優(yōu)化參數(shù)的選取。

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Reconstruction of river water quality model parameters with gradient regularization approach

XING Liying1, 2, SUN Sanxiang1, ZHANG Guozhen1

(1.SchoolofEnvironmentalandMunicipalEngineering,LanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,China; 2.AcademyofCivilEngineeringandArchitecture,NanyangNormalUniversity,Nanyang473061,China)

In order to identify the parameters of the river water quality model, we adopted the Crank-Nicolson finite difference scheme to discrete the control equations first, and then appended several additional terminal observations, and designed an effective gradient regularization algorithm to reconstruct the model parameters. Numerical results show that for both the constant coefficient model of straight channels and the natural coupled or non-coupled variable coefficient model, the proposed method can quickly and effectively identify the model parameters. In addition, the influences of the initial value and measuring error are insignificant, which further demonstrates that the gradient regularization algorithm is effective to inverse the parameters of the river water quality model.

water quality model; model parameter；parameter reconstruction; Crank-Nicolson；gradient regularization

10.3880/j.issn.1004-6933.2017.04.009

國家自然科學(xué)基金(51468033)

邢利英(1980—)，女，講師，博士研究生，主要從事環(huán)境水力學(xué)的反問題研究。E-mail: lyxing2011@163.com

張國珍，教授。E-mail: guozhenzhang163@163.com

X523

A

1004-6933(2017)04-0055-07

黑臭水體評價方法比較(

2016-11-03 編輯：王 芳)