李蒙 李鳳明

（北京工業(yè)大學機電學院，北京 100124）

采用MFC壓電作動器對復合材料懸臂板振動主動控制?

李蒙 李鳳明?

（北京工業(yè)大學機電學院，北京 100124）

針對復合材料層合懸臂板，在其上表面鋪設壓電纖維復合材料MFC作為作動器，同時在下表面對稱鋪設壓電薄膜（PVDF）作為傳感器，應用速度反饋控制方法研究其主動振動控制.運用Hamilton原理和假設模態(tài)法推導含多個MFC作動器的復合材料層合板的力電耦合結構運動方程，其中考慮了MFC作動器作為懸臂板附加質量及剛度的影響.基于模態(tài)控制力／力矩最大化的原則，將多對MFC作動器／PVDF傳感器鋪設在層合懸臂板前幾個低階模態(tài)應變最大的區(qū)域，通過算例得出結構受控前后的時域和頻域響應以及各MFC作動器所需的控制電壓曲線.討論復合材料層合板纖維鋪設角度不同情況下，作動器MFC鋪設位置及壓電纖維鋪設方向的相應變化.

復合材料懸臂板， 壓電纖維復合材料（MFC）， 纖維鋪設角度， 模態(tài)控制

引言

隨著航空航天飛行器、高速列車等運載裝備速度的不斷提高，以及纖維增強復合材料等輕質高強材料在機翼、機身與車身壁板等經常處于動載荷作用下的關鍵結構中的使用，工程結構振動及其控制問題日益突出，可能會由于振動產生疲勞甚至破壞.因而針對輕質復合材料層合板殼結構，研究其主動振動控制具有重要理論與實際應用價值.

在過去的二十多年里，國內外學者采用壓電陶瓷PZT作為傳感器和作動器，針對梁、板等結構的振動主動控制問題進行了廣泛的研究，并且已相對較為成熟.然而，由于壓電陶瓷PZT在實際應用中的局限性，比如容易出現(xiàn)脆性斷裂以及很難粘貼在曲面結構上［1］，部分學者近些年已經逐漸采用具有優(yōu)良韌性和驅動能力的壓電纖維復合材料比如MFC等作為壓電陶瓷PZT的潛在替代品來研究結構的振動主動控制問題.Heung Soo Kim［2］等將MFC作動器粘貼在圓柱殼的表面，通過理論與實驗方法研究了其主動振動控制.Kovalovs A［3］等采用實驗方法，將MFC作為作動器研究了懸臂梁和圓盤的振動主動控制.Giovanni Ferrari和 Marco Amabili［4］針對四邊自由的泡沫夾芯板，采用分布式MFC作動器研究了其主動振動控制.范麗鋒［5］基于MFC壓電作動器，針對柔性梁研究了其主動振動控制問題.但總體上，相比于國外，國內學者采用MFC等壓電纖維復合材料作為驅動器的振動主動控制研究還比較缺乏.

對于同樣具有高可靠性并能夠應用在曲面結構上的壓電薄膜（PVDF），由于其壓電常數(shù)遠小于PZT和MFC，單片的PVDF不能提供足夠的驅動力，因而 PVDF 通常被用作壓電傳感器［6，7］. 又由于PVDF的剛度系數(shù)遠小于懸臂板和MFC［6］，本文建模過程中忽略了其作為傳感器的附加質量及剛度的影響，但考慮了MFC作動器對主結構的剛度矩陣及質量矩陣的影響.

文中針對復合材料層合懸臂板，在文獻［8-10］等的研究基礎上，采用MFC作為作動器，PVDF作為傳感器，應用Hamilton原理和假設模態(tài)法推導了含多個MFC作動器的復合材料層合板的力電耦合結構運動方程.然后基于模態(tài)控制力／力矩最大化的原則，對MFC作動器的位置進行了優(yōu)化鋪設，并得出了結構受控前后的時域和頻域響應以及各作動器MFC上所需的控制電壓.最后討論了復合材料層合板纖維鋪設角度不同情況下，MFC作動器鋪設位置及壓電纖維鋪設方向的相應變化.

1 含MFC復合材料層合板的運動方程

1.1 MFC及其壓電本構方程

壓電纖維復合材料（MFC）是由美國航空航天局（NASA）的 Langley 研究中心研制［1］，由于其高應變驅動效率、定向驅動能力、高可靠性以及可粘貼于曲面結構等優(yōu)良特性，MFC逐漸被廣泛應用于結構形狀及振動控制、壓電能量采集和結構健康監(jiān)測等領域［11］.MFC主要由壓電纖維、電極、聚合物基體組成，包括MFC-d31和MFC-d33兩種類型［11］.其中MFC-d31的極化方向沿厚度方向并垂直于壓電纖維方向，而MFC-d33的極化方向沿壓電纖維方向，其特殊的結構布局使得d33型的MFC能產生更大的驅動力［12］，本文所采用的MFC-d33結構簡圖及其電場分布如圖 1［3］和圖 2［13］所示.

圖1 MFC結構簡圖Fig.1 MFCconfiguration

圖2 MFC-d33電場分布Fig.2 Electrical field for MFC-d33

為簡化MFC-d33較為復雜的電場分布，本文假設其電場在其電極之間是均勻分布的［14］，同時將MFC-d33看作是正交各向異性材料［12］，其壓電方程為［12］:

式中{ σMFC}為MFC的應力向量，為MFC的正應力和切應力分量，為MFC的正應變和切應變分量，C11，C12，C22和 C66為 MFC 的剛度系數(shù)，E1（ ＝VMFC（t）／hE）和 D1分別為電場強度和電位移，VMFC（t）和hE分別為外加控制電壓和電極之間的間距，e11，e12和∈11為壓電應力常數(shù)和介電常數(shù)，［T］為與壓電纖維角度有關的轉換矩陣，具體請參見文獻［12］．

同時，在文中作為壓電傳感器的PVDF，其壓電效應類型及壓電方程與傳統(tǒng)的PZT類似，因而不再作詳細介紹．

1.2 含MFC層合板力電耦合運動方程的建立

考慮圖3所示含多對MFC的復合材料層合懸臂板結構，板的長、寬、厚度分別為a，b和h．設板的橫向位移為w，以板的中面作為xOy平面，構建如圖3所示的直角坐標系．

根據(jù)Kirchhoff薄板理論，懸臂板和MFC內任一點的面內和橫向位移為:

板和MFC的應變-位移關系如下:

式中｛ε｝代表板和 MFC 的應變向量，εx，εy，γxy代表板與MFC的正應變和切應變分量，［κ］為彎曲曲率向量．

圖3 層合懸臂板結構Fig.3 Cantilevered laminated plate

板的本構方程為:

采用Hamilton原理和假設模態(tài)法建立結構的運動方程，Hamilton原理的具體表達式如下:

其中T，U和δW分別為含MFC懸臂板的總動能、總勢能以及外力虛功．

結構的總動能T和總勢能U表達式分別為:

外力虛功δW表示為:

其中F（t）代表垂直于懸臂板的外激勵，x0，y0是外激勵作用點的橫縱坐標．

應用假設模態(tài)法，將位移w表示為假設模態(tài)乘以廣義坐標的形式:

其中 g（t）為廣義坐標；W（x，y）為滿足結構幾何邊界條件的假設模態(tài)函數(shù)，m和n為模態(tài)階數(shù)．g（t）和W（x，y）的具體表達式為:

由結構動力學可知，懸臂板模態(tài)函數(shù)Wmn（x，y）是沿x軸方向的懸臂梁型函數(shù)Xm（x）與沿y軸方向的自由梁型函數(shù)Yn（y）的乘積形式，即:

懸臂板模態(tài)函數(shù)中的Xm（x）和 Yn（y）稍復雜，具體形式請參見文獻［8］．

將各式代入Hamilton原理表達式（6）以及假設模態(tài)法（10）～（12）的表達式，最終可以得到含MFC的復合材料層合懸臂板力電耦合運動方程:

式中M，K，MMFC和KMFC分別為層合板和MFC作動器的模態(tài)質量陣、模態(tài)剛度陣，為系統(tǒng)的力電耦合矩陣，它們均是關于模態(tài)函數(shù)Wmn（x，y）及其偏導數(shù)的表達式，VMFC為控制電壓向量．

2 主動控制下的復合材料層合板運動方程

由第i個傳感器PVDF變形產生的電荷量表示為:

其中Ai，Zi和分別為第i個PVDF的面積、中面縱坐標和電位移，e31，e32為PVDF的壓電常數(shù)，，為PVDF的應變，其表達式與式（4）一致．

對上式應用假設模態(tài)法（10）～（12）的表達式可進一步得到:

式中∈33為PVDF的介電常數(shù)，hPVDF為PVDF的厚度．

將式（16）代入式（17）可得:

其中系數(shù)矩陣BiPVDF的表達式為:

由速度反饋控制算法得到作動器控制電壓為:

式中Giv為第i對作動器／傳感器的速度反饋增益．

將（18）和（20）代入（14）中，可得到主動控制下含有主動阻尼的復合材料懸臂板運動方程:

3 懸臂板振動主動控制分析

3.1 MFC作動器優(yōu)化布置

為獲得對受控結構的最大驅動力／力矩，壓電作動器應當鋪設在平均應變最大的區(qū)域，并且遠離應變節(jié)線［15］.由結構動力學知識可知，振動產生的能量主要集中在低階，因此算例中針對懸臂板的前三階模態(tài)最大應變區(qū)域布置三對MFC作動器／PVDF傳感器.最大應變區(qū)域可通過ANSYS模態(tài)分析得到，如圖4所示.算例中的復合材料層合板長度為0.5m，寬度為0.25m，共10層對稱鋪設，鋪設角為 [45°／-45°／45°／-45°／45°]s.

圖4 懸臂板前三階模態(tài)的應變分布Fig.4 Strain field of the first three modes

算例中，懸臂板的第一、二階模態(tài)是彎曲模態(tài)，其對應 MFC作動器選取 d33型的 M8557-P1［16］（8557指的是85mm?57mm），第三階模態(tài)是扭轉模態(tài)，對應 MFC作動器選取 d33型的 M8557-F1［16］（F1 指的是壓電纖維鋪設角度為 45°）. 得出的MFC作動器的位置鋪設圖如圖5所示.

圖5 MFC作動器鋪設位置Fig.5 Location of MFC actuators

3.2 含MFC復合材料懸臂板的振動特性

以圖5中MFC作動器鋪設方案為例，計算含MFC的層合懸臂板固有頻率.懸臂板及MFC作動器的材料常數(shù)如表1和2所示.

表1 復合材料懸臂板的材料常數(shù)Table 1 Materialparameters of the cantilevered plate

表2 MFC的材料及壓電常數(shù)Table 2 Material andpiezoelectric parameters of MFC actuators

求解含MFC層合懸臂板運動方程（14）的特征方程，不考慮力電耦合項，可以獲得含MFC壓電作動器懸臂板的各階固有頻率，如表3所示.

表3 含MFC的復合材料懸臂板各階固有頻率Table 3 Natural frequencies of cantilevered laminated plate bonded with MFCs

同時計算了不考慮MFC影響的懸臂板各階固有頻率，其結果與有限元仿真結果良好吻合，從而可驗證本文建模方法的正確性.同時，從表3可以看出，算例中壓電作動器MFC質量及剛度的對懸臂板的固有特性的影響并不明顯.

3.3 振動控制分析

應用速度反饋控制算法，對算例中層合懸臂板進行主動控制分析，其中MFC作動器／PVDF傳感器的鋪設位置仍如圖5所示.

首先對懸臂板施加正弦激振力，通過求解方程（21）可得到受控前后結構在頻域下的振動響應，如圖6所示.

圖6 受控前后懸臂板頻域下振動響應Fig.6 Frequency responses of controlled and uncontrolled cantilevered plate

其中，三片MFC作動器單獨作用下的控制效果如圖7所示.可以看出，前三階頻率的振動響應在相應模態(tài)階數(shù)MFC作動器的控制下，幅值顯著減小.同時可看出第一、第三片MFC作動器也能降低第二階頻率下響應幅值.并且其他較高頻率下的振動響應幅值也得到了抑制.

對于圖7（a），由于第一片MFC作動器鋪設在懸臂板固定端的中間位置，因此其對懸臂板彎曲模態(tài)即第一、二階模態(tài)下的振動具有明顯抑制效果，其對結構振動抑制的貢獻最大，但同時可看出，第一片MFC作動器對于扭轉模態(tài)即第三階模態(tài)下的振動響應的控制效果并不明顯.

圖7（b）中，由于第二片MFC作動器鋪設在遠離懸臂板固定端的第二階模態(tài)平均應變最大的區(qū)域，故可看出其對第二階振動的抑制效果明顯，而對于第一、三階的影響相對較小.

由圖7（c）可看出，第三階模態(tài)即扭轉模態(tài)對應的振動響應得到了顯著控制，這是前兩片MFC作動器所未能實現(xiàn)的.

圖7 三片MFC作動器單獨作用下的控制效果Fig.7 Controlperformance of single MFC actuator

總之，第一、二片MFC作動器對懸臂板彎曲振動的控制效果明顯，而第三片MFC作動器對于懸臂板的扭轉振動具有控制效果.

然后對懸臂板施加脈沖激勵，可得到懸臂板受控前后結構在時域下的振動響應，如圖8所示，其中包括第一、三片MFC作動器單獨作用下的控制效果.

從圖8中可看出，時域內與圖7頻域內振動控制結果相對應，三個MFC作動器同時作用時控制效果最為明顯，同時可看出第一片MFC作動器對算例中懸臂板結構振動抑制的貢獻最大.

圖8 懸臂板受控前后脈沖響應Fig.8 Time domain responses of controlled and uncontrolled cantilevered plate

同時，三片MFC作動器各自所需的控制電壓如圖9所示.可看出，其所需電壓幅值均在MFC材料所允許范圍之內.

圖9 三片MFC作動器所需控制電壓Fig.9 Control voltages of the three MFC actuators

3.4 層合板纖維鋪設角度的影響

考慮層合板纖維鋪設角度的影響，針對不同纖維鋪設角度的層合懸臂板，應用文中研究思路，即選取三片MFC作動器分別鋪設在懸臂板前三階的平均模態(tài)應變最大區(qū)域，分別得出其對應的MFC作動器的鋪設位置，如圖10所示.

圖10 不同纖維鋪設角度層合板的MFC作動器位置Fig.10 Placement of MFC actuators for cantilevered plate with different fiber orientation angle

圖10中，壓電纖維鋪設角度為45°的MFC作動器仍然鋪設在懸臂板扭轉應變最大區(qū)域，從圖中看出，不同纖維鋪設角度對應的作動器鋪設位置變動較大，而通過文中方法可有效獲得其鋪設位置.

4 結論

應用壓電纖維復合材料MFC作為作動器，采用理論和數(shù)值分析方法，研究了不同鋪設角度層合懸臂板的主動振動控制問題，得出了結構受控制前后的時域和頻域響應，以及MFC作動器所需要的控制電壓.

數(shù)值結果表明，采用壓電復合材料MFC能有效地降低層合懸臂板結構的振動響應幅度，并且MFC作動器所需控制電壓在工程允許范圍之內.同時文中針對不同纖維鋪設角度的層合懸臂板，首次給出了MFC作動器的具體鋪設位置及方案，希望對實際工程中的層合板結構振動控制問題提供有價值的指導.

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ACTIVE VIBRATION CONTROL OF A CATILEVERED LAMINATED PLATE USING MFC ACTUATORS?

Li Meng Li Fengming?
（College of Mechanical Engineering， Beijing University of Technology， Beijing 100124， China）

The active vibration control of a cantilevered laminated plate is investigated in this paper by using velocity feedback control method，where multiple macro fiber composite（MFC） and PVDF patches are bonded on the top and bottom surfaces of the plate to act as the actuators and sensors， respectively.By using Hamilton’s principle and the assumed mode method，the dynamical model of the structural systems is developed with considering the effects of mass and stiffness of MFC actuators.In order to obtain the maximum control forces or moments，the MFC actuators and PVDF sensors are placed in the regions with high average strain of host structure.Frequency and time domain responses of the cantilevered plate are obtained.And the required control voltages of MFC actuators are also calculated.Moreover，The placements of MFC actuators are presented for cantilevered laminated plate with different fiber orientation angle.

cantilevered laminated plate， MFC actuator， fiber orientation angle， modal control

4 March 2016，revised 11 April 2016.

10.6052／1672-6553-2017-003

2016-03-04收到第1稿，2016-04-11收到修改稿.

?國家自然科學基金（11572007，11172084）

?通訊作者 E-mail:fmli＠bjut.edu.cn

?The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11572007，11172084）

? Corresponding author E-mail:fmli＠ bjut.edu.cn.