李進(jìn)++王峰+李宇鵬+齊昊楨++莊凌

摘 要：針對(duì)高價(jià)值產(chǎn)品的工程試驗(yàn)現(xiàn)狀，討論利用Gompertz模型擬合其可靠性增長(zhǎng)的過程，并利用最小二乘回歸和Fiducial方法，給出Gompertz模型結(jié)果的仿真近似下限值，為利用Gompertz模型進(jìn)行可靠性評(píng)估和驗(yàn)證提供相應(yīng)的方法。

關(guān)鍵詞：可靠性評(píng)估 Gompertz模型 區(qū)間估計(jì)

中圖分類號(hào)：TB114.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）06（b）-0007-02

Gompertz模型是一種可靠性增長(zhǎng)模型，適用于取得等間隔（時(shí)間、次數(shù)）的硬件或軟件的可靠性增長(zhǎng)數(shù)據(jù)，其增長(zhǎng)有先快后慢和先慢后快之后再慢這兩種情況。對(duì)于高價(jià)值產(chǎn)品，在進(jìn)行研制的過程中，每次試驗(yàn)的數(shù)量有限，并且每次試驗(yàn)后，會(huì)根據(jù)該次試驗(yàn)的結(jié)果，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行改進(jìn)后，再進(jìn)行試驗(yàn)。這種研制過程是比較適用Gompertz模型對(duì)其的可靠性水平進(jìn)行分析評(píng)估的。同時(shí)，GJB 1407中明確表明：“一項(xiàng)成功的增長(zhǎng)試驗(yàn)可以免去可靠性鑒定試驗(yàn)”，所以通過擬合Gompertz模型也可以有效地利用研制試驗(yàn)數(shù)據(jù)減少或免去可靠性鑒定試驗(yàn)。

但是，目前產(chǎn)品的可靠性要求基本上均是要求的某一置信度下的可靠度下限，而Gompertz模型經(jīng)典的估計(jì)方法只給出了相應(yīng)的點(diǎn)估計(jì)，文獻(xiàn)[1]中雖然利用Beyes方法給出可靠度下限的計(jì)算方法，但是計(jì)算相對(duì)復(fù)雜。所以該文通過探討Gompertz模型的可靠度下限求解方法，給出利用Gompertz模型的可靠性評(píng)估和驗(yàn)證方法。

1 Gompertz模型及其點(diǎn)估計(jì)方法

1.1 Gompertz模型

Gompertz模型為：

≤≥0 （1）

其中：為t時(shí)的可靠性；，，為增長(zhǎng)后上限值；t=0，，為起始值；b為“起始值與上限值”之比；t為試驗(yàn)周期序號(hào)（對(duì)應(yīng)于時(shí)間）；c為增長(zhǎng)速率。

1.2 模型求解

Gompertz模型最為經(jīng)典的求解方法為Virene算法，該算法是由E.P.Virene提出，是目前求解Gompertz模型的主要算法。但是，為了后續(xù)的求取區(qū)間估計(jì)，所以該文介紹的為最小二乘估計(jì)方法。

設(shè)產(chǎn)品總的批次（或試驗(yàn)次數(shù)）為個(gè)，當(dāng)產(chǎn)品不斷地對(duì)出現(xiàn)的故障和問題進(jìn)行改進(jìn)時(shí)，就有，用Gompertz模型擬合該過程，設(shè)，t=2，…，m。最小二乘方法即是將公式（1）轉(zhuǎn)化成線性的模型，然后利用最小二乘進(jìn)行求解，轉(zhuǎn)化成線性的模型為：

（2）

設(shè)，，，，則公式（2）可寫為：

（3）

2 Gompertz模型的下限估計(jì)

2.1 下限估計(jì)的求解方法

對(duì)于區(qū)間估計(jì)，我們一般只關(guān)心，預(yù)計(jì)的可靠度下限，也就是說我們要求取的是外推一個(gè)（或幾個(gè)）周期后的可靠度下限。所以，這里僅討論外推一個(gè)周期后的可靠度下限。

由最小二乘的理論，可知對(duì)于自變量時(shí)，

其中，

；；；；；；；。

由的分布可推導(dǎo)出的分布，設(shè)其分布函數(shù)為。

已知，認(rèn)為為隨機(jī)變量，設(shè)其分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)可由和得出。

2.2 下限估計(jì)的近似解

對(duì)已知，將和均看作為隨機(jī)變量，這里僅討論利用仿真方法給出相應(yīng)的的估計(jì)。

由Fiducial理論可知

其中，；；S為試驗(yàn)成功數(shù)；s為試驗(yàn)失敗數(shù)。

設(shè)的分布函數(shù)為，則有得到下限估計(jì)的仿真算法如下：

取模擬次數(shù)Z，Z為偶數(shù)；

?。?，1）均勻分布的Z個(gè)隨機(jī)數(shù)，記為；

計(jì)算，

計(jì)算

對(duì)由小到大排序得到

則的置信度為α的下限為，[]為取整函數(shù)。

3 利用模型的驗(yàn)證的討論

由上述的Gompertz模型的下限估計(jì)方法可以有效地得到產(chǎn)品在試驗(yàn)結(jié)束后的可靠性水平，由于利用之前的數(shù)據(jù)擬合了增長(zhǎng)模型，所以，可以得到較為真實(shí)的可靠性評(píng)估結(jié)果。

對(duì)于可靠性驗(yàn)證而言，如果利用現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)評(píng)估出的結(jié)果可以達(dá)到其可靠性指標(biāo)的要求，即可以認(rèn)為其滿足指標(biāo)的要求，可以不必再進(jìn)行可靠性鑒定試驗(yàn)。如果利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)評(píng)估的結(jié)果尚未達(dá)到可靠性指標(biāo)要求，則可以利用Gompertz模型預(yù)測(cè)出相應(yīng)還需要多少的子樣的試驗(yàn)才能滿足可靠性指標(biāo)的要求。但在實(shí)際運(yùn)用過程中，還需要將后續(xù)進(jìn)行的試驗(yàn)對(duì)Gompertz模型進(jìn)行不斷的修正，從而不斷地調(diào)整所需要的可以達(dá)到可靠性指標(biāo)要求的剩余子樣數(shù)，這樣才能有效地利用數(shù)據(jù)，是一種序貫式的試驗(yàn)方法。

4 數(shù)值例

藍(lán)偵探（Blue Scout）火箭在15次發(fā)射中有10次成功，其試驗(yàn)記錄如表1所示。

這里將首次連續(xù)成功前一次作為模型擬合的起點(diǎn)，即第6次試驗(yàn)，即表中的i列，所以這里m=10。擬合公式（2），有a=-0.319 07，h=-0.984 59。則用Gompertz模型預(yù)測(cè)該火箭在第16次發(fā)射時(shí)的可靠度點(diǎn)估計(jì)為：0.680 9，同時(shí)利用仿真可得可靠度80%的下限為0.599 4。

5 結(jié)語(yǔ)

該文給出了Gompertz模型的置信下限估計(jì)方法，使得利用Gompertz模型進(jìn)行評(píng)估和驗(yàn)證成為可能。但是，該文所給出的方法為近似的仿真方法，在實(shí)際應(yīng)用仍會(huì)遇到不可信或計(jì)算相對(duì)復(fù)雜的問題，所以后續(xù)還需要再討論相應(yīng)的較為簡(jiǎn)便的近似方法，方便工程中的應(yīng)用。

（致謝：該文的研究工作受到了北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所徐福榮老師的悉心指導(dǎo)，謹(jǐn)致謝意。）

參考文獻(xiàn)

[1] 王飛，黃忠華，張萬(wàn)君，等.Gompertz模型在引信研制與試驗(yàn)中的應(yīng)用[J].探測(cè)與控制學(xué)報(bào)，2004，26（2）：55-58.

[2] 劉琦，馮靜，周經(jīng)倫.基于Gompertz模型的液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性增長(zhǎng)分析[J].航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2004，19（3）：419-423.

[3] 朱珉仁.Gompertz模型和Logistic模型的擬合[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2002，32（5）：705-709.

[4] 李學(xué)京，楊軍.基于可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)信息的可靠性綜合驗(yàn)證方法[J].宇航學(xué)報(bào)，2008，29（3）：1074-1079.

[5] 梅文華.可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2003.