萬(wàn)忠義 周小義

(1.成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院 四川 成都 610059;2.四川省安岳縣乾龍九義校 四川 安岳 642350)

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淺談數(shù)學(xué)家高斯的貢獻(xiàn)

萬(wàn)忠義1周小義2

(1.成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院 四川 成都 610059;2.四川省安岳縣乾龍九義校 四川 安岳 642350)

18世紀(jì)德國(guó)著名的一個(gè)偉人約翰·卡爾·弗里德里?！じ咚梗菤v史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他的一生在不同的領(lǐng)域都為人類(lèi)做出了偉大的貢獻(xiàn)，本文主要目的是解讀數(shù)學(xué)家高斯，從高斯的生活背景，高斯在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)，以及高斯為后人帶來(lái)的影響作為重點(diǎn)，對(duì)偉大的數(shù)學(xué)家高斯進(jìn)行較為詳細(xì)的解讀。

高斯；數(shù)學(xué)家；貢獻(xiàn)；影響

一、引言

高斯的全名是約翰·卡爾·弗里德里?！じ咚梗堑聡?guó)著名的數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，天文學(xué)家和大地測(cè)量學(xué)家。在很多方面都為人們做出了偉大貢獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)方面，幾乎遍及了數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在物理方面，磁場(chǎng)上的巨大貢獻(xiàn)，以及在天文、大地測(cè)量上都做出了巨大的貢獻(xiàn)。他出生平凡卻不平庸。憑著自己的聰明才智，勤奮努力的學(xué)習(xí)，刻苦的專(zhuān)研，終于成為了數(shù)學(xué)史上的傳奇人物，并享有“數(shù)學(xué)王子”的美名，他與阿基米德、牛頓、歐拉齊名，被稱(chēng)為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。

二、高斯在數(shù)學(xué)上的成就

(一)二次互逆定理

“二次互逆定理”非常漂亮的解決了勒讓德符號(hào)的計(jì)算問(wèn)題，從而在實(shí)際問(wèn)題上解決了二次剩余的判別問(wèn)題。1796年，高斯作為世界上第一個(gè)嚴(yán)格的證明“二次互逆定理”的人，在此之后他又發(fā)現(xiàn)了這種定理的另外七種不同證明方法。高斯把二次互逆定理看作是算術(shù)理論中的寶石，是一個(gè)黃金定律。有人說(shuō)：“二次互逆定理是數(shù)論中最重要的工具，并且在數(shù)論的發(fā)展史中，處于中心地位?！?/p>

在高斯之后柯西、克羅內(nèi)克、雅克比、劉維爾、弗洛比紐斯等等也一個(gè)個(gè)地給出了新的證明方法。時(shí)至今日，二次互逆定理已經(jīng)有了一百五十種不同的證明方法。二次互反律可以推廣到高次互反律。二次互反律被稱(chēng)為“數(shù)論之母”，在數(shù)論中有著極高的地位。表述如下：

后來(lái)希爾伯特、塞爾等數(shù)學(xué)家將它推廣到更一般的情形。其表述如下：

(二)尺規(guī)作圖

幾千年前，古希臘的數(shù)學(xué)家們?cè)?jīng)深入的研究過(guò)一類(lèi)作圖問(wèn)題，那就是：怎么樣運(yùn)用尺規(guī)作內(nèi)接正多邊形。早在《幾何原本》一書(shū)中，大數(shù)學(xué)家歐幾里德就用尺規(guī)完成了內(nèi)接正三邊形、正四邊形、正五邊形，甚至正十五邊形的作圖。然而正7、9、11…邊形卻未能做出。這讓歐幾里德之后的許多數(shù)學(xué)家感到尷尬的是，自從歐幾里德完成一部分尺規(guī)作圖的后2000多年中，有關(guān)正多邊形的尺規(guī)作圖，仍然只是停留在歐幾里德給出的一些內(nèi)接正多邊形的作圖方法，其他的并沒(méi)有任何的進(jìn)步。直到1796年，年僅19歲的高斯發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖方法。這在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界來(lái)說(shuō)，可是引起了相當(dāng)大的震撼。

在經(jīng)過(guò)反反復(fù)復(fù)研究后，高斯在1801年終于對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題給出了一個(gè)完美的回答。高斯指出，如果僅僅用圓規(guī)和直尺，作圓內(nèi)接正a邊形，當(dāng)a滿(mǎn)足如下的形式之一時(shí)就能運(yùn)用尺規(guī)作圖完成：

(1)a=2k,k=2,3,…

阿里終于見(jiàn)到他朝思夜想的母親。他情不自禁地仰頭發(fā)出呵呵的大笑，然后拔腿向母親身邊跑去。他扒開(kāi)那些花，對(duì)著母親叫道：“姆媽!呵呵。姆媽!呵呵。你回了。”

費(fèi)馬質(zhì)數(shù)是形如：Fk=22k的質(zhì)數(shù)。比如：F0=3,F1=5,F2=17,F3=257…的質(zhì)數(shù)。高斯用代數(shù)的方法解決了2000多年一直困擾著人們的幾何難題，高斯自然將此視為他平生的得意之作。

通過(guò)高斯的證明，正多邊形作圖的問(wèn)題與費(fèi)馬數(shù)密切的聯(lián)系在了一起。這就是數(shù)學(xué)的一大魅力所在，看似兩個(gè)全無(wú)關(guān)系的領(lǐng)域竟然用出乎意料的方式，彼此聯(lián)系到一起。通過(guò)“數(shù)學(xué)王子”高斯的杰出發(fā)現(xiàn)，我們可以從中充分的領(lǐng)悟到這種魅力。正是兩者的聯(lián)系，使人們對(duì)費(fèi)馬數(shù)有了更大的興趣。

(三)高斯函數(shù)

1.高斯函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：

2.高斯函數(shù)的求解

高斯函數(shù)的求解方法沒(méi)有固定的模式，根據(jù)實(shí)際的求解情況，合理的采用適應(yīng)的求解方法。我們用以下的三種方法來(lái)探討。

嚴(yán)格函數(shù)定義求解

借助對(duì)偶式求解

利用對(duì)偶式求解高斯函數(shù)就是要觀(guān)察題設(shè)中表達(dá)式的特點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際情況合理地組建或者構(gòu)建與之相匹配的相應(yīng)的表達(dá)式，然后通過(guò)借助兩個(gè)表達(dá)式之間的高斯函數(shù)值的緊密聯(lián)系，從而間接地求解高斯函數(shù)值的方法。

[1]徐品方，數(shù)學(xué)家傳奇叢書(shū)[M]，山東教育出版社

[2]周明儒，走近高斯——數(shù)學(xué)文化小叢書(shū)[M]，高等教育出版社

萬(wàn)忠義(1991-)，男，湖北興山人，成都理工大學(xué)，碩士研究生，主要從事優(yōu)化與控制研究；周小義(1993-)，女，四川安岳人，四川省安岳縣乾龍九義校，中學(xué)教師。