史傳寶，王光義，臧壽池

(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江 杭州 310018)

一個(gè)新的混沌系統(tǒng)及其共存吸引子的研究

史傳寶，王光義，臧壽池

(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江 杭州 310018)

為進(jìn)一步研究混沌系統(tǒng)特性，提出了一個(gè)具有多穩(wěn)定性的三維連續(xù)混沌系統(tǒng).通過(guò)平衡點(diǎn)、Lyapunov指數(shù)、分岔圖和動(dòng)力學(xué)地圖分析了系統(tǒng)受參數(shù)影響的動(dòng)力學(xué)特性.在參數(shù)固定的情況下，分析初值變化的Lyapunov指數(shù)譜，得到了多種共存吸引子.通過(guò)設(shè)計(jì)模擬電路實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果一致.對(duì)系統(tǒng)混沌二值序列進(jìn)行了NIST偽隨機(jī)性測(cè)試，隨機(jī)性優(yōu)于Lorenz系統(tǒng)，可作為隨機(jī)信號(hào)源應(yīng)用于信息加密和保密通信領(lǐng)域.

三維混沌系統(tǒng)；動(dòng)力學(xué)地圖；共存吸引子

0 引 言

Lorenz系統(tǒng)是首個(gè)被發(fā)現(xiàn)的混沌系統(tǒng)模型[1]，繼Lorenz系統(tǒng)之后，Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)等相繼被提出，這些系統(tǒng)與Lorenz系統(tǒng)相比均有不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).近年來(lái)，各種新混沌系統(tǒng)不斷被發(fā)現(xiàn)，如多翼混沌系統(tǒng)[2]、超混沌系統(tǒng)[3]、具有恒定Lyapunov指數(shù)的混沌系統(tǒng)[4-5]、級(jí)聯(lián)混沌系統(tǒng)[6]等.研究發(fā)現(xiàn)，許多系統(tǒng)具有多穩(wěn)定性，而一些具有對(duì)稱性的系統(tǒng)在更大的參數(shù)空間上存在對(duì)稱的共存吸引子[7-9].具有共存吸引子的混沌系統(tǒng)在信息加密和保密通信等領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用價(jià)值.本文提出了一個(gè)新的三維連續(xù)混沌系統(tǒng)，不僅具有一般混沌系統(tǒng)的特性，其創(chuàng)新點(diǎn)在于具有共存吸引子，即在參數(shù)確定的情況下，不同的初始值誘發(fā)系統(tǒng)進(jìn)入不同的軌道最終形成不同的吸引子[9].設(shè)計(jì)了新系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)電路，得到了一種混沌吸引子.新系統(tǒng)的混沌序列具有良好的偽隨機(jī)性，可作為密鑰序列設(shè)計(jì)效果更好的加密算法.

1 新的三維連續(xù)混沌系統(tǒng)

新系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程描述為：

(1)

圖1 混沌吸引子圖

2 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)特性的影響

2.1 平衡點(diǎn)分析

(2)

其特征值均為λ0=3.308 9，λ1=-0.015 4+1.731 5i，λ2=-0.015 4-1.731 5i，則平衡點(diǎn)s1與s2為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn).同理，對(duì)平衡點(diǎn)s3與s4來(lái)說(shuō)，特征值都為λ0=1.000 0，λ1=5.551 1+3.162 3i，λ2=5.551 1-3.162 3i，說(shuō)明s3與s4為不穩(wěn)定的焦點(diǎn).

2.2 動(dòng)力學(xué)地圖、Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖

如圖2所示，動(dòng)力學(xué)地圖描述了分岔參數(shù)a，b在一定范圍內(nèi)變化時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)分布.圖2中包括左下角的連續(xù)區(qū)域及右上角的部分區(qū)域的面積最大，代表的是混沌態(tài)，其次，右上角的連續(xù)區(qū)域代表的是周期態(tài)，另外，在混沌態(tài)區(qū)域與周期態(tài)區(qū)域還存在一些點(diǎn)狀分布的穩(wěn)定態(tài).Lyapunov指數(shù)是產(chǎn)生混沌的一個(gè)重要判據(jù)，三維系統(tǒng)若產(chǎn)生混沌則其Lyapunov指數(shù)必遵循(+,0,-)的特點(diǎn)[10].系統(tǒng)隨參數(shù)a變化的Lyapunov指數(shù)譜如圖3所示，當(dāng)a∈(0.0,1.7)時(shí)，Lyapunov指數(shù)分布為(+,0,-)，說(shuō)明系統(tǒng)是混沌的.圖4通過(guò)系統(tǒng)隨參數(shù)a變化時(shí)的分岔圖體現(xiàn)了系統(tǒng)的倒倍周期變化，即由混沌軌道演變?yōu)楸吨芷谲壍?，最后進(jìn)入周期一軌道.

圖2 動(dòng)力學(xué)地圖

圖3 Lyapunov指數(shù)譜

圖4 分岔圖

3 變量初值對(duì)系統(tǒng)特性的影響

混沌系統(tǒng)不僅受參數(shù)的影響，對(duì)變量的初始值也具有高度敏感性，在確定的參數(shù)組合下，不同的初值組合導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡不同，一些運(yùn)行軌跡最后都收斂在同一個(gè)吸引子上，而有些運(yùn)行軌跡則收斂在其他的吸引子上，稱這些吸引子為共存吸引子.

圖5分別給出了系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=1.0，b=5.0時(shí)隨初值x(0),y(0)變化的Lyapunov指數(shù)譜.由圖5(a)可知，除x(0)=0外，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)均滿足(+,0,-)的分布，說(shuō)明系統(tǒng)是混沌的.在x(0)=0處，系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)為(+,0,0)，將此種情況下的吸引子稱之為不穩(wěn)二維環(huán)面.而圖5(b)中，系統(tǒng)隨變量y(0)變化時(shí)，Lyapunov指數(shù)均滿足(+,0,-)的分布，說(shuō)明系統(tǒng)始終處于混沌態(tài).

圖5 初值變化的Lyapunov指數(shù)譜

進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)(1)在取得混沌態(tài)的初值范圍內(nèi)也具有不同的動(dòng)力學(xué)行為.系統(tǒng)在隨變量x(0)變化時(shí)，共得到4種吸引子，如圖6所示，這里只給出了y-z截面的吸引子圖.其中，圖6(b)為在x(0)=0處得到的不穩(wěn)二維環(huán)面，圖6中，(a)、(c)、(d)為在x(0)∈[-0.50,0.00)∪(0.00,0.50]范圍內(nèi)得到的3種不同形狀的混沌吸引子，且(a)、(d)兩種吸引子具有對(duì)稱性.表1列出了圖6所得的吸引子與初值的對(duì)應(yīng)情況.

圖6 初值x(0)影響下的共存吸引子

表1 初值x(0)變化與吸引子對(duì)應(yīng)表

4 電路實(shí)現(xiàn)

利用電阻、電容、運(yùn)算放大器LM347N和模擬乘法器AD633對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行電路實(shí)現(xiàn).令τ0t→t，τ0是時(shí)域尺度變換因子，且τ0=1 000，參數(shù)a=1.0，b=5.0，則式(1)可改寫為：

(3)

圖7給出了具體的模擬電路原理圖，由5個(gè)運(yùn)算放大器、4個(gè)模擬乘法器及若干電阻、電容構(gòu)成反相電路、模擬乘法電路及反向積分電路組成.由圖7所示電路可將式(3)改寫為：

(4)

圖7 模擬實(shí)驗(yàn)電路原理圖

圖7中構(gòu)成積分器的電容C1=C2=C3=10 nF，構(gòu)成反相器的電阻R1=R2=R7=R8=10 kΩ,根據(jù)式(4)可推得電阻理論值R3=R5=100 kΩ,R4=R6=R9=R10=10 kΩ，實(shí)際電路中R6的阻值為10.8 kΩ.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8(a)，(b)，(c)所示，分別為x-y截面、x-z截面及y-z截面的混沌吸引子，圖8(d)為實(shí)驗(yàn)電路與示波器連接圖.可見(jiàn)，8(c)中吸引子與圖6(d)中的混沌吸引子類型一致.因?yàn)樵O(shè)計(jì)電路時(shí)只能根據(jù)參數(shù)確定電阻阻值，而初值是不確定的，所以得到的吸引子必然是圖6中的其中一組.

圖8 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 NIST偽隨機(jī)測(cè)試

美國(guó)國(guó)家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)局NIST推出了一種二進(jìn)制序列隨機(jī)性測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)，采用該測(cè)試技術(shù)對(duì)新系統(tǒng)及Lorenz混沌系統(tǒng)序列進(jìn)行隨機(jī)性測(cè)試，各抽取長(zhǎng)度為10億的二進(jìn)制序列，令顯著性水平α=0.01，分組m=1 000，則置信區(qū)間為(0.980 56，0.999 44).若序列的隨機(jī)性良好，則要滿足所有項(xiàng)測(cè)試結(jié)果的均勻性大于顯著性水平0.01，且通過(guò)率處于置信區(qū)間內(nèi).NIST測(cè)試結(jié)果如表2所示.

表2 NIST測(cè)試結(jié)果

由表2可知，新混沌系統(tǒng)與Lorenz系統(tǒng)的二值序列的15項(xiàng)測(cè)試結(jié)果說(shuō)明兩個(gè)混沌系統(tǒng)的序列是滿足均勻分布的，且隨機(jī)性良好.統(tǒng)計(jì)得出，新系統(tǒng)測(cè)試結(jié)果中，P-VALUE值中有11項(xiàng)大于Lorenz系統(tǒng)，PROPORTION值中有9項(xiàng)大于Lorenz系統(tǒng)，因此，整體上新系統(tǒng)的偽隨機(jī)性優(yōu)于Lorenz系統(tǒng).

6 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響及系統(tǒng)多穩(wěn)定性，獲得了三種混沌吸引子及一種不穩(wěn)二維環(huán)面，并通過(guò)模擬電路獲得了新系統(tǒng)的一種混沌吸引子.混沌吸引子與極限環(huán)共存是比較常見(jiàn)的共存現(xiàn)象，而本文設(shè)計(jì)的新系統(tǒng)的特點(diǎn)是存在不穩(wěn)二維環(huán)面，沒(méi)有極限環(huán)與穩(wěn)定點(diǎn)吸引子.不穩(wěn)二維環(huán)面是新系統(tǒng)中存在的特殊吸引子，其他混沌系統(tǒng)在特定的參數(shù)及初值組合下也有可能獲得此種吸引子.新系統(tǒng)的研究證明了初值是影響系統(tǒng)狀態(tài)的重要因素，可利用特殊參數(shù)及初值組合獲得具有隨機(jī)性良好的混沌序列應(yīng)用在加密等領(lǐng)域.

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A New Chaotic System and Its Coexisting Attractors

SHI Chuanbao, WANG Guangyi, ZANG Shouchi

(SchoolofElectronicInformation,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

In order to further study the characteristics of chaotic system, a three-dimensional continuous chaotic system with multi-stability is proposed. The influence of parameters on the dynamic characteristics of the system is introduced by equilibrium point, Lyapunov exponent, bifurcation diagram and dynamic map. When parameters are fixed, the Lyapunov exponent spectrum of varying initial value is analyzed, and a variety of coexisting attractors are obtained. The simulation circuit is designed to realize the system, and the experimental results are in agreement with the simulation results. The NIST random test is carried out on the two value sequence of the chaotic system, which is better than the Lorenz system for the random properties. It can be used as a random signal source for information encryption and secure communication.

3D chaotic system; dynamic map; coexisting attractor

10.13954/j.cnki.hdu.2017.04.001

2016-11-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60971046,61281230357);浙江省自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(LZ12F01001)

史傳寶(1990-)，男，山東濟(jì)南人，碩士研究生，非線性電路與智能信息處理.通信作者：王光義教授，E-mail:wanggyi@163.com.

TN401

A

1001-9146(2017)04-0001-05