李勝琴，趙銀寶

(東北林業(yè)大學(xué) 交通學(xué)院， 哈爾濱 150040)

?

基于LuGre摩擦理論的動(dòng)態(tài)輪胎模型研究

李勝琴，趙銀寶

(東北林業(yè)大學(xué) 交通學(xué)院， 哈爾濱 150040)

基于LuGre動(dòng)態(tài)摩擦理論，建立了用于研究車輛動(dòng)力學(xué)特性的動(dòng)態(tài)輪胎模型，推導(dǎo)了車輛輪胎縱向力和側(cè)向力的表達(dá)式，以此作為基礎(chǔ)進(jìn)行整車動(dòng)力學(xué)的模擬仿真。采用遺傳算法對(duì)輪胎模型中的穩(wěn)態(tài)及動(dòng)態(tài)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，比較分析了模型參數(shù)對(duì)模型精度的影響。利用Matlab/Simulink建立起自由度整車動(dòng)力學(xué)模型，通過進(jìn)行轉(zhuǎn)彎制動(dòng)仿真來對(duì)本文所建立的輪胎模型進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明：本文所建立的動(dòng)態(tài)輪胎模型準(zhǔn)確度較好，能夠用于車輛動(dòng)態(tài)性能仿真研究。

LuGre摩擦理論；輪胎模型；整車模型

輪胎作為車輛重要的組成部分，是車輛和路面接觸的唯一載體，輪胎的力學(xué)特性對(duì)汽車的操縱穩(wěn)定性、動(dòng)力性以及制動(dòng)安全性有著極其重要的影響，是研究和分析車輛動(dòng)力學(xué)性能的基礎(chǔ)[1]。車輛在行駛過程中，所受到的外力絕大部分來源于車輪和路面間的相互作用[2]，因而在對(duì)車輛進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真研究時(shí)，輪胎的力學(xué)特性，尤其是動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)過程中的運(yùn)動(dòng)特性研究則至關(guān)重要。

在目前的輪胎仿真中，穩(wěn)態(tài)輪胎模型可以很好地?cái)M合輪胎試驗(yàn)數(shù)據(jù)，簡化分析和計(jì)算過程，從而得到了廣泛的應(yīng)用。但是穩(wěn)態(tài)模型是在高度控制的實(shí)驗(yàn)室條件下得到的，不能及時(shí)捕捉到輪胎的動(dòng)態(tài)特性，而在LuGre輪胎動(dòng)力學(xué)摩擦模型中，輪胎和地面間接觸摩擦力的變化狀態(tài)可以通過對(duì)時(shí)間的微分方程體現(xiàn)出來，并利用摩擦理論來描述輪胎和路面間的接觸摩擦。因此，該模型可準(zhǔn)確描述輪胎和路面之間的摩擦力，實(shí)現(xiàn)對(duì)車輛轉(zhuǎn)向制動(dòng)等行為的實(shí)時(shí)控制。

1995年，Canudas 等[3]以刷子模型為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出輪胎動(dòng)力學(xué)摩擦模型，稱為“LuGre動(dòng)力學(xué)摩擦模型”，該模型引入一個(gè)變量來對(duì)輪胎內(nèi)部的摩擦狀態(tài)進(jìn)行表示，然后結(jié)合該變量對(duì)時(shí)間的微分共同來描述輪胎與路面之間的摩擦，因此可準(zhǔn)確地對(duì)輪胎與路面之間的摩擦效應(yīng)進(jìn)行表達(dá)。2002年，E.Velenis 等[4]擴(kuò)展了LuGre模型，使得該模型可以準(zhǔn)確地描述輪胎的縱向以及側(cè)向受力行為。2004年，J.Deur等[5]考慮到輪胎模型參數(shù)和法向載荷之間的關(guān)系，對(duì)LuGre輪胎模型進(jìn)行了改進(jìn)，使得LuGre輪胎模型能更方便地用于車輛模型仿真和控制。

1 LuGre動(dòng)態(tài)輪胎模型

LuGre輪胎模型主要有兩種表達(dá)形式，即集中式輪胎模型和分布式輪胎模型，前者設(shè)定輪胎和路面是點(diǎn)接觸，用常微分方程表示，對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分即可求解；后者設(shè)定輪胎和路面是面接觸，用偏微分方程來表示，需要在時(shí)間和空間上都積分才可求解[6]。

分布式LuGre輪胎模型示意圖如圖1所示，將輪胎和路面接觸的區(qū)域簡化為矩形，應(yīng)用微分理論，設(shè)接觸面的長度為L，認(rèn)為接觸面由一系列的單元組成，每個(gè)單元所受的摩擦力用一階模型來表示。

圖1 分布式LuGre輪胎模型

模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(1)～(3)所示：

(1)

(2)

(3)

式中：fn(ζ)為輪胎接地印跡方向上的壓力分布函數(shù)；σ0為輪胎縱向剛度系數(shù)；σ1為輪胎縱向阻尼系數(shù)；σ2為輪胎相對(duì)黏滯阻尼系數(shù)；z為輪胎平均彈性形變量；θ為不同路面的摩擦因數(shù)，在冰、雪、濕瀝青路面、干瀝青路面上，取值依次為0.1、0.2、0.6、0.8；F為輪胎的摩擦力；Fn為輪胎受垂直載荷；μc為庫侖摩擦因數(shù)；μs為靜摩擦因數(shù)；通常認(rèn)為μc≤μs。

基于LuGre分布式摩擦模型的工作原理，借助準(zhǔn)確的車輛動(dòng)力學(xué)模型，建立起能夠描述車輛摩擦狀態(tài)的表達(dá)式，有利于后續(xù)對(duì)路面附著狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)和對(duì)車輛主動(dòng)安全性控制策略展開研究。

2 模型參數(shù)分析

作為車輛和路面唯一接觸的部分，輪胎的縱滑特性和與路面的附著特性會(huì)影響到車輛行駛中的驅(qū)動(dòng)及制動(dòng)性能，通常用μ-s曲線(輪胎/路面摩擦因數(shù)和滑移率曲線)來描述輪胎和地面附著性的好壞[7-8]。由于路面和輪胎自身的特性在運(yùn)動(dòng)過程中不斷變化，導(dǎo)致系統(tǒng)的模型參數(shù)發(fā)生變化，因此有必要對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行分析。

根據(jù)LuGre分布式輪胎模型，推導(dǎo)出輪胎模型μ-s關(guān)系式為：

(4)

(5)

(6)

其中滑移率s∈(0,1)。

在研究模型中的某一個(gè)參數(shù)變化對(duì)滑移率的影響時(shí)，假設(shè)其余的參數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，模型μ-s曲線的變化只隨單參數(shù)發(fā)生變化，由于輪胎縱向阻尼系數(shù)σ1對(duì)μ-s曲線無影響，本文選取剩余幾個(gè)模型參數(shù)和路面條件的變化，對(duì)參數(shù)值附近的幾個(gè)點(diǎn)進(jìn)行比較分析。

輪胎模型取不同庫侖摩擦因數(shù)和不同靜摩擦因數(shù)時(shí)對(duì)μ-s的曲線影響如圖2所示。可以看出，μc對(duì)μ-s曲線的影響主要集中在滑移率為0.2～1時(shí)，對(duì)較低滑移率(0～0.1)之間的影響很小，μs主要影響中低滑移率時(shí)摩擦因數(shù)的數(shù)值，隨著數(shù)值的增加，峰值摩擦因數(shù)逐漸增大，整體曲線都呈現(xiàn)上移的趨勢(shì)；對(duì)于圖2(a)，摩擦因數(shù)的差值最大在0.2，由于車輛在正常行駛時(shí)，滑移率通常維持在較低的范圍，此時(shí)的摩擦因數(shù)差別不大。圖2(b)摩擦因數(shù)的差值變化控制在0.1之間，所以μc、μs對(duì)模型的精度影響比較小。

當(dāng)輪胎模型其他參數(shù)取值不變，輪胎縱向剛度系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，對(duì)μ-s曲線產(chǎn)生的影響如圖3所示，可以看出，輪胎縱向剛度系數(shù)的變化主要影響摩擦因數(shù)峰值的變化，對(duì)滑移率0.1～0.3范圍內(nèi)影響比較集中。隨著σ0取值的增大，峰值摩擦因數(shù)變大，但是相對(duì)的滑移率數(shù)值有減小的趨勢(shì)。此外，在中高段滑移率時(shí)，μ-s曲線基本重合。輪胎縱向剛度系數(shù)對(duì)于摩擦因數(shù)造成的誤差很小，最大在0.05，σ0對(duì)于模型的精度影響最小。

圖2 μc、μs對(duì)μ-s曲線的影響

圖3 σ0對(duì)μ-s曲線的影響

輪胎/路面間附著系數(shù)θ在冰、雪、濕瀝青路面、干瀝青路面取值依次為0.1、0.2、0.6、0.8，不同的路面條件對(duì)于μ-s曲線的影響如圖4所示，可以看出，摩擦因數(shù)受路面條件的影響非常大。當(dāng)路面附著系數(shù)逐漸增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的摩擦因數(shù)的峰值增加較快，并且峰值系數(shù)對(duì)應(yīng)的滑移率數(shù)值向左偏移，μ-s曲線整體趨勢(shì)向上偏移，且幅度比較大，μ-s曲線對(duì)路面的敏感性強(qiáng)，整體變化趨勢(shì)符合實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果。

圖4 不同路面條件時(shí)的μ-s曲線

綜合以上的模型參數(shù)分析，可以得出，LuGre輪胎模型的參數(shù)擬合誤差對(duì)于模型的預(yù)測(cè)結(jié)果影響不大，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取一組參數(shù)來計(jì)算輪胎的縱向力和側(cè)向力。

3 LuGre輪胎模型的應(yīng)用

車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)把車輛看作是一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，研究車輛在受到力以及力矩作用時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，然后分析響應(yīng)特性對(duì)車輛各種性能的影響。本文擬建立整車七自由度仿真模型，選擇轉(zhuǎn)彎制動(dòng)作為試驗(yàn)工況，對(duì)整車運(yùn)動(dòng)變化進(jìn)行仿真分析。

3.1 動(dòng)力學(xué)模型

為了研究方便，對(duì)車輛實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行一定簡化：前輪轉(zhuǎn)角直接施加在車輪上；轉(zhuǎn)向系統(tǒng)是剛性的，有固定的傳動(dòng)比，輸入通過轉(zhuǎn)向盤施加給車輪；不考慮懸架的作用，認(rèn)為車輛不受垂向路面不平激勵(lì)；左右前輪轉(zhuǎn)角相同；車輛繞x軸的側(cè)傾角和繞y軸的俯仰角為零；車輛的4個(gè)輪胎的特性都相同；不考慮空氣阻力以及滾動(dòng)阻力對(duì)車輛造成的影響[9-10]?；谝陨霞僭O(shè)條件，簡化后的車輛動(dòng)力學(xué)模型如圖5所示。

根據(jù)牛頓定律建立的車輛的橫擺運(yùn)動(dòng)、縱向及側(cè)向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程如式(7)～(9)所示。

(7)

(8)

(9)

車輛4個(gè)車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程如式(10)所示：

(10)

式中：m為整車的質(zhì)量；vy為車輛的側(cè)向速度；vx為車輛的縱向速度；γ為車輛的橫擺角速度；δ為前輪轉(zhuǎn)角；Iz為整車?yán)@z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Fxi為4個(gè)車輪的縱向力，其中i=fl,fr,rl,rr；Fyi為4個(gè)車輪的側(cè)向力；wi為4個(gè)車輪的角速度；Tbi為4個(gè)車輪上的制動(dòng)力矩；Jw為輪胎的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；a為質(zhì)心到前軸的距離；b為質(zhì)心到后軸的距離；d1為前軸輪距；d2為后軸輪距；R為車輪的滾動(dòng)半徑。

圖5 簡化后的車輛動(dòng)力學(xué)模型

本文將輪胎和路面的接觸簡化為僅在二維平面的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)研究的二維LuGre輪胎模型需要用到的坐標(biāo)系如圖6所示。

圖6 LuGre輪胎模型坐標(biāo)系

輪胎和路面的接地印記是矩形，設(shè)其長度是L，寬度為W，假設(shè)該矩形接觸面是由無數(shù)個(gè)微小單元體組成，每個(gè)單元體都具有二維LuGre輪胎模型的特性。該坐標(biāo)系中，r為輪胎的滾動(dòng)半徑，ω為車輪的角速度，v為車輪前進(jìn)速度，α為車輪側(cè)偏角。把縱向和側(cè)向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度分別定義：

(11)

則車輛動(dòng)力學(xué)模型中，輪胎與路面之間的縱向力、側(cè)向力可用式(12)表示：

(12)

3.2 整車模型初步仿真

根據(jù)以上公式，在Matlab/Simulnk中建立整車動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)彎制動(dòng)仿真分析，通過車輛運(yùn)行狀態(tài)的變化趨勢(shì)，來研究車輛的轉(zhuǎn)彎制動(dòng)特性。讓車輛以速度為54 km/h(15 m/s)的速度勻速前進(jìn)，在1 s時(shí)，設(shè)定前輪轉(zhuǎn)角輸入為5°，如圖7(a)所示，查閱資料得角傳動(dòng)比為18，此時(shí)的方向盤轉(zhuǎn)角為90°；給4個(gè)車輪相同的制動(dòng)力矩，大小是600 N·m，如圖7(b)所示，假設(shè)在轉(zhuǎn)彎制動(dòng)的瞬間，車輛驅(qū)動(dòng)力矩突變?yōu)榱?。具體的參數(shù)數(shù)值見表1。

圖7 仿真輸入條件

本文選取了幾個(gè)能用來描述車輛運(yùn)動(dòng)特性的性能指標(biāo)，進(jìn)而對(duì)車輛的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行分析。

車輛在轉(zhuǎn)彎制動(dòng)過程中縱向速度和側(cè)向速度隨時(shí)間的變化趨勢(shì)如圖8所示，可以看出，車輛的縱向速度減小直至車速減為零，根據(jù)曲線的斜率可以推導(dǎo)出縱向減速度在轉(zhuǎn)彎開始的瞬間最大，然后逐漸減?。粋?cè)向速度在轉(zhuǎn)彎開始時(shí)瞬間增大到最大值，然后減小，發(fā)生波動(dòng)，最后數(shù)值為零，車輛停止，在這個(gè)過程中，曲線呈現(xiàn)出波浪形變化，不同于采用穩(wěn)態(tài)輪胎模型時(shí)的仿真曲線，這是LuGre輪胎模型仿真曲線的特點(diǎn)。

表1 整車參數(shù)

圖8 縱向速度和側(cè)向速度隨時(shí)間變化曲線

橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角隨時(shí)間的變化趨勢(shì)如圖9所示，在轉(zhuǎn)彎開始的瞬間，前輪輸入導(dǎo)致橫擺角速度增大，到達(dá)最大值后隨著車速的降低而相應(yīng)減??；由于車輪側(cè)偏角的產(chǎn)生導(dǎo)致質(zhì)心側(cè)偏角有一定的波動(dòng)，質(zhì)心側(cè)偏角逐漸增大，后期隨著時(shí)間的延長其變化不再明顯，車輛不會(huì)再發(fā)生大的波動(dòng)。在這個(gè)過程中，曲線具有輕微的波動(dòng)性，同樣體現(xiàn)出輪胎的動(dòng)態(tài)特性，證明本文研究的動(dòng)態(tài)輪胎模型是適用的。

圖9 橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角隨時(shí)間變化曲線

4 結(jié)論

1) 基于LuGre動(dòng)態(tài)摩擦理論，建立用于車輛動(dòng)力學(xué)特性研究的LuGre動(dòng)態(tài)輪胎模型，并對(duì)其庫侖摩擦因數(shù)、靜摩擦因數(shù)、輪胎縱向剛度、縱向阻尼系數(shù)等關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)；選擇幾組不同參數(shù)進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明所辨識(shí)參數(shù)精度較高，能用于LuGre輪胎模型的應(yīng)用研究。

2) 建立包含LuGre輪胎模型在內(nèi)的七自由度整車動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用該模型對(duì)車輛轉(zhuǎn)彎制動(dòng)過程進(jìn)行了仿真研究，選取車輛橫擺角速度等具有代表性的運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行比較。結(jié)果表明，參數(shù)的變化趨勢(shì)符合車輛轉(zhuǎn)彎制動(dòng)過程的運(yùn)動(dòng)特性，該輪胎模型能用于車輛動(dòng)力學(xué)仿真研究。

[1] 袁忠誠.輪胎穩(wěn)態(tài)模型研究[D].長春：吉林大學(xué),2006.

[2] 鄭文剛，陸永婕，陳恩利，等.基于ADAMS/MATLAB聯(lián)合仿真的LuGre動(dòng)態(tài)輪胎模型研究[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào),2016,14(3):247-252.

[3] 張淼.LuGre輪胎模型與車輛動(dòng)力學(xué)軟件的接口研究和實(shí)現(xiàn)[D].西安：長安大學(xué),2014.

[4] VELENIS E,TSIOTRAS P,de WIT C C.Extension of the LuGre Dynamic Tire Friction Model to 2D Motion[J].Proceedings of the 10th Mediterranean Conference on Control and Automation.2002.

[5] DEUR J,ASGARI J,HROVAT D.A 3D Brush-type Dynamic Tire Friction Model[J].Vehicle System Dyna-mics,2004,42(3):133-173.

[6] 郭孔輝.汽車操縱動(dòng)力學(xué)[M].長春:吉林科學(xué)技術(shù)出版社,2012.

[7] 溫興清.基于動(dòng)態(tài)摩擦模型的路面辨識(shí)及最優(yōu)剎車控制研究[D].長沙：中南大學(xué),2008.

[8] 黃鏵,左曙光,楊憲武,等.基于LuGre 摩擦模型的輪胎自振系統(tǒng)數(shù)值分析[J].計(jì)算機(jī)輔助工程,2009,18(4):19-23.

[9] 向紅標(biāo),譚文斌,李醒飛,等.基于LuGre模型的自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2012,48(17):70-74.

[10]殷國棟，金賢建，張?jiān)?分布式驅(qū)動(dòng)電動(dòng)汽車底盤動(dòng)力學(xué)控制研究綜述[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016，30(8)：13-20.

(責(zé)任編輯 劉 舸)

Research of Dynamic Tire Model Based on LuGre Friction Theory

LI Shengqin, ZHAO Yinbao

(Traffic College,Northeast Forest University, Harbin 150040, China)

Based on the dynamic friction theory, the dynamic tire LuGre model which could be used to study the vehicle dynamic characteristics was set up, and the expressions to describe the vehicle tire longitudinal and lateral forces were established, as a basis for vehicle dynamics simulation. This paper used the genetic algorithm as a tool to identify the model in the static parameters, and then going the parameter identification of dynamic model, and it analyzed the influence of model parameters on the model accuracy. Seven degrees of freedom vehicle dynamics model is set up in the Matlab/Simulink, including the vehicle longitudinal motion, lateral movement and yawing motion and dynamic characteristics of the four wheel rotation. The results show that the accuracy of the established dynamic tire model is good, and it can be used in vehicle dynamic characteristics simulation research.

LuGre friction theory; tire model; vehicle model

2017-02-25

黑龍江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(E2016003)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(DL13CB07)

李勝琴(1976—)，女，黑龍江哈爾濱人，博士，副教授，主要從事車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及控制研究，E-mail: lishengqin@126.com。

李勝琴，趙銀寶.基于LuGre摩擦理論的動(dòng)態(tài)輪胎模型研究[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(7):34-39.

format：LI Shengqin, ZHAO Yinbao.Research of Dynamic Tire Model Based on LuGre Friction Theory [J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(7):34-39.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.07.005

U467.4

A

1674-8425(2017)07-0034-06